Inny ideał

W algebraicznej teorii liczb , inny ideał (czasami po prostu inny ) jest definiowany w celu zmierzenia (możliwego) braku dualności w pierścieniu liczb całkowitych algebraicznego pola liczbowego K , w odniesieniu do śladu pola . Następnie koduje rozgałęzienia dla ideałów pierwszych pierścienia liczb całkowitych. Został wprowadzony przez Richarda Dedekinda w 1882 roku.

Definicja

Jeśli O K jest pierścieniem liczb całkowitych K , a tr oznacza ślad pola od K do pola liczb wymiernych Q , to

jest całkową formą kwadratową na O K . Jego dyskryminator w formie kwadratowej nie musi być +1 (w rzeczywistości dzieje się tak tylko dla przypadku K = Q ). Zdefiniuj moduł odwrotny różny lub współróżniący się lub komplementarny moduł Dedekinda jako zbiór I x ∈ K taki, że tr( xy ) jest liczbą całkowitą dla wszystkich y w O K , to I jest ułamkowym ideałem K zawierającym O K . Z definicji inny ideał δ K jest odwrotnym ułamkowym ideałem I −1 : jest to ideał O K .

Idealna norma δ K jest równa ideałowi Z wygenerowanemu przez dyskryminator pola D K od K .

Inna elementu α z K z minimalnym wielomianem f jest zdefiniowana jako δ (α) = f ′ (α), jeśli α generuje pole K (i zero w przeciwnym razie): możemy napisać

gdzie α ( i ) przebiega przez wszystkie pierwiastki charakterystycznego wielomianu α inne niż sama α. Inny ideał jest generowany przez różne wszystkich liczb całkowitych α w O K . To jest oryginalna definicja Dedekinda.

Inność jest również zdefiniowana dla skończonego stopnia rozszerzenia lokalnych pól . Odgrywa podstawową rolę w dualności Pontriagina dla pól p-adycznych .

Względnie różne

Względna różnica δ L / K jest zdefiniowana w podobny sposób dla rozszerzenia pól liczbowych L / K . Względna norma względnej różnicy jest wtedy równa względnemu wyróżnikowi Δ L / K . W wieży pól L / K / F względne różnice są powiązane przez δ L / F = δ L / K δ K / F .

Względna różnica równa się anihilatorowi względnego modułu różniczkowego Kählera :

Idealną klasą względnej różnej δ L / K jest zawsze kwadrat w grupie klas O L , pierścień liczb całkowitych L . Ponieważ względny wyróżnik jest normą względnej odmienności, jest to kwadrat klasy w grupie klas O K : w istocie jest to kwadrat klasy Steinitza dla OL jako O K -modułu.

Rozgałęzienie

Względna różnica koduje dane rozgałęzienia rozszerzenia pola L / K . Ideał pierwszy p z K rozgałęzia się w L , jeśli faktoryzacja p w L zawiera liczbę pierwszą L do potęgi wyższej niż 1: dzieje się tak wtedy i tylko wtedy, gdy p dzieli względny wyróżnik Δ L / K . Dokładniej, jeśli

p = P 1 mi (1) ... P k mi ( k )

jest rozłożeniem p na ideały pierwsze L , to P i dzieli względne różne δ L / K wtedy i tylko wtedy, gdy P i jest rozgałęziony, to znaczy wtedy i tylko wtedy, gdy wskaźnik rozgałęzienia e ( i ) jest większy niż 1. dokładny wykładnik, do którego rozgałęziona liczba pierwsza P dzieli δ, jest nazywany wykładnikiem różniczkowym P i jest równy e - 1, jeśli P jest potulnie rozgałęziony : to znaczy, gdy P nie dzieli e . W przypadku, gdy P jest dziko rozgałęziony, wykładnik różniczkowy mieści się w zakresie od e do e + e ν P ( e ) - 1. Wykładnik różniczkowy można obliczyć z rzędów wyższych grup rozgałęzień dla rozszerzeń Galois:

Obliczenia lokalne

Inaczej można zdefiniować dla rozszerzenia pól lokalnych L / K . W tym przypadku możemy przyjąć, że rozszerzenie jest proste , generowane przez element pierwotny α, który również generuje bazę całkowania potęgowego . Jeśli f jest minimalnym wielomianem dla α, to różnica jest generowana przez f' (α).

Notatki

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Different_ideal&oldid=1131873256 ”