Jednostka podstawowa (teoria liczb)

W algebraicznej teorii liczb podstawową jednostką jest generator (modulo pierwiastki jedności ) dla grupy jednostek pierścienia liczb całkowitych pola liczbowego , gdy ta grupa ma rząd 1 (tj. gdy grupa jednostek modulo jej podgrupa torsyjna jest nieskończona cykliczny ). Twierdzenie o jednostkach Dirichleta pokazuje, że grupa jednostek ma rangę 1 dokładnie wtedy, gdy pole liczbowe jest rzeczywistym polem kwadratowym , złożonym polem sześciennym lub całkowicie wyimaginowane pole kwarcowe. Gdy grupa jednostek ma rangę ≥ 1, jej podstawa modulo jej skrętu nazywana jest podstawowym układem jednostek . Niektórzy autorzy używają terminu jednostka podstawowa na oznaczenie dowolnego elementu podstawowego systemu jednostek, nie ograniczając się do przypadku rangi 1 (np. Neukirch 1999 , s. 42).

Prawdziwe pola kwadratowe

Dla rzeczywistego pola kwadratowego $zwykle$ d kwadratu), podstawowa jednostka ε jest tak ε > 1 (jako liczba rzeczywista). Wtedy jest jednoznacznie scharakteryzowany jako minimalna jednostka spośród tych, które są większe niż 1. Jeśli Δ oznacza dyskryminator K , to podstawową jednostką jest

${\ Displaystyle \ varepsilon = {\ Frac {a + b {\ sqrt {\ Delta}}} {2}}}$

gdzie ( a , b ) jest najmniejszym rozwiązaniem

${\ Displaystyle x ^ {2} - \ Delta y ^ {2} = \ pm 4}$

w dodatnich liczbach całkowitych. To równanie jest w zasadzie równaniem Pella lub ujemnym równaniem Pella, a jego rozwiązania można uzyskać w podobny sposób, stosując dalsze rozwinięcie ułamka ${\ displaystyle {\ sqrt {\ Delta}}}$ .

To, czy x ² − Δ y ^{2 = −4 ma rozwiązanie} , określa, czy grupa klas K jest taka sama jak jej wąska grupa klas , lub równoważnie, czy istnieje jednostka normy −1 w K . Wiadomo $, że$ to równanie ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy okres dalszego rozszerzania ułamka nieparzysty. Prostszą relację można uzyskać za pomocą kongruencji: jeśli Δ jest podzielne przez liczbę pierwszą, która jest przystająca do 3 modulo 4, to K nie ma jednostki normy −1. Jednak odwrotność nie zachodzi, jak pokazano na przykładzie d = 34. Na początku lat 90. Peter Stevenhagen zaproponował model probabilistyczny, który doprowadził go do przypuszczenia, jak często zawodzi konwersja. W szczególności, jeśli D ( X ) jest liczbą rzeczywistych pól kwadratowych, których wyróżnik Δ < X nie jest podzielny przez liczbę pierwszą przystającą do 3 modulo 4, a D ^- ( X ) to te, które mają jednostkę normy -1, to

${\ Displaystyle \ lim _ {X \ rightarrow \ infty} {\ Frac {D ^ {-} (X)} {D (X)}} = 1 - \ prod _ {j \ geq 1 {\ tekst {nieparzysty} }}\lewo(1-2^{-j}\prawo).}$

Innymi słowy, rozmowa kończy się niepowodzeniem w około 42% przypadków. W marcu 2012 r. Étienne Fouvry i Jürgen Klüners przedstawili niedawny wynik dotyczący tego przypuszczenia, który wykazał, że odwrotność kończy się niepowodzeniem w 33% do 59% przypadków.

Pola sześcienne

Jeśli K jest złożonym polem sześciennym, to ma unikalne rzeczywiste osadzenie, a podstawową jednostkę ε można wybrać jednoznacznie tak, że | ε | > 1 w tym osadzeniu. Jeśli dyskryminator Δ z K spełnia |Δ| ≥ 33, w takim razie

${\ Displaystyle \ epsilon ^ {3}> {\ Frac {|\ Delta |-27} {4}}.}$

$\ epsilon = 1 + {\ sqrt [{3}] {2}} + {\ sqrt [{3}] {2 ^ {2}}}}$$przykład$ podstawową $_$ jest i ${\ Displaystyle \ epsilon ^ {3} \około 56,9}$ podczas gdy wyróżnik tego pola wynosi −108 zatem

${\ Displaystyle {\ Frac {|\ delta | -27} {4}} = 20,25}$

więc ${\ Displaystyle \ epsilon ^ {3} \ około 56,9> 20,25}$ .

Notatki

•   Alaca, Şaban; Williams, Kenneth S. (2004), Wstępna algebraiczna teoria liczb , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-54011-7
•   Duncan Buell (1989), Binarne formy kwadratowe: teoria klasyczna i nowoczesne obliczenia , Springer-Verlag , s. 92–93 , ISBN 978-0-387-97037-0
•   Fouvry, Étienne; Klüners, Jürgen (2010), „O ujemnym równaniu Pella”, Annals of Mathematics , 2 (3): 2035–2104, doi : 10.4007/annals.2010.172.2035 , MR 2726105
•     Neukirch, Jürgen (1999), Algebraiczna teoria liczb , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften , tom. 322, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8 , MR 1697859 , Zbl 0956.11021
•    Stevenhagen, Peter (1993), „Liczba rzeczywistych pól kwadratowych o jednostkach normy ujemnej”, Experimental Mathematics , 2 (2): 121–136, CiteSeerX 10.1.1.27.3512 , doi : 10,1080/10586458.1993.10504272 , MR 1259426

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Jednostka podstawowa” . MathWorld .