Pole sześcienne

W matematyce , a konkretnie w dziedzinie algebraicznej teorii liczb , pole sześcienne jest algebraicznym polem liczbowym trzeciego stopnia .

Definicja

Jeśli K jest rozszerzeniem ciała liczb wymiernych Q stopnia [ K : Q ] = 3, to K nazywa się ciałem sześciennym . Każde takie pole jest izomorficzne z polem formularza

gdzie f jest nierozkładalnym wielomianem sześciennym o współczynnikach w Q . Jeśli f ma trzy pierwiastki rzeczywiste , to K nazywa się całkowicie rzeczywistym polem sześciennym i jest przykładem całkowicie rzeczywistego pola . Jeśli, z drugiej strony, f ma nierzeczywisty pierwiastek, to K nazywamy złożonym ciałem sześciennym .

Ciało sześcienne K nazywa się cyklicznym polem sześciennym, jeśli zawiera wszystkie trzy pierwiastki wielomianu generującego f . Równoważnie K jest cyklicznym polem sześciennym , jeśli jest rozszerzeniem Galois Q , w którym to przypadku jego grupa Galois nad Q jest cykliczna trzeciego rzędu . Może się to zdarzyć tylko wtedy, gdy K jest całkowicie rzeczywiste. Jest to rzadkie zjawisko w tym sensie, że jeśli zbiór pól sześciennych jest uporządkowany według dyskryminatora , to odsetek pól sześciennych, które są cykliczne, zbliża się do zera, gdy granica dyskryminatora zbliża się do nieskończoności.

Pole sześcienne nazywa się czystym polem sześciennym , jeśli można je uzyskać przez dołączenie rzeczywistego pierwiastka sześciennego dodatniej liczby całkowitej n bez sześcianów do liczby wymiernej pole Q. _ Takie pola są zawsze złożonymi polami sześciennymi, ponieważ każda liczba dodatnia ma dwa zespolone nierzeczywiste pierwiastki sześcienne.

Przykłady

  • Dołączenie rzeczywistego pierwiastka sześciennego z 2 do liczb wymiernych daje pole sześcienne . Jest to przykład czystego pola sześciennego, a zatem złożonego pola sześciennego. W rzeczywistości ze wszystkich czystych ciał sześciennych ma najmniejszy wyróżnik (w wartości bezwzględnej ), a mianowicie −108.
  • Zespolone sześcienne pole otrzymane przez dołączenie do Q pierwiastka z x 3 + x 2 - 1 nie jest czyste. Ma najmniejszy wyróżnik (w wartości bezwzględnej) ze wszystkich pól sześciennych, a mianowicie −23.
  • Przyleganie do pierwiastka z x 3 + x 2 - 2 x - 1 do Q daje cykliczne pole sześcienne, a zatem całkowicie rzeczywiste pole sześcienne. Ma najmniejszy wyróżnik ze wszystkich całkowicie rzeczywistych pól sześciennych, a mianowicie 49.
  • Pole otrzymane przez dołączenie do Q pierwiastka z x 3 + x 2 - 3 x - 1 jest przykładem całkowicie rzeczywistego pola sześciennego, które nie jest cykliczne. Jego wyróżnikiem jest 148, najmniejszy wyróżnik niecyklicznego, całkowicie rzeczywistego pola sześciennego.
  • Żadne pola cyklotomiczne nie są sześcienne, ponieważ stopień pola cyklotomicznego jest równy φ( n ), gdzie φ jest totientową funkcją Eulera , która przyjmuje tylko wartości parzyste z wyjątkiem φ(1) = φ(2) = 1.

Zamknięcie Galois

Cykliczne pole sześcienne K jest swoim własnym zamknięciem Galois z grupą Galois Gal ( K / Q ) izomorficzną z grupą cykliczną trzeciego rzędu. Jednak każde inne pole sześcienne K jest rozszerzeniem Q innym niż Galois i ma rozszerzenie pola N stopnia drugiego jako zamknięcie Galois. Grupa Galois Gal( N / Q ) jest izomorficzna z grupą symetryczną S 3 na trzech literach.

Powiązane pole kwadratowe

Wyróżnik pola sześciennego K można jednoznacznie zapisać jako df 2 , gdzie d jest podstawowym wyróżnikiem . Wtedy K jest cykliczne wtedy i tylko wtedy, gdy d = 1, w którym to przypadku jedynym podciałem K jest samo Q. Jeśli d ≠ 1, to zamknięcie Galois N z K zawiera unikalne pole kwadratowe k , którego wyróżnikiem jest d (w przypadku d = 1 podpole Q jest czasami uważane za „zdegenerowane” pole kwadratowe dyskryminatora 1). Przewodnikiem N względem k jest f , a f 2 jest względnym wyróżnikiem N względem K . _ Wyróżnikiem N jest d 3 f 4 .

Pole K jest czystym polem sześciennym wtedy i tylko wtedy, gdy d = −3. Jest to przypadek, w którym pole kwadratowe zawarte w domknięciu Galois K jest polem cyklotomicznym pierwiastków sześciennych jedności .

dyskryminujący

Niebieskie krzyżyki to liczba całkowicie rzeczywistych pól sześciennych ograniczonego wyróżnika. Czarna linia to rozkład asymptotyczny do pierwszego rzędu, podczas gdy zielona linia obejmuje składnik drugiego rzędu.
Niebieskie krzyżyki to liczba złożonych pól sześciennych ograniczonego dyskryminatora. Czarna linia to rozkład asymptotyczny do pierwszego rzędu, podczas gdy zielona linia obejmuje składnik drugiego rzędu.

Ponieważ znakiem wyróżnika pola liczbowego K jest (−1) r 2 , gdzie r 2 jest liczbą sprzężonych par zanurzeń zespolonych K w C , dyskryminator pola sześciennego będzie dodatni dokładnie wtedy, gdy całkowicie rzeczywiste i ujemne, jeśli jest to złożone pole sześcienne.

Dla pewnej liczby rzeczywistej N > 0 istnieje tylko skończenie wiele ciał sześciennych K , których dyskryminator D K spełnia | DK | _ N. _ Znane są wzory, które obliczają główny rozkład D K , więc można go obliczyć jawnie.

W przeciwieństwie do ciał kwadratowych, kilka nieizomorficznych ciał sześciennych K 1 , ..., K m może mieć ten sam wyróżnik D . Liczba m tych pól nazywana jest krotnością dyskryminatora D . Niektóre małe przykłady to m = 2 dla D = -1836, 3969, m = 3 dla D = -1228, 22356, m = 4 dla D = -3299, 32009 i m = 6 dla D = -70956, 3054132.

Dowolne pole sześcienne K będzie miało postać K = Q (θ) dla pewnej liczby θ, która jest pierwiastkiem nierozkładalnego wielomianu

gdzie aib liczbami całkowitymi. Wyróżnikiem f jest Δ = 4 za 3 - 27 b 2 . Oznaczając wyróżnik K przez D , indeks i (θ) θ jest wtedy określony przez Δ = i (θ) 2 D .

W przypadku niecyklicznego pola sześciennego K ten wzór na indeks można połączyć ze wzorem przewodnika D = f 2 d , aby uzyskać rozkład wielomianu dyskryminacyjnego Δ = i (θ) 2 f 2 d na kwadrat iloczynu i (θ) f i wyróżnik d pola kwadratowego k związany z polem sześciennym K , gdzie d jest wolne od kwadratów aż do możliwego współczynnika 2 2 lub 2 3 . Georgy Voronoy podał metodę rozdzielania i (θ) i f w kwadratowej części Δ.

Badanie liczby pól sześciennych, których dyskryminator jest mniejszy niż określona granica, jest aktualnym obszarem badań. Niech N + ( X ) (odpowiednio N ( X )) oznacza liczbę całkowicie rzeczywistych (odpowiednio zespolonych) ciał sześciennych, których wyróżnik jest ograniczony przez X w wartości bezwzględnej. We wczesnych latach siedemdziesiątych Harold Davenport i Hans Heilbronn wyznaczyli pierwszy wyraz asymptotycznego zachowania N ± ( X ) (tj. gdy X dąży do nieskończoności). Za pomocą analizy reszty funkcji zeta Shintani , w połączeniu z badaniem tablic ciał sześciennych opracowanych przez Karima Belabasa ( Belabas 1997 ) i niektórymi heurystykami , David P. Roberts wysunął domysł bardziej precyzyjnej formuły asymptotycznej:

gdzie , zgodnie z całkowicie rzeczywistym lub złożonym przypadkiem, ζ ( s ) jest funkcją zeta Riemanna i Γ ( s ) ZA ± = 1 lub 3, b ± = 1 lub jest funkcją Gamma . Dowody tego wzoru zostały opublikowane przez Bhargavę, Shankara i Tsimermana (2013) przy użyciu metod opartych na wcześniejszej pracy Bhargavy, a także przez Taniguchi i Thorne (2013) w oparciu o funkcję zeta Shintani.

Grupa jednostek

Zgodnie z twierdzeniem Dirichleta o jednostkach , bezskrętny stopień jednostkowy r pola liczb algebraicznych K z r 1 rzeczywistymi osadzeniami i r 2 parami sprzężonych osadzeń zespolonych jest określony wzorem r = r 1 + r 2 − 1. Stąd całkowicie rzeczywiste pole sześcienne K z r 1 = 3, r 2 = 0 ma dwie niezależne jednostki ε 1 , ε 2 , a zespolone pole sześcienne K z r 1 = r 2 = 1 ma jedną podstawową jednostkę ε 1 . Te podstawowe układy jednostek można obliczyć za pomocą uogólnionych algorytmów ułamków ciągłych Woronoja , które zostały zinterpretowane geometrycznie przez Delone i Faddeeva .

Notatki

Linki zewnętrzne