Formuła Auslandera-Buchsbauma

Nie mylić z twierdzeniem Auslandera – Buchsbauma .

W algebrze przemiennej formuła Auslandera-Buchsbauma , wprowadzona przez Auslandera i Buchsbauma ( 1957 , twierdzenie 3.7), stwierdza, że ​​jeśli R jest przemiennym lokalnym pierścieniem noetherowskim , a M jest niezerowym, skończenie generowanym modułem R o skończonym wymiarze rzutowym , to :

${\ Displaystyle \ operatorname {pd} _ {R} (M) + \ operatorname {głębokość} (M) = \ operatorname {głębokość} (R).}$

Tutaj pd oznacza wymiar rzutowy modułu, a głębokość głębokość modułu .

Aplikacje

Formuła Auslandera-Buchsbauma implikuje, że lokalny pierścień Noethera jest regularny wtedy i tylko wtedy, gdy ma skończony wymiar globalny . To z kolei implikuje, że lokalizacja regularnego pierścienia lokalnego jest regularna.

Jeśli A jest lokalną, skończenie generowaną R - algebrą (na regularnym pierścieniu lokalnym R ), to wzór Auslandera-Buchsbauma implikuje, że A jest Cohena-Macaulaya wtedy i tylko wtedy, gdy pd _RA = codim _RA .

•     Auslander, Maurycy; Buchsbaum, David A. (1957), „Wymiar homologiczny w pierścieniach lokalnych”, Transactions of the American Mathematical Society , 85 (2): 390–405, doi : 10.2307/1992937 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1992937 , MR 0086822
• Rozdział 19    Eisenbud, David (1995), Algebra przemienna z myślą o geometrii algebraicznej , Graduate Texts in Mathematics , tom. 150, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94269-8 , MR 1322960