Wyróżnik podstawowy
W matematyce podstawowy wyróżnik D jest niezmiennikiem całkowitym w teorii całkowych binarnych form kwadratowych . Jeśli Q ( x , y = ax 2 + bxy + cy 2 ) jest formą kwadratową ze współczynnikami całkowitymi, to D = b 2 − 4 ac jest wyróżnikiem Q ( x , y ). I odwrotnie, każda liczba całkowita D z D ≡ 0, 1 ( mod 4) jest wyróżnikiem jakiejś binarnej postaci kwadratowej ze współczynnikami całkowitymi. Zatem wszystkie takie liczby całkowite są w tej teorii nazywane wyróżnikami .
Istnieją wyraźne warunki kongruencji , które dają zestaw podstawowych wyróżników. W szczególności D jest podstawowym wyróżnikiem wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jedno z poniższych stwierdzeń
- D ≡ 1 (mod 4) i jest wolny od kwadratów ,
- D = 4 m , gdzie m ≡ 2 lub 3 (mod 4) i m jest wolne od kwadratów.
Pierwsze dziesięć pozytywnych podstawowych wyróżników to:
Pierwsze dziesięć negatywnych podstawowych wyróżników to:
Połączenie z polami kwadratowymi
00000 Istnieje związek między teorią całkowych form binarnych kwadratowych a arytmetyką pól liczb kwadratowych . Podstawową właściwością tego związku jest to, że D jest podstawowym wyróżnikiem wtedy i tylko wtedy, gdy D = 1 lub D jest wyróżnikiem kwadratowego ciała liczbowego. Istnieje dokładnie jedno pole kwadratowe dla każdego podstawowego wyróżnika D ≠ 1, aż do izomorfizmu . To jest powód, dla którego niektórzy autorzy uważają, że 1 nie jest podstawowym wyróżnikiem, chociaż D = 1 można interpretować jako wyróżnik algebry kwadratowej składającej się z dwóch kopii pola wymiernego.
Faktoryzacja
Podstawowe wyróżniki można również scharakteryzować przez ich faktoryzację na dodatnie i ujemne potęgi pierwsze . Zdefiniuj zestaw
0 gdzie liczby pierwsze przystające do 1 mod 4 są dodatnie, a przystające do 3 mod 4 są ujemne. Wtedy liczba D ≠ 1 jest podstawowym wyróżnikiem wtedy i tylko wtedy, gdy jest iloczynem par względnie pierwszych elementów S .
- Henriego Cohena (1993). Kurs obliczeniowej algebraicznej teorii liczb . Absolwent Teksty z matematyki. Tom. 138. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . ISBN 3-540-55640-0 . MR 1228206 .
- Duncana Buella (1989). Binarne formy kwadratowe: teoria klasyczna i współczesne obliczenia . Springer-Verlag . P. 69 . ISBN 0-387-97037-1 .
- Don Zagier (1981). Zetafunktionen und quadratische Körper . Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-10603-6 .