Uogólniona hipoteza Riemanna

Hipoteza Riemanna jest jedną z najważniejszych hipotez w matematyce . Jest to stwierdzenie o zerach funkcji zeta Riemanna . Różne obiekty geometryczne i arytmetyczne można opisać za pomocą tzw. globalnych funkcji L , które formalnie są podobne do funkcji zeta Riemanna. Następnie można zadać to samo pytanie o miejsca zerowe tych L -funkcji, uzyskując różne uogólnienia hipotezy Riemanna. Wielu matematyków uważa, że ​​te uogólnienia hipotezy Riemanna są prawdziwe. Jedyne przypadki tych przypuszczeń, które zostały udowodnione, występują w pola funkcji algebraicznej (nie w przypadku pola liczbowego).

Globalne funkcje L można powiązać z krzywymi eliptycznymi , polami liczbowymi (w takim przypadku nazywane są funkcjami zeta Dedekinda ), formami Maassa i znakami Dirichleta (w takim przypadku nazywane są funkcjami L Dirichleta ). Kiedy hipoteza Riemanna jest sformułowana dla funkcji zeta Dedekinda, jest znana jako rozszerzona hipoteza Riemanna (ERH) , a kiedy jest sformułowana dla funkcji L Dirichleta , jest znana jako uogólniona hipoteza Riemanna lub uogólniona hipoteza Riemanna (patrz różnice w pisowni ) (GRH). Te dwa stwierdzenia zostaną omówione bardziej szczegółowo poniżej. (Wielu matematyków używa etykiety uogólnionej hipotezy Riemanna, aby objąć rozszerzenie hipotezy Riemanna na wszystkie globalne funkcje L , a nie tylko na szczególny przypadek funkcji L Dirichleta ).

Uogólniona hipoteza Riemanna (GRH)

Uogólniona hipoteza Riemanna (dla funkcji L Dirichleta ) została prawdopodobnie sformułowana po raz pierwszy przez Adolfa Piltza w 1884 roku. Podobnie jak pierwotna hipoteza Riemanna, ma ona daleko idące konsekwencje dotyczące rozkładu liczb pierwszych .

Następuje formalne sformułowanie hipotezy. Znak Dirichleta jest całkowicie multiplikatywną funkcją arytmetyczną χ taką, że istnieje dodatnia liczba całkowita k gdzie χ ( n + k ) = χ ( n ) dla wszystkich n i χ ( n ) = 0 ilekroć gcd ( n , k ) > 1 . Jeżeli taki znak jest podany, definiujemy odpowiednią L -funkcję Dirichleta przez

${\ Displaystyle L (\ chi, s) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {\ chi (n )}{n^{s}}}}$

dla każdej liczby zespolonej s takiej, że Re s > 1 . Poprzez $prymitywna$ analityczną funkcję tę można rozszerzyć do funkcji meromorficznej (tylko wtedy, gdy jest ) zdefiniowanej na całej płaszczyźnie zespolonej. Uogólniona hipoteza Riemanna głosi, że dla każdego znaku Dirichleta χ i każdej liczby zespolonej s z L ( χ , s ) = 0 , jeśli s nie jest ujemną liczbą rzeczywistą, to część rzeczywista s wynosi 1/2.

Przypadek χ ( n ) = 1 dla wszystkich n daje zwykłą hipotezę Riemanna.

Konsekwencje GRH

Twierdzenie Dirichleta stwierdza, że ​​jeśli a i d są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi , to postęp arytmetyczny a , a + d , a + 2 d , a + 3 d , ... zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych. Niech π( x , a , d ) oznacza liczbę liczb pierwszych w tym ciągu, które są mniejsze lub równe x . Jeśli uogólniona hipoteza Riemanna jest prawdziwa, to dla każdej względnie pierwszej a i d oraz dla każdego ε > 0 ,

${\ Displaystyle \ pi (x, a, d) ={\frac {1}{\varphi (d)}}\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\,dt+O(x^{1/2+ \varepsilon })\quad {\mbox{ as }}\ x\to \infty ,}$

gdzie jest totientową $funkcją$ i $O$ notacją Big . Jest to znaczne wzmocnienie twierdzenia o liczbach pierwszych .

Jeśli GRH jest prawdziwe, to każda właściwa podgrupa grupy multiplikatywnej ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}) ^ {\ razy}}$ pomija liczbę mniejszą niż 2 ( ln n ) ² , jak również liczbę względnie pierwszą do n mniejszą niż 3(ln n ) ² . Innymi słowy, ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}) ^ {\ razy}}$ jest generowane przez zbiór liczb mniejszych niż 2 (ln n ) ² . Jest to często używane w dowodach i ma wiele konsekwencji, na przykład (zakładając GRH):

• test pierwszości Millera-Rabina będzie działał w czasie wielomianowym. (Test pierwszości w czasie wielomianowym, który nie wymaga GRH, test pierwszości AKS , został opublikowany w 2002 r.)
• Shanksa -Tonellego będzie działał w czasie wielomianowym.
• Deterministyczny algorytm Ivanyosa – Karpińskiego – Saxeny do rozkładania na czynniki wielomianów na skończonych polach o stałych i gładkich stopniach liczb pierwszych gwarantuje działanie w czasie wielomianowym.

Jeśli GRH jest prawdziwe, to dla każdej liczby pierwszej p istnieje pierwiastek pierwotny mod p (generator multiplikatywnej grupy liczb całkowitych modulo p ), który jest mniejszy od ${\ Displaystyle O ((\ ln p) ^ {6}).}$

Słaba hipoteza Goldbacha wynika również z uogólnionej hipotezy Riemanna. Jeszcze nie zweryfikowany dowód Haralda Helfgotta weryfikuje GRH dla kilku tysięcy małych znaków do pewnej części urojonej, aby uzyskać wystarczające granice potwierdzające hipotezę dla wszystkich liczb całkowitych powyżej 10 29 , ^poniżej których zostały już zweryfikowane przez obliczenia .

Zakładając prawdziwość GRH, oszacowanie sumy znaków w nierówności Pólyi – Winogradowa można poprawić do ${\ Displaystyle O \ lewo ({\ sqrt {q}} \ log \ log q\right)}$ , gdzie q jest modułem znaku.

Rozszerzona hipoteza Riemanna (ERH)

Załóżmy, że K jest ciałem liczbowym (skończenie wymiarowym rozszerzeniem pola liczb wymiernych Q ) z pierścieniem liczb całkowitych O _K (pierścień ten jest całkowitym domknięciem liczb całkowitych Z w K ). Jeżeli a jest ideałem O _{K , innym niż ideał zerowy, to jego} normę oznaczamy przez Na . Funkcja zeta Dedekinda K jest wtedy zdefiniowana przez

${\ Displaystyle \ zeta _ {K} (s) = \ suma _ {a} {\ Frac {1} {(Na) ^ {s}}}}$

dla każdej liczby zespolonej s z częścią rzeczywistą > 1. Suma rozciąga się na wszystkie niezerowe ideały a z O _K .

Funkcja zeta Dedekinda spełnia równanie funkcjonalne i może być rozszerzona przez kontynuację analityczną na całą płaszczyznę zespoloną. Wynikowa funkcja koduje ważne informacje o polu liczbowym K . Rozszerzona hipoteza Riemanna głosi, że dla każdego pola liczbowego K i każdej liczby zespolonej s z ζ _K ( s ) = 0: jeśli część rzeczywista s mieści się w przedziale od 0 do 1, to w rzeczywistości wynosi 1/2.

Zwykła hipoteza Riemanna wynika z hipotezy rozszerzonej, jeśli przyjmiemy, że polem liczbowym jest Q , z pierścieniem liczb całkowitych Z .

ERH implikuje efektywną wersję twierdzenia Czebotariewa o gęstości : jeśli L / K jest skończonym rozszerzeniem Galois z grupą Galois G , a C sumą klas koniugacji G , liczba nierozgałęzionych liczb pierwszych K normy poniżej x z koniugatem Frobeniusa klasa w C jest

${\ Displaystyle {\ Frac {| C|} {| G|}} {\ Bigl (} \ operatorname { li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x}}(n\log x+\log |\Delta |){\bigr )}{\Bigr )},}$

gdzie stała implikowana w notacji dużego O jest bezwzględna, n jest stopniem L nad Q , a Δ jego wyróżnikiem.

Zobacz też

• Przypuszczenie Artina
• Funkcja L Dirichleta
• klasa Selberga
• Hipoteza Wielkiego Riemanna

Dalsza lektura

• „Hipoteza Riemanna, uogólniona” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]