Minkowski jest związany

W algebraicznej teorii liczb granica Minkowskiego wyznacza górną granicę normy ideałów, które należy sprawdzić, aby określić numer klasy pola liczbowego K . Jej nazwa pochodzi od matematyka Hermanna Minkowskiego .

Definicja

Niech D będzie wyróżnikiem pola, n będzie stopniem K nad ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ i ${\ displaystyle 2r_ {2} = nr_ {1} }$ będzie liczbą $jest$ osadzeń gdzie liczbą rzeczywistych osadzeń . Wtedy każda klasa w idealnej grupie klasowej K zawiera integralny ideał normy nieprzekraczający granicy Minkowskiego

${\ Displaystyle M_ {K} = {\ sqrt {| D |}} \ lewo ({\ Frac {4} {4} {\ pi}} \ prawej) ^ {r_ {2}} {\ Frac {n!} {n ^{n}}}\ .}$

Stałą Minkowskiego dla ciała K jest ta granica M _K .

Nieruchomości

Ponieważ liczba ideałów całkowych danej normy jest skończona, skończoność liczby klas jest bezpośrednią konsekwencją, a ponadto idealna grupa klasowa jest generowana przez ideały pierwsze normy co najwyżej M _K .

Granicę Minkowskiego można wykorzystać do wyprowadzenia dolnej granicy dla wyróżnika pola K przy danych n , r ₁ i r ₂ . Ponieważ ideał całkowy ma co najmniej jedną normę, mamy 1 ≤ M _K , więc to

${\ Displaystyle {\ sqrt {| D |}} \ geq \ lewo ({\ Frac {\ pi}} {4}} \ prawo) ^ {r_ {2}} {\ frac {n ^ {n}} {n !}}\geq \left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}{\frac {n^{n}}{n!}}\ .}$

Dla n co najmniej 2 łatwo jest pokazać, że dolna granica jest większa niż 1, więc otrzymujemy Twierdzenie Minkowskiego , że dyskryminator każdego ciała liczbowego innego niż Q , jest nietrywialny. Oznacza to, że ciało liczb wymiernych nie ma nierozgałęzionego rozszerzenia .

Dowód

Wynik jest konsekwencją twierdzenia Minkowskiego .

•    Kocha, Helmut (1997). Algebraiczna teoria liczb . Encykl. Matematyka nauka Tom. 62 (drugi druk pierwszego wyd.). Springer-Verlag . ISBN 3-540-63003-1 . Zbl 0819.11044 .
•    Lang, Serge (1994). Algebraiczna teoria liczb . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 110 (wyd. drugie). Nowy Jork: Springer. ISBN 0-387-94225-4 . Zbl 0811.11001 .
•    Pohst, M.; Zassenhaus, H. (1989). Algorytmiczna teoria liczb algebraicznych . Encyklopedia matematyki i jej zastosowań . Tom. 30. Cambridge University Press . ISBN 0-521-33060-2 . Zbl 0685.12001 .

Linki zewnętrzne

• „Wykorzystanie stałej Minkowskiego do znalezienia numeru klasy” . Planeta Matematyka .
• Stevenhagen, Piotr. pierścienie numeryczne .
• Minkowski związany na tajnym seminarium blogowym