W matematyce norma (pola) jest szczególnym odwzorowaniem zdefiniowanym w teorii pola , które odwzorowuje elementy większego pola na podpole.
Definicja formalna
Niech K będzie ciałem , a L skończonym rozszerzeniem (a zatem rozszerzeniem algebraicznym ) K .
Pole L jest zatem skończoną wymiarową przestrzenią wektorową nad K .
Mnożenie przez α, element L ,
m
α
: L → L
{\ Displaystyle m _ {\ alfa} \ dwukropek L \ do L}
m
α
( x ) = α x
{\ Displaystyle m _ {\ alfa} (x) = \ alfa x}
jest K - liniową transformacją tej przestrzeni wektorowej do samej siebie.
Norma NL / zdefiniowana transformacji K α ) jest jako wyznacznik tej liniowej .
L / K jest rozszerzeniem Galois , można obliczyć normę α ∈ L jako iloczyn wszystkich koniugatów Galois α:
N
L
/
K
( α ) =
∏
σ ∈ Gal ( L
/
K )
σ ( α ) ,
{\ Displaystyle \ nazwa operatora {N} _ {L / K} (\ alfa) = \ prod _ {\ sigma \ w \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha ),}
gdzie Gal( L / K ) oznacza grupę Galois L / K . (Pamiętaj, że warunki produktu mogą się powtarzać).
rozszerzenia pola L / K i niezerowego α w L , niech σ 1 ( α ), ..., σ n α ) będą pierwiastkami minimalnego wielomianu α nad K (pierwiastki wymienione z krotnością i leżące w jakieś pole rozszerzenia L ); Następnie
N
L
/
K
( α ) =
(
∏
jot = 1
n
σ
jot
( α )
)
[ L : K ( α ) ]
{\ Displaystyle \ nazwa operatora {N} _ {L / K} (\ alfa) = \ lewo (\prod _{j=1}^{n}\sigma _{j}(\alpha)\right)^{[L:K(\alpha)]}}
L / K jest rozdzielne , to każdy pierwiastek występuje tylko raz w iloczynie (chociaż wykładnik, stopień [ L : K ( α)], może być większy niż 1).
Przykłady
Rozszerzenia pola kwadratowego
Jeden z podstawowych przykładów norm pochodzi z rozszerzeń pola kwadratowego gdzie
Q
(
za
)
/
Q
\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {a}}) / \ mathbb {Q
}
}
Następnie mapa mnożenia przez
element
{\ Displaystyle {\ sqrt {a}}}
x + y ⋅
za
{\ Displaystyle x + y \ cdot {\ sqrt {a}}}
za
⋅ ( x + y ⋅
za
) = y ⋅ za + x ⋅
za
.
{\ Displaystyle {\ sqrt {a}} \ cdot (x + y \ cdot {\ sqrt {a}}) = y \ cdot a + x \ cdot {\ sqrt {a}}.}
Element
x + y ⋅
za
{\ Displaystyle x + y \ cdot {\ sqrt {a}}}
[
x
y
]
,
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} x \\ y \ koniec {bmatrix}},}
ponieważ istnieje bezpośredni rozkład sumy
Q
(
za
) =
Q
⊕
Q
⋅
za
{\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {a}}) = \ mathbb {Q} \ oplus \ mathbb {Q} \ cdot { \ sqrt {a}}}
-wektorowa
przestrzeń
Macierz m za {
\ displaystyle m _ {\ sqrt
{
a}}}
m
za
=
[
0
za
1
0
]
{\ Displaystyle m _ {\ sqrt {a}} = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i a \\ 1 i 0 \ koniec {bmatrix}}}
a normą jest
N
Q
(
za
)
/
Q
(
za
) = - za
{\ Displaystyle N _ {\ mathbb {Q} ({\ sqrt {a}}) / \ mathbb {Q}} ({\ sqrt {a} })=-a}
wyznacznikiem tej macierzy .
Norma Q(√2)
Rozważ pole liczbowe
K =
Q
(
2
)
{\ Displaystyle K = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}
Grupa Galois nad
{
ma
porządek
}
i
}}}
generowana
Q
2
\
displaystyle \ mathbb {
-
2
{\ Displaystyle - {\ sqrt {2}}}
1 +
2
{\ Displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}}
( 1 +
2
) ( 1 -
2
) = - 1.
{\ Displaystyle (1 + {\ sqrt {2}}) (1- {\ sqrt {2}}) = -1.}
grupy Galois .
Naprawić -na podstawie
Q
,
powiedz
(
2
)
{\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}
{ 1 ,
2
}
{\ Displaystyle \ {1, {\ sqrt {2}} \}}
Następnie mnożenie przez liczbę wysyła
1 +
2
{\ Displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}}
1 do
1 +
2
\ Displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}}
2
+
i
{
2
{
\ Displaystyle 2 + {\ sqrt {2}}}
Zatem wyznacznik „mnożenia przez
wyznacznikiem
wysyła
,
”
która wektor
[
1
0
]
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 1 \\ 0 \ koniec {bmatrix}}}
[
1
1
]
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 1 \\1\ koniec {bmatrix}}}
[
0
1
]
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 0 \\1 \ koniec {bmatrix}}}
2
{\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}
[
2
1
]
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 2 \\ 1 \ koniec {bmatrix}}}
mianowicie.:
[
1
2
1
1
]
.
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 2 \\ 1 i 1 \ koniec {bmatrix}}.}
Wyznacznikiem tej macierzy jest −1.
p -te rozszerzenie pola głównego
Inna
łatwa
klasa
pochodzi
z
pól
w
_ rozkład
rozszerzeń postaci gdzie
na czynniki pierwsze
ustalonej
-tej
potęgi
.
liczby
pierwszej
Mapa mnożenia przez element jest
p
}
{\ displaystyle {\ sqrt [{p}] {a}}
m
za
p
( x )
=
za
p
⋅ (
za
0
+
za
1
za
p
+
za
2
za
2
p
+ ⋯ +
za
p - 1
za
p - 1
p
)
=
za
0
za
p
+
za
1
za
2
p
+
za
2
za
3
p
+ ⋯ +
za
p - 1
za
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} m _ {\ sqrt [{p}] {a}} (x) & = {\ sqrt [{p}] {a}} \ cdot (a_{0}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+\cdots +a_{ p-1}{\sqrt[{p}]{a^{p-1}}})\\&=a_{0}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{1}{\ sqrt[{p}]{a^{2}}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{3}}}+\cdots +a_{p-1}a\end{wyrównane }}}
podając macierz
[
0
0
0
⋯
A
0
1
⋯
0
0
0
1
⋯
0
0
⋮ ⋮
⋱
⋮
⋮
⋯
0
0
1
]
0
{
\ displayStyle {\ start {bmatrix} 0 & 0 & \ cdots & 0 & a \\ 1 & 0 & \ cdots & 0 i 0 \\ 0 & 1 & \ cdots & 0 & 0 \\ vdots & \ vdots & \ ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&0\end{bmacierz}}}
Wyznacznik daje normę
N
Q
(
za
p
)
/
Q
(
za
p
) = ( - 1
)
p - 1
za = za .
{\ Displaystyle N _ {\ mathbb {Q} ({\ sqrt [{p}] {a}}) / \ mathbb {Q}} ({\ sqrt [{p}] {a}}) = (-1) ^{p-1}a=a.}
Liczby zespolone nad liczbami rzeczywistymi
Norma pola od liczb zespolonych do liczb rzeczywistych wysyła
x + iy Do
x 2 + y 2 ponieważ grupa Galois ma dwa elementy, do {\ displaystyle \ mathbb {
C
}}
R
{\ displaystyle \ mathbb {R}}
element tożsamości i
złożona koniugacja,
i biorąc produkt daje ( x + iy )( x − iy ) = x 2 + y 2 .
Pola skończone
Niech L = GF( q n rozszerzeniem skończonego ciała K = GF( q ).
Ponieważ L / K jest rozszerzeniem Galois , jeśli α jest w L , to norma α jest iloczynem wszystkich koniugatów Galois α , tj.
N
L
/
K
( α ) = α ⋅
α
q
⋅
α
q
2
⋯
α
q
n - 1
=
α
(
q
n
- 1 )
/
( q - 1 )
.
{\ Displaystyle \ nazwa operatora {N} _ {L / K} (\ alfa) = \ alfa \ cdot \ alfa ^ {q} \ cdot \ alfa ^ {q ^ {2}} \ cdots \ alfa ^ {q ^ { n-1}}=\alfa ^{(q^{n}-1)/(q-1)}.}
W tym ustawieniu mamy dodatkowe właściwości,
∀ α ∈ L ,
N
L
/
K
(
α
q
) =
N
L
/
K
( α )
{\ Displaystyle \ forall \ alfa \ w L, \ quad \ nazwa operatora {N} _ {L / K} (\ alfa ^{q})=\nazwa operatora {N} _{L/K}(\alpha )}
∀ za ∈ K. ,
N
L
/
K.
( za ) =
za
n
.
{\ Displaystyle \ forall a \ w K, \ quad \ nazwa operatora {N} _ {L / K} (a) = a ^ {n}.}
Właściwości normy
Kilka właściwości funkcji normowej zachodzi dla dowolnego skończonego rozszerzenia.
Homomorfizm grupowy
Norma N L / K L * → K * jest homomorfizmem grupowym od grupy multiplikatywnej L do grupy multiplikatywnej K , to znaczy
N
L
/
K
( α β ) =
N
L
/
K
( α )
N
L
/
K
( β )
dla wszystkich
α , β ∈
L
∗
.
{\ Displaystyle \ nazwa operatora {N} _ {L/K} (\ alfa \ beta) = \ nazwa operatora {N} _ {L/K} (\ alfa) \ nazwa operatora {N} _ {L/K} (\ beta ){\text{dla wszystkich}}\alpha ,\beta \in L^{*}.}
Ponadto, jeśli a w K :
N
L
/
K
( za α ) =
za
[ L : K ]
N
L
/
K
( α )
dla wszystkich
α ∈ L .
{\ Displaystyle \ nazwa operatora {N} _ {L/K} (a \ alfa) = a ^ {[L: K]} \ nazwa operatora {N} _ {L/K} (\ alfa) {\ tekst {dla wszystkich }}\alfa \w L.}
Jeśli za ∈ K. to
N
L
/
K.
( za ) =
za
[ L : K. ]
.
{\ Displaystyle \ nazwa operatora {N} _ {L / K} (a) = a ^ {[L: K]}.}
Kompozycja z rozszerzeniami pól
Dodatkowo norma dobrze zachowuje się w wieżach pól :
jeśli M jest skończonym rozszerzeniem L , to norma z M do K jest po prostu złożeniem normy z M do L z normą z L do K , tj.
N
M
/
K.
=
N
L
/
K.
∘
N
M
/
L
.
{\ Displaystyle \ nazwa operatora {N} _ {M/K} = \ nazwa operatora {N} _ {L/K} \ circ \ nazwa operatora {N} _ {M/L}.}
Zmniejszenie normy
Normę elementu w dowolnym rozszerzeniu pola można zredukować do łatwiejszych obliczeń, jeśli znany jest już stopień rozszerzenia pola . To jest
N
L
/
K.
( α ) =
N
K. ( α )
/
K.
( α
)
[ L : K. ( α ) ]
{\ Displaystyle N_ {L / K} (\ alfa) = N_ {K (\ alfa) / K} (\alfa)^{[L:K(\alfa)]}}
Na przykład dla w rozszerzeniu pola
\ Displaystyle L = \ mathbb {Q}
L
}
Q
(
(
,
ζ
3
) , K =
Q
\ sqrt {2}}, \ zeta _ {3}), K = \ mathbb {Q}}
{
{
2
=
α
{\ displaystyle \ alpha}
N
Q
(
2
,
ζ
3
)
/
Q
(
2
)
=
N
Q
(
2
)
/
Q
(
2
)
[
Q
(
2
,
ζ
3
) :
Q
(
2
) ]
= ( - 2
)
2
= 4
{\ Displaystyle { \begin{aligned}N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3})/\mathbb {Q}}({\sqrt {2}})&=N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q}}({\sqrt {2}})^{[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3 }):\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})]}\\&=(-2)^{2}\\&=4\end{wyrównane}}}
ponieważ stopień rozszerzenia pola wynosi
L
/
K ( α )
{\ Displaystyle L / K (\ alfa)}
2
{\ Displaystyle 2}
Wykrywanie jednostek
Element
jest
=
±
N
1
α
)
K / Q
(
{ \ Displaystyle N_ { K
/\ mathbb {Q}}(\alfa)=\pm 1}
Na przykład
N
Q
(
ζ
3
)
/
Q
(
ζ
3
) = 1
{\ Displaystyle N _ {\ mathbb {Q} (\ zeta _ {3}) / \ mathbb {Q}} (\ zeta _ {3}) = 1}
Gdzie
ζ
3
3
= 1
{\ Displaystyle \ zeta _ {3} ^ {3} = 1}
Wtedy
zawierające
jako
liczbowe
ma
.
Dalsze właściwości
Norma algebraicznej liczby całkowitej jest znowu liczbą całkowitą, ponieważ jest równa (z dokładnością do znaku) stałemu wyrazowi charakterystycznego wielomianu.
W algebraicznej teorii liczb definiuje się także normy dla ideałów . Odbywa się to w taki sposób, że jeśli I jest niezerowym ideałem O K pierścień liczb całkowitych pola liczbowego K , N ( ja ) jest liczbą klas reszt w
O
K
/
ja
{\ Displaystyle O_ {K} /I}
skończonego pierścienia . Stąd ta idealna norma jest zawsze dodatnią liczbą całkowitą.
Kiedy I jest ideałem głównym αO K , to N ( I ) jest równe wartości bezwzględnej normy do Q od α , dla α jest algebraiczną liczbą całkowitą .
Zobacz też
Notatki
Lidla, Rudolfa; Niederreiter, Harald (1997) [1983], Pola skończone Cambridge University Press , ISBN 0-521-39231-4 Zbl 0866.11069
Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013), Podręcznik pól skończonych , CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6
Roman, Steven (2006), Teoria pola , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 158 (wydanie drugie), Springer, rozdział 8, ISBN 978-0-387-27677-9 Zbl 1172.12001
Rotman, Joseph J. (2002), Advanced Modern Algebra , Prentice Hall, ISBN 978-0-13-087868-7
![\operatorname {N}_{{L/K}}(\alpha )=\left(\prod _{{j=1}}^{n}\sigma _{j}(\alpha )\right)^{{[L:K(\alpha )]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5456f9055e8974418d998bad0d30ccd5becf8fb4)
![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/743a7bfda123f7c8e0d5f445f946341c2966c1d2)
![{\displaystyle {\sqrt[{p}]{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e801d5cff1bd74c43723f6777d1ff6305089e6f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}m_{\sqrt[{p}]{a}}(x)&={\sqrt[{p}]{a}}\cdot (a_{0}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+\cdots +a_{p-1}{\sqrt[{p}]{a^{p-1}}})\\&=a_{0}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{3}}}+\cdots +a_{p-1}a\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d052faed7af362ce87c839cc9e8b52a2cbe3ba7b)
![{\displaystyle N_{\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt[{p}]{a}})=(-1)^{p-1}a=a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee32203de52e3ba8884cf77c366fbb8aebe53a37)
![{\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a\alpha )=a^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(\alpha ){\text{ for all }}\alpha \in L.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa3ce405dd38377d155f6a41235dfa929ece66c8)
![\operatorname {N}_{{L/K}}(a)=a^{{[L:K]}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c463368179b2ca3bb4b8c8e1055e4926e8a33e3b)
![{\displaystyle N_{L/K}(\alpha )=N_{K(\alpha )/K}(\alpha )^{[L:K(\alpha )]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a489f85f9687611ff23b78c3129ed387a1449ae3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})&=N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})^{[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}):\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})]}\\&=(-2)^{2}\\&=4\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1be2c15698576800c264786352ae26f3acd49b2e)
