Głębokość (teoria pierścieni)

W algebrze przemiennej i homologicznej głębokość jest ważnym niezmiennikiem pierścieni i modułów . Chociaż głębokość można zdefiniować bardziej ogólnie, najczęściej rozważanym przypadkiem jest przypadek modułów nad przemiennym lokalnym pierścieniem Noetherowskim . W tym przypadku głębokość modułu jest powiązana z jego rzutowym wymiarem wzorem Auslandera-Buchsbauma . Bardziej elementarną właściwością głębokości jest nierówność

${\ Displaystyle \ operatorname {głębokość} (M) \ równoważnik \ słaby (M)}$

gdzie ${\ displaystyle \ dim M$$oznacza$ wymiar Krulla modułu . Głębokość służy do definiowania klas pierścieni i modułów o dobrych właściwościach, na przykład pierścieni i modułów Cohena-Macaulaya, dla których zachodzi równość.

Definicja

Niech ${\ displaystyle R}$ będzie przemiennym pierścieniem, ${$$\ displaystyle R}$ i ${\ displaystyle M}$ skończenie generowanym modułem o właściwości, którą ${\ displaystyle IM}$$\ displaystyle R}$ { jest właściwie zawarty w ${\ displaystyle M}$ . $stopniem$$Oznacza$ to, że niektóre elementy $nie$ są w ${\ Displaystyle M}$ Następnie - zwana $również$ M. jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle \ operatorname {głębokość} _ {I} (M) = \ min \ {i: \ operatorname {Ext} ^ {i} (R / I, M) \ neq 0 \}.}$

$\ mathfrak {m}}}$ definicji głębokość lokalnego pierścienia $maksymalnym$ ideałem jest jego -głębokością jako moduł ${\ Displaystyle {$ nad sobą. Jeśli jest $\ displaystyle R}$$pierścieniem$ -Macaulaya , to głębokość jest równa wymiarowi ${$ .

Za pomocą twierdzenia Davida Reesa głębokość można również scharakteryzować za pomocą pojęcia ciągu regularnego .

Twierdzenie (Reesa)

Załóżmy, że $jest$$displaystyle$ lokalnym pierścieniem noetherowskim z maksymalnym ideałem $,$ a $M} jest$ generowanym modułem. $}$ wszystkie maksymalne regularne sekwencje dla , $Displaystyle$ każdy należy do $x_ {1}, \ ldots, x_ {n$${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ , mają taką samą długość $displaystyle$ głębokości -m ${\ mathfrak {m}}}$${\ displaystyle M}$ .

Głębokość i wymiar rzutowy

Wymiar rzutowy i głębokość modułu nad przemiennym lokalnym pierścieniem Noetherowskim są względem siebie komplementarne. Taka jest treść wzoru Auslandera-Buchsbauma, który ma nie tylko fundamentalne znaczenie teoretyczne, ale także zapewnia efektywny sposób obliczania głębokości modułu. Załóżmy, że $jest$$noetherowskim$ lokalnym pierścieniem maksymalnym $jest$ i skończenie $generowanym$ . Jeśli $skończony$ wymiar jest , to formuła Auslandera – Buchsbauma stwierdza

${\ Displaystyle \ operatorname {pd} _ {R} (M) + \ operatorname {głębokość} (M) = \ operatorname {głębokość} (R).}$

Pierścienie o głębokości zerowej

Przemienny lokalny pierścień noetherowski $ma$ zerową wtedy i tylko wtedy, gdy jego ideał maksymalny $pierwszą$ powiązaną liczbą lub równoważnie, gdy istnieje element niezerowy $} \ Displaystyle x}$ z ${\ Displaystyle R}$ tak, że ${\ Displaystyle x {\ mathfrak {m}} = 0}$ (czyli ${\ Displaystyle x}$ unicestwia ${\ Displaystyle {\ mathfrak {m} }}}$ ). Zasadniczo oznacza to, że punkt zamknięty jest elementem osadzonym.

Na przykład pierścień ( gdzie jest polem $[x, y] / (x ^ {2}, xy)}$$Displaystyle$ ), która reprezentuje linię ( $osadzonym$ podwójnym punktem na początku, ma głębokość zerową na początku, ale wymiar jeden: daje to przykład pierścienia, który nie jest -Macaulayem .

•    Eisenbud, David (1995), Algebra przemienna z myślą o geometrii algebraicznej , Graduate Texts in Mathematics , tom. 150, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94269-8 , MR 1322960
•   Winfrieda Brunsa; Jürgen Herzog, Pierścienie Cohena-Macaulaya . Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii + 403 s. ISBN 0-521-41068-1