Automorficzna funkcja L

W matematyce automorficzna L G funkcja jest funkcją L ( s , π , r ) zmiennej zespolonej s , powiązaną z automorficzną reprezentacją π grupy redukcyjnej w polu globalnym i skończenie wymiarową zespoloną reprezentacją r Langlands dual group ^LG G of G , uogólniając serię L Dirichleta o charakterze Dirichleta i transformatę Mellina formy modułowej . Zostały one wprowadzone przez Langlandsa ( 1967 , 1970 , 1971 ).

Borel (1979) oraz Arthur i Gelbart (1991) przeprowadzili badania automorficznych funkcji L.

Nieruchomości

$.$ automorficzne powinny mieć następujące właściwości (które zostały udowodnione w niektórych przypadkach, ale w innych nadal są hipotetyczne)

L ${\ Displaystyle L (s, \ pi, r)}$$displaystyle L} .$ być iloczynem miejsc lokalnych $L$ ( , $r$$)$ funkcje

${\ Displaystyle L (s, \ pi, r) = \ prod _ {v} L (s, \ pi _ {v} ,r_{v})}$

Tutaj reprezentacja $jest$ tensorowym $_$ _

Oczekuje się, że funkcja L będzie miała analityczną kontynuację jako funkcja meromorficzna wszystkich zespolonych i spełni równanie funkcjonalne ${\ displaystyle s}$

${\ Displaystyle L (s, \ pi, r) = \ epsilon (s, \ pi, r )L(1-s,\pi ,r^{\lor })}$

gdzie współczynnik jest iloczynem „stałych lokalnych” ${\ Displaystyle \ epsilon (s, \ pi, r)}$

${\ Displaystyle \ epsilon (s, \ pi, r) = \ prod _ {v} \ epsilon (s, \ pi _{v},r_{v},\psi _{v})}$

prawie wszystkie to 1.

Ogólne grupy liniowe

Godement i Jacquet (1972) skonstruowali automorficzne funkcje L dla ogólnych grup liniowych z reprezentacją standardową r (tzw. standardowe funkcje L ) i zweryfikowali analityczną kontynuację oraz równanie funkcyjne, stosując uogólnienie metody w tezie Tate'a . Wszechobecne w Programie Langlandsa są Rankina-Selberga reprezentacji GL(m) i GL(n). Powstałe funkcje L Rankina-Selberga spełniają szereg właściwości analitycznych, a ich równanie funkcjonalne zostało najpierw udowodnione metodą Langlandsa-Shahidiego .

Ogólnie rzecz biorąc, hipotezy funktoralności Langlandsa implikują, że automorficzne funkcje L połączonej grupy redukcyjnej są równe iloczynom automorficznych funkcji L ogólnych grup liniowych. Dowód funkcjonalności Langlandsa doprowadziłby również do dogłębnego zrozumienia właściwości analitycznych automorficznych funkcji L.

•    Artur, Jakub; Gelbart, Stephen (1991), „Wykłady na temat automorficznych funkcji L”, w: Coates, John; Taylor, MJ (red.), Funkcje L i arytmetyka (Durham, 1989) (PDF) , London Math. soc. Notatka z wykładu Ser., tom. 153, Cambridge University Press , s. 1–59, doi : 10.1017/CBO9780511526053.003 , ISBN 978-0-521-38619-7 , MR 1110389
•    Borel, Armand (1979), „Automorficzne funkcje L”, w: Borel, Armand ; Casselman, W. (red.), Formy automorficzne, reprezentacje i funkcje L (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), część 2, Proc . Sympozjum Czysta matematyka, tom. XXXIII, Providence, RI: American Mathematical Society , s. 27–61, doi : 10.1090/pspum/033.2/546608 , ISBN 978-0-8218-1437-6 , MR 0546608
•    Cogdell, James W.; Kim, Henry H.; Murty, Maruti Ram (2004), Wykłady na temat automorficznych funkcji L , Monografie Fields Institute, tom. 20, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-3516-6 , MR 2071722
•    Gelbart, Stefan ; Piatetski-Shapiro, Ilya; Rallis, Stephen (1987), Jawne konstrukcje automorficznych funkcji L , Lecture Notes in Mathematics, tom. 1254, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0078125 , ISBN 978-3-540-17848-4 , MR 0892097
•    Godement, Roger ; Jacquet, Hervé (1972), Funkcje Zeta prostych algebr , Lecture Notes in Mathematics, tom. 260, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0070263 , ISBN 978-3-540-05797-0 , MR 0342495
• Jacquet, H.; Piątecki-Szapiro, II; Shalika, JA (1983), "Zwoje Rankina-Selberga", Amer. J. Matematyka. , 105 : 367–464, doi : 10.2307/2374264
• Langlands, Robert (1967), List do prof. Weila
•    Langlands, RP (1970), „Problemy z teorii form automorficznych”, Wykłady z nowoczesnej analizy i zastosowań, III , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 170, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , s. 18–61, doi : 10.1007/BFb0079065 , ISBN 978-3-540-05284-5 , MR 0302614
•    Langlands, Robert P. (1971) [1967], produkty Eulera , Yale University Press, ISBN 978-0-300-01395-5 , MR 0419366
• Shahidi, F. (1981), „O pewnych funkcjach „L”, Amer. J. Matematyka. , 103 : 297–355, doi : 10.2307/2374219