Regularność Castelnuovo-Mumforda

W geometrii algebraicznej regularność Castelnuovo – Mumforda spójnego snopka F w przestrzeni rzutowej P ⁿ jest najmniejszą liczbą całkowitą r taką, że jest r-regularna , co oznacza, że

{\ Displaystyle H ^ {i} (\ mathbf {P} ^ {n}, F (ri)) = 0 \,}

⁰ ilekroć i > 0. Regularność podschematu jest definiowana jako regularność jego snopów ideałów. Regularność kontroluje, kiedy funkcja Hilberta snopka staje się wielomianem; dokładniej dim H ( P ⁿ , F ( m )) jest wielomianem w m , gdy m jest co najmniej regularnością. Pojęcie r -regularności zostało wprowadzone przez Mumforda ( 1966 , wykład 14), który przypisał Guido Castelnuovo ( 1893 ) następujące wyniki :

Snop r -regularny jest s -regularny dla dowolnego s ≥ r .
Jeśli spójny snop jest r -regularny, to F ( r ) jest generowany przez jego globalne przekroje .

Stopniowane moduły

₀ Podobny pomysł istnieje w algebrze przemiennej . Załóżmy, że R = k [ x , ..., x _n ] jest pierścieniem wielomianowym nad ciałem k , a M jest skończenie generowanym stopniowanym modułem R. Załóżmy, że M ma minimalną stopniowaną swobodną rozdzielczość

{\ Displaystyle \ cdots \ rightarrow F_ {j} \ rightarrow \ cdots \ rightarrow F_ {0} \ rightarrow M \ rightarrow 0}

i niech b _j będzie maksimum stopni generatorów F _j . Jeśli r jest liczbą całkowitą taką, że b _j - j ≤ r dla wszystkich j , to mówimy, że M jest r -regularne. Regularność M jest najmniejszym takim r .

Te dwa pojęcia regularności pokrywają się, gdy F jest spójnym snopkiem takim, że Ass( F ) nie zawiera punktów zamkniętych. Wtedy stopniowany jest generowany _{w .} sposób skończony ⁱ $ma$ taką regularność jak F ⁰ moduł _ _ _

Zobacz też

Castelnuovo, G. (1893), „Sui multipli di una serie lineare di gruppi di punti appartenente ad una curva algebrica” , Red. cyrk. Mata. Palermo , 7 : 89–110, doi : 10.1007/BF03012436 , JFM 25.1035.02
Eisenbud, David (1995), Algebra przemienna z myślą o geometrii algebraicznej , Graduate Texts in Mathematics , tom. 150, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94269-8 , MR 1322960
Eisenbud, David (2005), Geometria syzygii , Graduate Texts in Mathematics, tom. 229, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/b137572 , ISBN 978-0-387-22215-8 , MR 2103875
Mumford, David (1966), Wykłady o krzywych na powierzchni algebraicznej , Annals of Mathematics Studies, tom. 59, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07993-6 , MR 0209285