Twierdzenie Hermite'a-Minkowskiego

W matematyce, zwłaszcza w algebraicznej teorii liczb , twierdzenie Hermite'a-Minkowskiego stwierdza, że ​​dla dowolnej liczby całkowitej N istnieje tylko skończenie wiele pól liczbowych , tj. skończonych rozszerzeń ciał K liczb wymiernych Q , takich że dyskryminator K / Q jest w większość N. _ Twierdzenie nosi imię Charlesa Hermite'a i Hermanna Minkowskiego .

Twierdzenie to jest konsekwencją oszacowania dla dyskryminatora

${\ Displaystyle {\ sqrt {| d_ {K} |}} \ geq {\ Frac {n ^ {n}} {n!}} \ lewo ({\ Frac {\ pi}} 4}}\prawo)^{n/2}}$

gdzie n jest stopniem rozszerzenia pola wraz ze wzorem Stirlinga na n !. Ta nierówność pokazuje również, że dyskryminator dowolnego pola liczbowego ściśle większego niż Q nie wynosi ± 1, co z kolei oznacza, że ​​Q nie ma nierozgałęzionych rozszerzeń.

Neukirch, Jürgen (1999). Algebraiczna teoria liczb . Skoczek. Sekcja III.2