Twierdzenie Hassego-Arfa

W matematyce , a konkretnie w teorii pola klas lokalnych , twierdzenie Hasse-Arfa jest wynikiem skoków filtracji górnej numeracji grupy Galois o skończonym rozszerzeniu Galois . Szczególny przypadek, gdy pola pozostałości są skończone, został pierwotnie udowodniony przez Helmuta Hasse , a ogólny wynik został udowodniony przez Cahita Arfa .

Oświadczenie

Wyższe grupy rozgałęzień

Twierdzenie dotyczy wyższych grup rozgałęzień o wyższych numerach skończonego rozszerzenia abelowego L / K . Załóżmy więc że L / K jest skończonym rozszerzeniem Galois i że v _K jest dyskretną znormalizowaną wyceną K , której pole resztowe ma charakterystykę p > 0 i które dopuszcza unikalne rozszerzenie L , powiedzmy w . Oznaczmy przez v _L powiązaną znormalizowaną wycenę ew of L i $_$ będzie pierścieniem wyceny L pod v L _. Niech L / K mają grupę Galois G i zdefiniujmy s -tą grupę rozgałęzień L / K dla dowolnego rzeczywistego s ≥ −1 przez

{\ Displaystyle G_ {s} (L / K) = \ {\ sigma \ in G \ ,: \, v_ {L} (\ sigma aa) \ geq s + 1 {\ tekst {dla wszystkich}} a \ in {\mathcal {O}}\}.}

Na przykład G _-1 to grupa Galois G . Aby przejść do numeracji górnej należy zdefiniować funkcję ψ _{L / K} , która z kolei jest odwrotnością funkcji η _{L / K} określonej przez

{\ Displaystyle \ eta _ {L / K} (s) = \ int _ {0} ^ {s} {\ Frac {dx} {| G_ {0}: G_ {x} |}}.}

Górna numeracja grup rozgałęzień jest wtedy określona przez G ^t ( L / K ) = G _s ( L / K ) gdzie s = ψ _{L / K} ( t ).

Te wyższe grupy rozgałęzień G ^t ( L / K ) są zdefiniowane dla dowolnego rzeczywistego t ≥ −1, ale ponieważ v _L jest wyceną dyskretną, grupy będą się zmieniać w dyskretnych skokach, a nie w sposób ciągły. Mówimy więc, że t jest skokiem filtracji { G ^t ( L / K ) : t ≥ −1} jeśli G ^t ( L / K ) ≠ G ^u ( L / K ) dla dowolnego u > t . Twierdzenie Hasse-Arfa mówi nam o arytmetycznej naturze tych skoków.

Stwierdzenie twierdzenia

wszystkie skoki filtracji { G ^t ( L / K ): t ≥ −1} są liczbami całkowitymi wymiernymi .

Przykład

Załóżmy , że G jest cykliczny rzędu $\ displaystyle p ^ {n}}$ { , ${\ displaystyle p}$ charakterystyczny dla pozostałości i być podgrupą $i)}$ ${\ Displaystyle G$ zamówienie ${\ displaystyle p ^ {ni}}$ . Twierdzenie mówi, że istnieją dodatnie liczby całkowite ${\ Displaystyle i_ {0}, i_ {1}, ..., i_ {n-1}}$ takie, że

{\ Displaystyle G_ {0} = \ cdots = G_ {i_ {0}} = G = G ^ {0} = \ cdots = G ^ {i_ { 0}}}

{\ Displaystyle G_ {i_ {0}+1} = \ cdots = G_ {i_ {0} + pi_ {1}} = G (1) = G ^ {i_ {0} + 1} = \ cdots = G ^ {i_ {0} + i_ {1}}}

{\ Displaystyle G_{i_{0}+pi_{1}+1}=\cdots =G_{i_{0}+pi_{1}+p^{2}i_{2}}=G(2)=G^{i_ {0}+i_{1}+1}}

...

{\ Displaystyle G_ {i_ {0} + pi_ {1} + \ cdots + p ^ {n-1} i_ {n-1} +1} = 1 = G ^ {i_ {0} + \ cdots + i_ { n-1}+1}.}

Rozszerzenia nieabelowe

Dla rozszerzeń nieabelowych skoki w filtracji górnej nie muszą być liczbami całkowitymi. Serre podał przykład całkowicie rozgałęzionego rozszerzenia z grupą Galois, grupą kwaternionów Q ₈ rzędu 8 z

₀ G = P ₈
G ₁ = Q ₈
G ₂ = Z / 2 Z
G ₃ = Z / 2 Z
g ₄ = 1

Górna numeracja jest wtedy zadowalająca

sol ⁿ = Q ₈ dla n ≤1
sol ⁿ = Z /2 Z dla 1< n ≤3/2
Gn ⁼ 1 dla 3/2< n

więc ma skok przy wartości niecałkowitej n = 3/2.

Notatki

Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlenteorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Tom. 322. Berlin: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . MR 1697859 . Zbl 0956.11021 .
Serre, Jean-Pierre (1979), pola lokalne , teksty absolwentów matematyki, tom. 67, przetłumaczone przez Greenberga, Marvina Jaya , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90424-7 , MR 0554237 , Zbl 0423.12016