Pole sześcienne
W matematyce , a konkretnie w dziedzinie algebraicznej teorii liczb , pole sześcienne jest algebraicznym polem liczbowym trzeciego stopnia .
Definicja
Jeśli K jest rozszerzeniem ciała liczb wymiernych Q stopnia [ K : Q ] = 3, to K nazywa się ciałem sześciennym . Każde takie pole jest izomorficzne z polem formularza
gdzie f jest nierozkładalnym wielomianem sześciennym o współczynnikach w Q . Jeśli f ma trzy pierwiastki rzeczywiste , to K nazywa się całkowicie rzeczywistym polem sześciennym i jest przykładem całkowicie rzeczywistego pola . Jeśli, z drugiej strony, f ma nierzeczywisty pierwiastek, to K nazywamy złożonym ciałem sześciennym .
Ciało sześcienne K nazywa się cyklicznym polem sześciennym, jeśli zawiera wszystkie trzy pierwiastki wielomianu generującego f . Równoważnie K jest cyklicznym polem sześciennym , jeśli jest rozszerzeniem Galois Q , w którym to przypadku jego grupa Galois nad Q jest cykliczna trzeciego rzędu . Może się to zdarzyć tylko wtedy, gdy K jest całkowicie rzeczywiste. Jest to rzadkie zjawisko w tym sensie, że jeśli zbiór pól sześciennych jest uporządkowany według dyskryminatora , to odsetek pól sześciennych, które są cykliczne, zbliża się do zera, gdy granica dyskryminatora zbliża się do nieskończoności.
Pole sześcienne nazywa się czystym polem sześciennym , jeśli można je uzyskać przez dołączenie rzeczywistego pierwiastka sześciennego dodatniej liczby całkowitej n bez sześcianów do liczby wymiernej pole Q. _ Takie pola są zawsze złożonymi polami sześciennymi, ponieważ każda liczba dodatnia ma dwa zespolone nierzeczywiste pierwiastki sześcienne.
Przykłady
- Dołączenie rzeczywistego pierwiastka sześciennego z 2 do liczb wymiernych daje pole sześcienne . Jest to przykład czystego pola sześciennego, a zatem złożonego pola sześciennego. W rzeczywistości ze wszystkich czystych ciał sześciennych ma najmniejszy wyróżnik (w wartości bezwzględnej ), a mianowicie −108.
- Zespolone sześcienne pole otrzymane przez dołączenie do Q pierwiastka z x 3 + x 2 - 1 nie jest czyste. Ma najmniejszy wyróżnik (w wartości bezwzględnej) ze wszystkich pól sześciennych, a mianowicie −23.
- Przyleganie do pierwiastka z x 3 + x 2 - 2 x - 1 do Q daje cykliczne pole sześcienne, a zatem całkowicie rzeczywiste pole sześcienne. Ma najmniejszy wyróżnik ze wszystkich całkowicie rzeczywistych pól sześciennych, a mianowicie 49.
- Pole otrzymane przez dołączenie do Q pierwiastka z x 3 + x 2 - 3 x - 1 jest przykładem całkowicie rzeczywistego pola sześciennego, które nie jest cykliczne. Jego wyróżnikiem jest 148, najmniejszy wyróżnik niecyklicznego, całkowicie rzeczywistego pola sześciennego.
- Żadne pola cyklotomiczne nie są sześcienne, ponieważ stopień pola cyklotomicznego jest równy φ( n ), gdzie φ jest totientową funkcją Eulera , która przyjmuje tylko wartości parzyste z wyjątkiem φ(1) = φ(2) = 1.
Zamknięcie Galois
Cykliczne pole sześcienne K jest swoim własnym zamknięciem Galois z grupą Galois Gal ( K / Q ) izomorficzną z grupą cykliczną trzeciego rzędu. Jednak każde inne pole sześcienne K jest rozszerzeniem Q innym niż Galois i ma rozszerzenie pola N stopnia drugiego jako zamknięcie Galois. Grupa Galois Gal( N / Q ) jest izomorficzna z grupą symetryczną S 3 na trzech literach.
Powiązane pole kwadratowe
Wyróżnik pola sześciennego K można jednoznacznie zapisać jako df 2 , gdzie d jest podstawowym wyróżnikiem . Wtedy K jest cykliczne wtedy i tylko wtedy, gdy d = 1, w którym to przypadku jedynym podciałem K jest samo Q. Jeśli d ≠ 1, to zamknięcie Galois N z K zawiera unikalne pole kwadratowe k , którego wyróżnikiem jest d (w przypadku d = 1 podpole Q jest czasami uważane za „zdegenerowane” pole kwadratowe dyskryminatora 1). Przewodnikiem N względem k jest f , a f 2 jest względnym wyróżnikiem N względem K . _ Wyróżnikiem N jest d 3 f 4 .
Pole K jest czystym polem sześciennym wtedy i tylko wtedy, gdy d = −3. Jest to przypadek, w którym pole kwadratowe zawarte w domknięciu Galois K jest polem cyklotomicznym pierwiastków sześciennych jedności .
dyskryminujący
Ponieważ znakiem wyróżnika pola liczbowego K jest (−1) r 2 , gdzie r 2 jest liczbą sprzężonych par zanurzeń zespolonych K w C , dyskryminator pola sześciennego będzie dodatni dokładnie wtedy, gdy całkowicie rzeczywiste i ujemne, jeśli jest to złożone pole sześcienne.
Dla pewnej liczby rzeczywistej N > 0 istnieje tylko skończenie wiele ciał sześciennych K , których dyskryminator D K spełnia | DK | _ ≤ N. _ Znane są wzory, które obliczają główny rozkład D K , więc można go obliczyć jawnie.
W przeciwieństwie do ciał kwadratowych, kilka nieizomorficznych ciał sześciennych K 1 , ..., K m może mieć ten sam wyróżnik D . Liczba m tych pól nazywana jest krotnością dyskryminatora D . Niektóre małe przykłady to m = 2 dla D = -1836, 3969, m = 3 dla D = -1228, 22356, m = 4 dla D = -3299, 32009 i m = 6 dla D = -70956, 3054132.
Dowolne pole sześcienne K będzie miało postać K = Q (θ) dla pewnej liczby θ, która jest pierwiastkiem nierozkładalnego wielomianu
gdzie aib są liczbami całkowitymi. Wyróżnikiem f jest Δ = 4 za 3 - 27 b 2 . Oznaczając wyróżnik K przez D , indeks i (θ) θ jest wtedy określony przez Δ = i (θ) 2 D .
W przypadku niecyklicznego pola sześciennego K ten wzór na indeks można połączyć ze wzorem przewodnika D = f 2 d , aby uzyskać rozkład wielomianu dyskryminacyjnego Δ = i (θ) 2 f 2 d na kwadrat iloczynu i (θ) f i wyróżnik d pola kwadratowego k związany z polem sześciennym K , gdzie d jest wolne od kwadratów aż do możliwego współczynnika 2 2 lub 2 3 . Georgy Voronoy podał metodę rozdzielania i (θ) i f w kwadratowej części Δ.
Badanie liczby pól sześciennych, których dyskryminator jest mniejszy niż określona granica, jest aktualnym obszarem badań. Niech N + ( X ) (odpowiednio N − ( X )) oznacza liczbę całkowicie rzeczywistych (odpowiednio zespolonych) ciał sześciennych, których wyróżnik jest ograniczony przez X w wartości bezwzględnej. We wczesnych latach siedemdziesiątych Harold Davenport i Hans Heilbronn wyznaczyli pierwszy wyraz asymptotycznego zachowania N ± ( X ) (tj. gdy X dąży do nieskończoności). Za pomocą analizy reszty funkcji zeta Shintani , w połączeniu z badaniem tablic ciał sześciennych opracowanych przez Karima Belabasa ( Belabas 1997 ) i niektórymi heurystykami , David P. Roberts wysunął domysł bardziej precyzyjnej formuły asymptotycznej:
gdzie , zgodnie z całkowicie rzeczywistym lub złożonym przypadkiem, ζ ( s ) jest funkcją zeta Riemanna i Γ ( s ) ZA ± = 1 lub 3, b ± = 1 lub jest funkcją Gamma . Dowody tego wzoru zostały opublikowane przez Bhargavę, Shankara i Tsimermana (2013) przy użyciu metod opartych na wcześniejszej pracy Bhargavy, a także przez Taniguchi i Thorne (2013) w oparciu o funkcję zeta Shintani.
Grupa jednostek
Zgodnie z twierdzeniem Dirichleta o jednostkach , bezskrętny stopień jednostkowy r pola liczb algebraicznych K z r 1 rzeczywistymi osadzeniami i r 2 parami sprzężonych osadzeń zespolonych jest określony wzorem r = r 1 + r 2 − 1. Stąd całkowicie rzeczywiste pole sześcienne K z r 1 = 3, r 2 = 0 ma dwie niezależne jednostki ε 1 , ε 2 , a zespolone pole sześcienne K z r 1 = r 2 = 1 ma jedną podstawową jednostkę ε 1 . Te podstawowe układy jednostek można obliczyć za pomocą uogólnionych algorytmów ułamków ciągłych Woronoja , które zostały zinterpretowane geometrycznie przez Delone i Faddeeva .
Notatki
- Şaban Alaca, Kenneth S. Williams, Wstępna algebraiczna teoria liczb , Cambridge University Press , 2004.
- Belabas, Karim (1997), „Szybki algorytm obliczania pól sześciennych”, Mathematics of Computation , 66 (219): 1213–1237, doi : 10,1090 / s0025-5718-97-00846-6 , MR 1415795
- Bhargava, Manjul ; Shankar, Arul; Tsimerman, Jacob (2013), „O twierdzeniu Davenporta-Heilbronna i warunkach drugiego rzędu”, Inventiones Mathematicae , 193 (2): 439–499, arXiv : 1005,0672 , Bibcode : 2013InMat.193..439B , doi : 10,1007/s00222 -012-0433-0 , MR 3090184 , S2CID 253738365
- Cohen, Henri (1993), Kurs obliczeniowej algebraicznej teorii liczb , Graduate Texts in Mathematics, tom. 138, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-55640-4 , MR 1228206
- Cohn, Harvey (1954), „Gęstość abelowych pól sześciennych”, Proceedings of the American Mathematical Society , 5 (3): 476–477, doi : 10.2307/2031963 , JSTOR 2031963 , MR 0064076
- Davenport, Harold ; Heilbronn, Hans (1971), „O gęstości dyskryminatorów pól sześciennych. II”, Proceedings of the Royal Society A , 322 (1551): 405–420, Bibcode : 1971RSPSA.322..405D , doi : 10.1098/rspa .1971.0075 , MR 0491593 , S2CID 122814162
- Hasse, Helmut (1930), "Arithmetische Theorie der kubischen Zahlkörper auf klassenkörpertheoretischer Grundlage", Mathematische Zeitschrift (w języku niemieckim), 31 (1): 565–582, doi : 10.1007/BF01246435 , S2CID 121649559
- , _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ MR 1836927 , S2CID 7524750
- Taniguchi, Takashi; Thorne, Frank (2013), „Drugorzędne warunki liczenia funkcji dla pól sześciennych”, Duke Mathematical Journal , 162 (13): 2451–2508, arXiv : 1102,2914 , doi : 10,1215/00127094-2371752 , MR 3127806 , S2CID 1646325 0
Linki zewnętrzne
- Media związane z polem sześciennym w Wikimedia Commons