Schemat Hilberta

W geometrii algebraicznej , gałęzi matematyki , schemat Hilberta jest schematem , który jest przestrzenią parametrów dla zamkniętych podschematów jakiejś przestrzeni rzutowej (lub bardziej ogólnego schematu rzutowego), udoskonalając odmianę Chow . Schemat Hilberta jest rozłączną sumą rzutowych podschematów odpowiadających wielomianom Hilberta . Podstawową teorię schematów Hilberta opracował Alexander Grothendieck ( 1961 ). Przykład Hironaki pokazuje, że odmiany nierzutowe nie muszą mieć schematów Hilberta.

Schemat Hilberta przestrzeni rzutowej

Schemat Hilberta $\ Displaystyle \ mathbb$ P ${P} ^ {n}}$ następującym dowolny lokalnie Noetherowski schemat S , zbiór punktów o wartościach S

${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} (S, \ mathbf {Hilb} (n))}$

schematu Hilberta jest naturalnie izomorficzny ze zbiorem zamkniętych podschematów ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} \ razy S},$ które są płaskie nad S . $S, można$ podschematy , które są płaskie nad traktować jako rodziny podschematów przestrzeni rzutowej S . Schemat Hilberta ${\ Displaystyle \ mathbf {Hilb} (n)}$ rozpada się jako rozłączny związek elementów ${\ Displaystyle \ mathbf {Hilb} (n, P)}$ odpowiadający wielomianowi Hilberta podschematy przestrzeni rzutowej z wielomianem Hilberta P . Każdy z tych elementów jest rzutowany na ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (\ mathbb {Z})}$ .

Budownictwo jako odmiana determinująca

$}}$ skonstruował schemat Hilberta $rzutowej$ -wymiarowej przestrzeni $\$ n jako podschemat Grassmanna definiowany przez zanikanie różnych wyznaczników . $}$ podstawową właściwością jest to, że dla schematu reprezentuje funktor, którego $T$ punkty o wartościach to zamknięte podschematy , które są płaskie nad $} ^ {n} \ razy T$$}$ .

Jeśli $_$ podschematem $rzutowej$$to$ , stopniowanemu $ideałowi$ pierścienia wielomianowego ${$ zmiennych $,$ stopniowanymi częściami. ja $m}$ . Dla wystarczająco dużych $\$$Displaystyle$$m}$ grupy kohomologii ze współczynnikami znikają Używając dokładnej kolejności

${\ Displaystyle 0 \ do I_ {X} \ do {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} \ do {\ mathcal {O} }_{X}\do 0}$

ja ${\ Displaystyle I_ {X} ^ {m} = \ Gamma (I_ {X} \ otimes {\ mathcal {O}} _ {\$ ma wymiar ${\ Displaystyle Q (m) -P_ {X} (m)}$ , gdzie ${\ Displaystyle Q}$ jest wielomianem Hilberta przestrzeni rzutowej. $, napinając$ powyższą dokładną sekwencję przez lokalnie płaskie $,$ co implikuje trywialność wyższej Zauważ, że używamy równości wielomianu Hilberta spójnego snopka z charakterystyką Eulera jego grup kohomologii snopów.

Wybierz wystarczająco dużą wartość ${\ displaystyle m}$ . ( ${\ Displaystyle (Q (m) -P_ {X} (m)}}$ -wymiarowa przestrzeń $\ Displaystyle I_ {X} ^ {m}}$ jest podprzestrzeń -wymiarowej przestrzeni $Displaystyle$$n}} ,$ punkt Grassmanna ${\ Displaystyle {\ textbf {Gr}} (Q (m) -P_ {X} (m), Q (m)}}$ . Da $w$ osadzenie fragmentu schematu Hilberta odpowiadającego wielomianowi Hilberta tym Grassmannianie

Pozostaje opisać strukturę schematu na tym obrazie, innymi słowy opisać wystarczającą liczbę elementów odpowiadającego mu ideału. Wystarczająco dużo takich elementów dają warunki, że mapa I _X ( m ) ⊗ S ( k ) → S ( k + m ) ma rangę co najwyżej dim ( I _X ( k + m )) dla wszystkich dodatnich k , co jest równoznaczne ze zniknięciem różnych wyznaczników. (Dokładniejsza analiza pokazuje, że wystarczy przyjąć k = 1 .)

Nieruchomości

Uniwersalność

Biorąc pod uwagę zamknięty podschemat nad polem z wielomianem Hilberta , schemat Hilberta H $} _ {k} ^ {n} =$$}$ = Hilb ( n , P. ) ma uniwersalny podschemat taki , ${\ Displaystyle W \ podzbiór X \$ razy $}$

• Włókna nad punktami $zamkniętymi$$podschematami$ zamkniętymi $X$ displaystyle Y ${\ Displaystyle Y \ podzbiór X}$$oznacz$ punkt jako ${\ Displaystyle [Y] \ w H$ .
• $H}$$displaystyle$$jest$ uniwersalny w odniesieniu do wszystkich płaskich rodzin podschematów mających . Oznacza $:T\do H}$$H$ pod uwagę schemat $i$ płaską rodzinę , istnieje unikalny morfizm ${$ takie, że ${\ Displaystyle \ phi ^ {*} W \ cong W '}$ .

Przestrzeń styczna

$Y$ punktu $Y/X}$ dana przez globalne przekroje wiązki normalnej ; to jest,

${\ Displaystyle T_ {[Y]} H = H ^ {0} (Y, N_ {Y/X})}$

Przepustowość pełnych skrzyżowań

Dla lokalnych pełnych skrzyżowań takich, że $Y$${\ Displaystyle H ^ {1} (Y, N_ {X/Y}) = 0$ , ${\ Displaystyle [Y] \ w H}$ jest gładki. Oznacza to $że$$niezakłócone$ odkształcenie w jest .

Wymiar przestrzeni stycznej

W przypadku ${\ Displaystyle H ^ {1} (Y, N_ {X/Y}) \ neq 0}$ wymiar ${\ Displaystyle H}$ w ${\ Displaystyle [Y]}$ jest większy lub równy ${\ Displaystyle h ^ {0} (Y, N_ {X/Y}) -h ^ {1} (Y, N_ {X/Y})}$ .

Oprócz tych właściwości, $)$ Macaulay ( 1927 schemat a Robin Hartshorne ( 1966 ) $niepusty$ że jeśli Tak więc dwa podschematy przestrzeni rzutowej znajdują się w tym samym spójnym elemencie schematu Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam wielomian Hilberta.

Schematy Hilberta mogą mieć złe osobliwości, takie jak nieredukowalne komponenty, które nie są redukowane we wszystkich punktach. Mogą również mieć nieredukowalne komponenty o nieoczekiwanie wysokim wymiarze. Na przykład można by oczekiwać, że schemat Hilberta d punktów (dokładniej wymiar 0, podschematy długości d ) schematu wymiaru n będzie miał wymiar dn , ale jeśli n ≥ 3 jego nieredukowalne składowe mogą mieć znacznie większy wymiar.

Interpretacja funkcjonalna

Istnieje alternatywna interpretacja schematu Hilberta, która prowadzi do uogólnienia względnych schematów Hilberta parametryzujących podschematy schematu względnego. Dla stałego schematu podstawowego $S$ niech ${\ Displaystyle X \ in (Sch / S)}$ niech

${\ Displaystyle {\ podkreślenie {\ tekst {Hilb}}} _ {X/S}: (Sch / S) ^ {op} \do zestawów}$

być funktorem wysyłającym schemat względny do zbioru klas izomorfizmu zbioru ${\ displaystyle T \ do S}$

${\ Displaystyle {\ podkreślenie {\ tekst {Hilb}}} _ {X/S} (T) = \ lewo \ {{\ rozpocząć {macierz} Z & \ hookrightarrow & X \ razy _ {S} T & \ do & X \\ \downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\T&=&T&\to &S\end{macierz}}:Z\to T{\text{jest płaska}}\right\}/\sim }$

gdzie relacja równoważności jest określona przez $klasy$ . Ta konstrukcja jest funkcjonalna, biorąc wycofanie rodzin. fa ${\ Displaystyle f: T'\ do T}$ , istnieje rodzina $Displaystyle f ^ {*} Z = Z \ razy _ {T} T „}$ nad ${\ Displaystyle T'}$ .

Reprezentatywność dla map projekcyjnych

Jeśli mapa struktury $,$ to ten funktor jest reprezentowany przez skonstruowany powyżej schemat Hilberta Uogólnienie tego na przypadek map typu skończonego wymaga technologii przestrzeni algebraicznych opracowanej przez Artina.

Względny schemat Hilberta dla map przestrzeni algebraicznych

$ogólności , funktor$$dla$ mapy skończonego przestrzeni algebraicznych według Następnie funktor Hilberta jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle {\ podkreślenie {\ tekst {Hilb}}} _ {X/B}: (Sch / B) ^ {op} \do zestawów}$

wysłanie T _

${\ Displaystyle {\ podkreślenie {\ tekst {Hilb}}} _ {X/B} (T)=\left\{Z\subset X\times _{B}T:{\begin{wyrównane}&Z\to T{\text{ jest płaskie, właściwe,}}\\&{\text{i skończona prezentacja}}\end{aligned}}\right\}}$ .

Ten funktor nie jest reprezentowany przez schemat, ale przez przestrzeń algebraiczną. Ponadto, jeśli i jest skończoną mapą schematów, ${\ Displaystyle S = {\ tekst {Spec}} (\ mathbb {Z})}$ i ${\ Displaystyle X \ do B}$ ich funktor Hilberta jest reprezentowany przez przestrzeń algebraiczną.

Przykłady schematów Hilberta

Schematy Fano hiperpowierzchni

Jednym z motywujących przykładów do badania schematu Hilberta w ogóle był schemat Fano schematu rzutowego. Biorąc $)}$$) {\$ , istnieje schemat $displaystyle$$F_ {k$ X w parametryzacji ${\ Displaystyle \ mathbb {G} (k, n)$${\ Displaystyle H \ podzbiór X \ podzbiór \ mathbb {P} ^ {n}}$ gdzie ${\ Displaystyle H}$ jest płaszczyzną ${\ Displaystyle k}$ w ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ , co oznacza, że ​​jest to osadzenie jednego stopnia ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {k}}$ . $3}$ gładkich powierzchni w stopniu $Displaystyle d \$ niepuste schematy Fano ${\ Displaystyle F_ {k} (X)}$ są gładkie i zerowymiarowe. Dzieje się tak, ponieważ linie na gładkich powierzchniach mają ujemne samoprzecięcie.

Schemat punktów Hilberta

$X ^ {[n]}}$ przykładów są schematy Hilberta $schematu$ , zwykle oznaczane $displaystyle$ . Dla istnieje ładna geometryczna interpretacja, w której loci brzegowe $\ Displaystyle \$ przecięcie punktów można traktować jako parametryzację punktów wraz z $mathbb {P} ^ {2}$ ich wektory styczne. Na przykład ${\ Displaystyle (\ mathbb {P} ^ {2}) ^ {[2]}}$ jest powiększenie ${\ Displaystyle Bl _ {\ Delta }(\mathbb {P} ^{2}\times \mathbb {P} ^{2}/S_{2})}$ przekątnej modulo działanie symetryczne.

Hiperpowierzchnie stopnia d

Schemat Hilberta hiperpowierzchni stopnia k w $(\$ n $Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}$ . Na przykład schemat Hilberta hiperpowierzchni stopnia 2 w ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$ to ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$ z uniwersalną hiperpowierzchnią określoną przez P 2 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}

${\ Displaystyle {\ text {Proj}} (k [x_ {0}, x_ {1}] [\ alfa, \ beta, \ gamma] / (\ alfa x_ {0} ^ {2} + \ beta x_ { 0}x_{1}+\gamma x_{1}^{2}})\subseteq \mathbb {P} _{x_{0},x_{1}}^{1}\times \mathbb {P} _ {\alfa,\beta,\gamma}^{2}}$

gdzie leżący pod spodem pierścień jest biggradowany.

Schemat Hilberta krzywych i moduły krzywych

$}$ stałej krzywej algebraicznej $\$ , stopień trójnapięciowego snopka dualizującego globalny . $sol$ generowany, co oznacza, że ​​jego charakterystyka Eulera jest określona przez wymiar globalnych przekrojów, tzw

${\ Displaystyle \ chi (\ omega _ {C} ^ {\ czasami 3}) = \ słaby H ^ {0} (C, \ omega _{X}^{\czasami 3})}$ .

Wymiar tej przestrzeni wektorowej wynosi ${\ Displaystyle 5g-5}$ , stąd globalne przekroje $\ Displaystyle \ omega _ {C} ^ {\ otimes 3}}$ określają osadzenie w ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {5g-6}}$ dla każdego $krzywej$ . Korzystając ze wzoru Riemanna-Rocha, powiązany wielomian Hilberta można obliczyć jako

${\ Displaystyle H_ {C} (t) = 6 (g-1) t + (1-g)}$ .

Następnie schemat Hilberta

${\ Displaystyle {\ tekst {Hilb}} _ {\ mathbb {P} ^ {5g-6}} ^ {H_ {C} (t)}}$

parametryzuje wszystkie rodzaje krzywych g . Konstruowanie tego schematu jest pierwszym krokiem w konstrukcji stosu modułów krzywych algebraicznych. Drugim głównym narzędziem technicznym są ilorazy GIT, ponieważ ta przestrzeń modułów jest skonstruowana jako iloraz

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g} = [U_ {g} / GL_ {5g-6}]}$ ,

gdzie $podlocus gładkich$ w schemacie Hilberta.

Schemat punktów Hilberta na rozmaitości

„Schemat Hilberta” czasami odnosi się do punktualnego schematu Hilberta 0-wymiarowych podschematów na schemacie. Nieformalnie można to traktować jako coś w rodzaju skończonych zbiorów punktów na schemacie, chociaż ten obraz może być bardzo mylący, gdy kilka punktów się pokrywa.

Istnieje morfizm Hilberta-Chowa od zredukowanego schematu punktów Hilberta do różnych cykli Chow, przenoszących dowolny schemat 0-wymiarowy do powiązanego z nim cyklu 0. (Fogarty 1968 , 1969 , 1973 ).

Schemat Hilberta $.$ punktów na M jest wyposażony w naturalny n tego iloczynu symetrycznego M Ten morfizm jest birational dla M o wymiarze co najwyżej 2. Dla M o wymiarze co najmniej 3 morfizm nie jest birational dla dużych n : schemat Hilberta jest na ogół redukowalny i ma składowe wymiaru znacznie większe niż iloczyn symetryczny.

Schemat punktów Hilberta na krzywej C (złożona rozmaitość wymiaru 1) jest izomorficzny z potęgą symetryczną C . Jest gładka.

Schemat Hilberta n punktów na powierzchni jest również gładki (Grothendieck). Jeśli ${\ Displaystyle n = 2}$ , uzyskuje się to przez wysadzenie przekątnej, a następnie podzielenie przez $Z$$} / 2\mathbb {Z} }$ akcja wywołana przez ${\ Displaystyle (x, y) \ mapsto (y, x)}$ . Wykorzystał to Mark Haiman w swoim dowodzie dodatniości współczynników niektórych wielomianów Macdonalda .

Schemat Hilberta gładkiej rozmaitości o wymiarze 3 lub większym zwykle nie jest gładki.

Schematy Hilberta i geometria hyperkählera

Niech M $K3$ złożoną powierzchnią Kählera ( lub torus) . Wiązka kanoniczna M jest trywialna, jak wynika z klasyfikacji powierzchni Kodairy . Stąd M dopuszcza holomorficzną formę symplektyczną . $M$ i Arnaud Beauville zaobserwowali że ${\ displaystyle M ^ {[n]}}$ jest również holomorficznie symplektyczny. Nie jest to bardzo trudne do zauważenia, np. dla ${\ displaystyle n = 2}$ . Rzeczywiście , $_$ powiększeniem . Osobliwości ${\ Displaystyle \ operatorname {Sym} ^ {2} M}$ są lokalnie izomorficzne z ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2} \ razy \ mathbb {C} ^ {2} / \ {\ pm 1 \}}$ . Do ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2} / \ {\ pm 1 \}}$ jest $} \ mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )}$ , a ta przestrzeń jest symplektyczna. Służy to do pokazania, że ​​forma symplektyczna jest naturalnie rozszerzona na gładką część wyjątkowych dzielników ${\ Displaystyle M ^ {[n]}}$ . $_$ na resztę . _

Holomorficznie symplektyczna rozmaitość Kählera to hyperkähler , jak wynika z twierdzenia Calabiego – Yau . Schematy Hilberta punktów na powierzchni K3 i na 4-wymiarowym torusie dają dwie serie przykładów rozmaitości hyperkählera : schemat punktów Hilberta na K3 i uogólnioną powierzchnię Kummera .

Zobacz też

• Schemat kwotowania
• Regularność Castelnuovo-Mumforda
• Wielkie twierdzenie Matsusaki
• Moduły krzywych algebraicznych
• Przestrzeń modułowa
• Modułowa powierzchnia Hilberta
• Odmiana modułowa Siegel

•   Beauville, Arnaud (1983), „Variétés Kähleriennes nie la première classe de Chern est nulle”, Journal of Differential Geometry , 18 (4): 755–782, doi : 10.4310/jdg/1214438181 , MR 0730926
• I. Dolgachev (2001) [1994], „Schemat Hilberta” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
•    Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Illusie, Luc ; Kleiman, Steven L .; Nitsure, Nitin; Vistoli, Angelo (2005), Fundamentalna geometria algebraiczna , Mathematical Surveys and Monografie, tom. 123, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-3541-8 , MR 2222646
•    Fogarty, John (1968), „Rodziny algebraiczne na powierzchni algebraicznej”, American Journal of Mathematics , The Johns Hopkins University Press, 90 (2): 511–521, doi : 10,2307/2373541 , JSTOR 2373541 , MR 0237496
•   Fogarty, John (1969), „Obcięte funktory Hilberta” , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 234 : 65–88, MR 0244268 , zarchiwizowane od oryginału w dniu 12.02.2013
•    Fogarty, John (1973), „Rodziny algebraiczne na powierzchni algebraicznej. II. Schemat Picarda punktowego schematu Hilberta”, American Journal of Mathematics , Johns Hopkins University Press , 95 (3): 660–687, doi : 10,2307 / 2373734 , JSTOR 2373734 , MR 0335512
•    Göttsche, Lothar (1994), schematy Hilberta zerowymiarowych podschematów gładkich odmian , Lecture Notes in Mathematics, tom. 1572, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0073491 , ISBN 978-3-540-57814-7 , MR 1312161
• Grothendieck, Alexander (1961), Techniki konstrukcyjne i teorie istnienia w geometrii algebrique . IV. Les schémas de Hilbert , Séminaire Bourbaki 221 Przedruk w    Adrien Douady; Rogera Godementa; Alain Guichardet ... (1995), Séminaire Bourbaki, tom. 6 , Paryż: Société Mathématique de France , s. 249–276, ISBN 2-85629-039-6 , MR 1611822
•   Hartshorne, Robin (1966), „Powiązania schematu Hilberta” , Publications Mathématiques de l'IHÉS (29): 5–48, MR 0213368
• Macaulay, Francis Sowerby (1927), „Niektóre właściwości wyliczania w teorii systemów modułowych”, Proceedings of the London Mathematical Society , seria 2, 26 : 531–555, doi : 10.1112/plms/s2-26.1.531
•   Mumford, David (1966-08-21), Wykłady o krzywych na powierzchni algebraicznej , Annals of Mathematics Studies, tom. 59, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07993-6
•    Nakajima, Hiraku (1999), Wykłady na temat schematów Hilberta punktów na powierzchniach , seria wykładów uniwersyteckich, tom. 18, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-1956-2 , MR 1711344
•   Nitsure, Nitin (2005), „Konstrukcja schematów Hilberta i Quota”, Podstawowa geometria algebraiczna , Math. Ankiety Monogr., tom. 123, Providence, RI: American Mathematical Society , s. 105–137, arXiv : math/0504590 , Bibcode : 2005math......4590N , MR 2223407
•   Qin, Zhenbo (2018), schematy punktów Hilberta i nieskończenie wymiarowe algebry Liego , Mathematical Surveys and Monographs, tom. 228, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-1-4704-4188-3

Przykłady i zastosowania

• Formuła Botta i geometria wyliczeniowa
• Liczba skręconych sześciennych na potrójnej kwintynie
• Wymierne krzywe na trojakach Calabiego – Yau: Weryfikacja przewidywań symetrii lustrzanej

Linki zewnętrzne

• Bertram, Aaron (1999), Budowa schematu Hilberta , dostęp 2008-09-06
• Bolognese, Barbara; Losev, Ivan, Ogólne wprowadzenie do schematu punktów Hilberta na płaszczyźnie (PDF) , zarchiwizowane z oryginału w dniu 30.08.2017 {{ cytat }} : CS1 maint: bot: oryginalny stan adresu URL nieznany ( link )
• Maclagan, Diane , Uwagi na temat schematów Hilberta (PDF) , zarchiwizowane z oryginału w dniu 07.03.2016 {{ cytat }} : CS1 maint: bot: stan oryginalnego adresu URL nieznany ( link )