Wyróżnik algebraicznego ciała liczbowego

„Twierdzenie Brilla” przekierowuje tutaj. Aby zapoznać się z wynikiem w geometrii algebraicznej, zobacz twierdzenie Brilla-Noethera .

  Podstawowa dziedzina pierścienia liczb całkowitych ciała K otrzymana z Q przez dołączenie pierwiastka z x ³ − x ² − 2 x + 1. Ta podstawowa dziedzina znajduje się wewnątrz K ⊗ _Q R . Wyróżnik K wynosi 49 = 7 ² . W związku z tym objętość domeny podstawowej wynosi 7, a K jest rozgałęziona tylko przy 7.

W matematyce dyskryminator pola liczb algebraicznych jest niezmiennikiem liczbowym , który, mówiąc luźno, mierzy rozmiar ( pierścienia liczb całkowitych ) pola liczb algebraicznych. Mówiąc dokładniej, jest proporcjonalny do kwadratu objętości podstawowej domeny pierścienia liczb całkowitych i reguluje, które liczby pierwsze są rozgałęzione .

jednym z najbardziej podstawowych niezmienników pola liczbowego i występuje w kilku ważnych wzorach analitycznych , takich jak równanie funkcyjne funkcji zeta Dedekinda K i wzór na liczbę klasy analitycznej dla K . Twierdzenie Hermite'a mówi, że istnieje tylko skończenie wiele pól liczbowych ograniczonego dyskryminatora, jednak wyznaczenie tej wielkości jest nadal problemem otwartym i przedmiotem aktualnych badań.

Wyróżnik K można nazwać bezwzględnym dyskryminatorem K , aby odróżnić go od względnego dyskryminatora rozszerzenia K / L pól liczbowych. Ten ostatni jest ideałem w pierścieniu liczb całkowitych L i podobnie jak dyskryminator bezwzględny wskazuje, które liczby pierwsze są rozgałęzione w K / L . Jest to uogólnienie bezwzględnego wyróżnika pozwalające na to, aby L było większe niż Q ; w rzeczywistości , gdy L = Q , względny wyróżnik K / Q jest głównym ideałem Z wygenerowanym przez bezwzględny wyróżnik K .

Definicja

Niech K będzie algebraicznym ciałem liczbowym i niech O _K będzie jego pierścieniem liczb całkowitych . Niech b ₁ , ..., b _n będzie integralną bazą O K ₍ tj. bazą jako modułem Z ) i niech {σ ₁ , ..., σ _n } będzie zbiorem zanurzeń K w liczby zespolone (tj. iniekcyjne homomorfizmy pierścieniowe K → C ). Wyróżnik K jest kwadratem wyznacznika macierzy B n na n , której _wejściem ( i , j ) jest σ i ₍ bj ) . Symbolicznie,

${\ Displaystyle \ Delta _ {K} = \ det \ lewo ({\ rozpocząć {tablica} {cccc} \ sigma _ {1} (b_ {1}) & \ sigma _ {1} (b_ {2}) & \cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _ {n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{tablica}}\right)^{2}.}$

Równoważnie można użyć śladu od K do Q. W szczególności zdefiniuj postać śladu jako macierz, której ( i , j )-wejściowym jest Tr _{K / Q} ( b _i b _j ). Ta macierz jest równa B ^T B , więc wyróżnik K jest wyznacznikiem tej macierzy.

Wyróżnik rzędu w K o podstawie całkowej b ₁ , ..., b _n definiuje się w ten sam sposób.

Przykłady

• Kwadratowe pola liczbowe : niech d będzie liczbą całkowitą wolną od kwadratów to wyróżnikiem jest $\ sqrt {d}})}$ jest

${\ Displaystyle \ Delta _ {K} = \ lewo \ {{\ rozpocząć {tablica} {ll} d & {\ tekst {jeśli}} d \ równoważnik 1 {\ pmod {4}} \\ 4d & {\ tekst {jeśli }}d\equiv 2,3{\pmod {4}}.\\\end{array}}\right.}$

Liczba całkowita występująca jako wyróżnik kwadratowego pola liczbowego jest nazywana wyróżnikiem podstawowym .

• Ciała cyklotomiczne : niech n > 2 będzie liczbą całkowitą, niech ζ _n będzie pierwotnym n - tym pierwiastkiem jedności i niech K _n = Q (ζ _n ) będzie n- tym polem cyklotomicznym. Wyróżnik K _n jest dany przez

${\ Displaystyle \ Delta _ {K_ {n}} = (-1) ^ {\ varphi (n) / 2} {\ Frac {n ^ {\ varphi (n) )}} {\ Displaystyle \ prod _ {p | n} p ^ {\ varphi (n) / (p-1)}}}} gdzie φ ( n ) {\ Displaystyle \ varphi$

( $totientową$ funkcją Eulera , a iloczyn w mianowniku jest nad liczbami pierwszymi p dzielącymi n .

• Podstawy potęgowe: W przypadku, gdy pierścień liczb całkowitych ma podstawę całkowania potęgowego , to znaczy można go zapisać jako O _K = Z [α], dyskryminator K jest równy dyskryminatorowi minimalnego wielomianu α. Aby to zobaczyć, można wybrać całkową podstawę O _K jako b ₁ = 1, b ₂ = α, b ₃ = α ² , ..., b _n = α ^{n −1} . Wtedy macierz w definicji jest macierzą Vandermonde'a związaną z α _ja = σ _ja (α), której wyznacznikiem do kwadratu jest

${\ Displaystyle \ prod _ {1 \leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}$

co jest dokładnie definicją wyróżnika minimalnego wielomianu.

• Niech K = Q (α) będzie polem liczbowym uzyskanym przez dołączenie pierwiastka α wielomianu x 3 ⁻ x 2 ⁻ 2 x − 8. Jest to oryginalny przykład pola liczbowego Richarda Dedekinda , którego pierścień liczb całkowitych nie posiada podstawa mocy. Podstawa całkowa jest dana przez {1, α, α (α + 1)/2}, a wyróżnikiem K jest -503.
• Powtarzające się dyskryminatory: dyskryminator pola kwadratowego jednoznacznie go identyfikuje, ale generalnie nie jest to prawdą w przypadku pól liczbowych wyższego stopnia . Na przykład istnieją dwa nieizomorficzne pola sześcienne dyskryminatora 3969. Otrzymuje się je przez dołączenie pierwiastka wielomianu odpowiednio x ³ - 21 x + 28 lub x ³ - 21 x - 35 .

Podstawowe wyniki

• Twierdzenie Brilla : Znak wyróżnika to (−1) r ^{2 _gdzie} r 2 _jest liczbą miejsc zespolonych K .
• Liczba pierwsza p ramizuje się w K wtedy i tylko wtedy, gdy p dzieli Δ _K .
• Twierdzenie Stickelbergera :

${\ Displaystyle \ Delta _ {K} \ równoważnik 0 {\ tekst {lub}} 1 {\ pmod {4}}.}$

• Granica Minkowskiego : Niech n oznacza stopień rozciągnięcia K / Q i r ₂ liczbę zespoloną miejsca K , to

${\ Displaystyle |\ Delta _ {K} | ^ {1/2} \ geq {\ Frac {n ^ {n}} {n!}} \ lewo ({\ Frac {\ pi}} {4}} \ prawo )^{r_{2}}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi}}{4}}\right)^{n/2}.}$

• Twierdzenie Minkowskiego : Jeśli K nie jest Q , to |Δ _K | > 1 (wynika to bezpośrednio z granicy Minkowskiego).
• Twierdzenie Hermite'a-Minkowskiego : Niech N będzie dodatnią liczbą całkowitą. Istnieje tylko skończenie wiele (z dokładnością do izomorfizmów) pól liczb algebraicznych K z |Δ _K | < N. _ Ponownie wynika to z twierdzenia Minkowskiego związanego z twierdzeniem Hermite'a (że istnieje tylko skończenie wiele ciał liczb algebraicznych z określonym wyróżnikiem).

Historia

Richard Dedekind wykazał, że każde pole liczbowe ma bazę całkową, co pozwala mu zdefiniować wyróżnik dowolnego pola liczbowego.

Definicja dyskryminatora ogólnego pola liczb algebraicznych K została podana przez Dedekinda w 1871 r. W tym momencie znał on już zależność między dyskryminatorem a rozgałęzieniem.

Twierdzenie Hermite'a poprzedza ogólną definicję dyskryminatora, a Charles Hermite opublikował jego dowód w 1857 r. W 1877 r. Alexander von Brill określił znak dyskryminatora. Leopold Kronecker po raz pierwszy sformułował twierdzenie Minkowskiego w 1882 r., chociaż pierwszy dowód podał Hermann Minkowski w 1891 r. W tym samym roku Minkowski opublikował swoją granicę dotyczącą dyskryminatora. Pod koniec XIX wieku Ludwig Stickelberger uzyskał swoje twierdzenie o reszcie dyskryminatora modulo cztery.

Wyróżnik względny

Wyróżnik zdefiniowany powyżej jest czasami określany jako bezwzględny dyskryminator K , aby odróżnić go od względnego dyskryminatora Δ _{K / L} rozszerzenia pól liczbowych K / L , który jest ideałem w O _L. Wyróżnik względny definiuje się w sposób podobny do dyskryminatora bezwzględnego, ale należy wziąć pod uwagę, że ideały w O _L mogą nie być główne i że może nie istnieć baza O _L dla O _K . Niech {σ ₁ , ..., σ _n } będzie zbiorem zanurzeń K w C , które są tożsamościami na L . Jeśli b ₁ , ..., b _n jest dowolną bazą K nad L , niech d ( b ₁ , ..., b _n ) będzie kwadratem wyznacznika macierzy n na n , której ( i , j )- wpis to σ _i ( b _j ). Wtedy względny wyróżnik K / L jest ideałem generowanym przez d ( b ₁ , ..., b _n ) jako { b ₁ , ..., b _n } zmienia się na wszystkich całkowych podstawach K / L . (tj. podstawy z tą własnością, że b i _∈ O K _dla wszystkich i .) Alternatywnie, względny wyróżnik K / L jest normą różnej K / L . Gdy L = Q , względny wyróżnik Δ _{K / Q} jest głównym ideałem Z generowanym przez bezwzględny wyróżnik Δ _K . W wieży pól K / L / F względne wyróżniki są powiązane przez

${\ Displaystyle \ Delta _ {K/F} = {\ mathcal {N}} _ {L/F} \ left({\Delta _{K/L}}\right)\Delta _{L/F}^{[K:L]}}$

gdzie oznacza względną $_$ .

Rozgałęzienie

Względny dyskryminator reguluje dane rozgałęzienia rozszerzenia pola K / L . Ideał pierwszy p z L rozgałęzia się w K wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli względny wyróżnik Δ _{K / L} . Rozszerzenie jest nierozgałęzione wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnikiem jest ideał jednostki. Powyższe ograniczenie Minkowskiego pokazuje, że nie ma nietrywialnych nierozgałęzionych rozszerzeń Q . Pola większe niż Q mogą mieć nierozgałęzione rozszerzenia: na przykład dla dowolnego pola o numerze klasy większym niż jeden jego pole klasy Hilberta jest nietrywialnym nierozgałęzionym rozszerzeniem.

Wyróżnik korzenia

Wyróżnik pierwiastkowy stopnia n pola liczbowego K jest określony wzorem

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {RD} _ {K} = | \ Delta _ {K} | ^ {1/n}.}$

Relacja między względnymi wyróżnikami w wieży pól pokazuje, że główny wyróżnik nie zmienia się w nierozgałęzionym rozszerzeniu.

Asymptotyczne dolne granice

Mając nieujemne liczby wymierne ρ i σ , a nie oba 0 i dodatnią liczbę całkowitą n taką, że para ( r ,2 s ) = ( ρn , σn ) jest w Z × 2 Z , niech α _n ( ρ , σ ) będzie infimum rd _K jako K rozciąga się na polach liczbowych stopnia n z r zanurzeniami rzeczywistymi i 2 s zanurzeniami zespolonymi, i niech α ( ρ , σ ) = liminf _{n →∞} α _n ( ρ , σ ). Następnie

${\ Displaystyle \ alfa (\ rho, \ sigma) \ geq 60,8 ^ {\ rho} 22,3 ^ {\ sigma}}$ ,

a uogólniona hipoteza Riemanna implikuje silniejsze ograniczenie

${\ Displaystyle \ alfa (\ rho, \ sigma) \ geq 215,3 ^ {\ rho} 44,7 ^ {\ sigma}.}$

Istnieje również dolna granica, która obowiązuje we wszystkich stopniach, nie tylko asymptotycznie: dla ciał całkowicie rzeczywistych pierwiastek dyskryminacyjny wynosi > 14, z 1229 wyjątkami.

Asymptotyczne granice górne

Z drugiej strony istnienie wieży polowej klasy nieskończonej może wyznaczać górne granice wartości α ( ρ , σ ). Na przykład wieża pola klasy nieskończonej nad Q ( √ - m ) z m = 3·5·7·11·19 daje pola o dowolnie dużym stopniu z pierwiastkiem dyskryminacyjnym 2 √ m ≈ 296,276, więc α (0,1) < 296.276. Używając poskromionych rozgałęzionych wież, Hajir i Maire wykazali, że α (1,0) <954,3 i α (0,1) <82,2, poprawiając wcześniejsze granice Martineta.

Stosunek do innych wielkości

• Po $jest$ objętość ${\ Displaystyle {\ sqrt {|\ Delta _ {K}|}}}$ podstawowej O _K (czasami używana jest inna miara , a uzyskana objętość wynosi ${\ Displaystyle 2 ^ {- r_ {2}} {\sqrt {|\Delta _{K}|}}}$ , gdzie r ₂ jest liczbą miejsc zespolonych K ).
• Ze względu na pojawienie się w tym tomie wyróżnik pojawia się również w równaniu funkcyjnym funkcji zeta Dedekinda K , a więc we wzorze na liczbę klas analitycznych oraz w twierdzeniu Brauera-Siegela .
• Względnym wyróżnikiem K / L jest dyrygent Artina regularnej reprezentacji grupy Galois K / L . Zapewnia to powiązanie dyrygentów Artina z bohaterami grupy Galois K / L , zwane formułą dyrygent-dyskryminator .

Notatki

Podstawowe źródła

•     Brill, Alexander von (1877), "Ueber die Discriminante" , Mathematische Annalen , 12 (1): 87–89, doi : 10.1007/BF01442468 , JFM 09.0059.02 , MR 1509928 , S2CID 120947279 , pobrane 2009- 08-22
• Dedekind, Richard (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von PG Lejeune Dirichlet (2 wyd.), Vieweg , dostęp 2009-08-05
• Dedekind , Richard ( 1878 ) _ _ _ _
•   Hermite, Charles (1857), "Extrait d'une lettre de MC Hermite à M. Borchardt sur le nombre limité d'irrationalités auxquelles se réduisent les racines des équations à coefficients entiers complexes d'un degré et d'un discriminant donnés" , Crelle's Journal , 1857 (53): 182–192, doi : 10.1515/crll.1857.53.182 , S2CID 120694650 , dostęp 2009-08-20
•   Kronecker, Leopold (1882), „Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen” , Crelle's Journal , 92 : 1–122, JFM 14.0038.02 , dostęp 2009-08-20
•   Minkowski, Hermann (1891a), „Ueber die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen” , Crelle's Journal , 1891 (107): 278–297, doi : 10.1515/crll.1891.107.278 , JFM 23.0212.01 , pobrane 2 009-08 -20
•   Minkowski, Hermann (1891b), "Théorèmes d'arithmétiques", Comptes rendus de l'Académie des sciences , 112 : 209–212, JFM 23.0214.01
•   Stickelberger, Ludwig (1897), „Über eine neue Eigenschaft der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper”, Proceedings of the First International Congress of Mathematicians, Zurych , s. 182–193, JFM 29.0172.03

Drugorzędne źródła

•    Bourbaki, Nicolas (1994). Elementy historii matematyki . Przetłumaczone przez Meldrum, John. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6 . MR 1290116 .
•    Cohen, Henri (1993), Kurs obliczeniowej algebraicznej teorii liczb , Graduate Texts in Mathematics, tom. 138, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-55640-4 , MR 1228206
•     Cohen, Henryk ; Diaz y Diaz, Franciszek; Olivier, Michel (2002), „Ankieta liczenia dyskryminacyjnego”, w: Fieker, Claus; Kohel, David R. (red.), Algorytmiczna teoria liczb, Proceedings, 5th International Syposium, ANTS-V, University of Sydney, lipiec 2002 , Notatki z wykładów z informatyki, tom. 2369, Berlin: Springer-Verlag, s. 80–94, doi : 10.1007/3-540-45455-1_7 , ISBN 978-3-540-43863-2 , ISSN 0302-9743 , MR 2041075
•    Fröhlich, Albrecht ; Taylor, Martin (1993), Algebraiczna teoria liczb , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, tom. 27, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43834-6 , MR 1215934
•    Koch, Helmut (1997), Algebraiczna teoria liczb , Encykl. Matematyka Nauka, tom. 62 (drugi druk pierwszego wydania), Springer-Verlag , ISBN 3-540-63003-1 , Zbl 0819.11044
•    Narkiewicz, Władysław (2004), Elementarna i analityczna teoria liczb algebraicznych , Springer Monographs in Mathematics (3 wyd.), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21902-6 , MR 2078267
•     Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Tom. 322. Berlin: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . MR 1697859 . Zbl 0956.11021 .
•    Serre, Jean-Pierre (1967), „Teoria pola klas lokalnych”, w: Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht (red.), Algebraic Number Theory, Proceedings of the instruktażowej konferencji na Uniwersytecie Sussex, Brighton, 1965 , Londyn: Academic Press, ISBN 0-12-163251-2 , MR 0220701
•      Voight, John (2008), „Wyliczenie całkowicie rzeczywistych pól liczbowych ograniczonego pierwiastka dyskryminacyjnego”, w: van der Poorten, Alfred J .; Stein, Andreas (red.), Algorytmiczna teoria liczb. Proceedings, 8th International Symposium, ANTS-VIII, Banff, Kanada, maj 2008 r. , Notatki z wykładów z informatyki, tom. 5011, Berlin: Springer-Verlag, s. 268–281, arXiv : 0802.0194 , doi : 10.1007/978-3-540-79456-1_18 , ISBN 978-3-540-79455-4 , MR 2467853 , S2CID 3003 6220 , zbl 1205.11125
•     Washington, Lawrence (1997), Wprowadzenie do pól cyklotomicznych , Graduate Texts in Mathematics, tom. 83 (wyd. 2), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4 , MR 1421575 , Zbl 0966.11047

Dalsza lektura

• Milne, James S. (1998), Algebraic Number Theory , dostęp 2008-08-20