Klasyfikacja Enriquesa-Kodairy

W matematyce klasyfikacja Enriquesa -Kodairy to klasyfikacja zwartych powierzchni złożonych na dziesięć klas. Dla każdej z tych klas powierzchnie w klasie można sparametryzować za pomocą przestrzeni modułów . W przypadku większości klas przestrzenie modułów są dobrze rozumiane, ale w przypadku klasy powierzchni typu ogólnego przestrzenie modułów wydają się zbyt skomplikowane, aby można je było jednoznacznie opisać, chociaż niektóre składowe są znane.

Max Noether rozpoczął systematyczne badanie powierzchni algebraicznych, a Guido Castelnuovo udowodnił ważne części klasyfikacji. Federigo Enriques ( 1914 , 1949 ) opisał klasyfikację złożonych powierzchni rzutowych. Kunihiko Kodaira ( 1964 , 1966 , 1968a , 1968b ) rozszerzył później tę klasyfikację na niealgebraiczne powierzchnie zwarte. Analogiczną klasyfikację powierzchni w charakterystyce dodatniej zapoczątkował David Mumford ( 1969 ), a uzupełnili Enrico Bombieri i David Mumford ( 1976 , 1977 ); jest podobny do przypadku rzutowego charakterystycznego 0, z wyjątkiem tego, że w charakterystyce 2 otrzymuje się również pojedyncze i superosobliwe powierzchnie Enriquesa oraz quasi-hipereliptyczne powierzchnie w charakterystyce 2 i 3.

Oświadczenie o klasyfikacji

Liczby Chern'a o minimalnych powierzchniach zespolonych

Klasyfikacja zwartych powierzchni złożonych Enriquesa-Kodairy stwierdza, że każda nieosobliwa minimalna zwarta powierzchnia złożona należy do dokładnie jednego z 10 typów wymienionych na tej stronie; innymi słowy, jest to jedna z wymiernych, rządzonych (rodzaj > 0), typu VII, K3, Enriques, Kodaira, torycznych, hipereliptycznych, właściwie quasi-eliptycznych lub ogólnych.

Dla 9 klas powierzchni innych niż typ ogólny istnieje dość pełny opis tego, jak wyglądają wszystkie powierzchnie (co dla klasy VII zależy od globalnej hipotezy o kulistej powłoce , wciąż niepotwierdzonej w 2009 r.). W przypadku powierzchni typu ogólnego niewiele wiadomo na temat ich wyraźnej klasyfikacji, chociaż znaleziono wiele przykładów.

Klasyfikacja powierzchni algebraicznych w charakterystyce dodatniej ( Mumford 1969 , Mumford & Bombieri 1976 , 1977 ) jest podobna do klasyfikacji powierzchni algebraicznych w charakterystyce 0, z wyjątkiem tego, że nie ma powierzchni Kodaira ani powierzchni typu VII i istnieje kilka dodatkowych rodzin Powierzchnie Enriquesa w charakterystyce 2 i powierzchnie hipereliptyczne w charakterystyce 2 i 3, aw wymiarze 1 Kodairy w charakterystyce 2 i 3 dopuszcza się również quasijeliptyczne fibracje. Te dodatkowe rodziny można rozumieć w następujący sposób: W charakterystyce 0 te powierzchnie są ilorazami powierzchni przez grupy skończone, ale w charakterystyce skończonej możliwe jest również przyjmowanie ilorazów według schematów grup skończonych , które nie są étale .

Oscar Zański skonstruował pewne powierzchnie o dodatniej charakterystyce, które są niewymierne, ale nie racjonalne, wyprowadzone z nierozłącznych rozszerzeń ( powierzchnie Zańskiego ). W $)}$ dodatniej Serre wykazał, że h $(\ Omega$ , a Igusa pokazał, że nawet gdy są równe, mogą być większe niż nieregularność (wymiar odmiany Picard ).

Niezmienniki powierzchni

Liczby Hodge'a i wymiar Kodairy

Najważniejsze niezmienniki zwartych powierzchni zespolonych stosowane w klasyfikacji można podać w kategoriach wymiarów różnych spójnych grup kohomologii snopów . Podstawowe z nich to plurigenera i liczby Hodge określone w następujący sposób:

K to kanoniczna wiązka linii , której sekcje są holomorficznymi 2-formami.

${\ Displaystyle P_ {n} = \ dim H ^ {0} (K ^ {n}), n \ geqslant 1}$ nazywane są plurigenera . Są to biracyjne , tj. niezmienniki pod wpływem nadmuchu. Korzystając z teorii Seiberga-Wittena , Robert Friedman i John Morgan wykazali, że w przypadku złożonych rozmaitości zależą one tylko od podstawowej zorientowanej gładkiej 4-rozmaitości. W przypadku powierzchni innych niż Kähler plurigenera są określane przez grupę podstawową, ale w przypadku powierzchni Kähler istnieją przykłady powierzchni, które są homeomorficzne, ale mają różne wymiary plurigenera i Kodaira. Poszczególne plurigenera nie są często używane; najważniejszą rzeczą w nich jest ich tempo wzrostu, mierzone wymiarem Kodaira .

${\ displaystyle \ kappa}$ to wymiar Kodairy : jest (czasami zapisywany $) , jeśli wszystkie plurigenera to 0, a poza tym jest to najmniejsza$ (0, 1 lub 2 dla $)$ takie że Enriques nie użył tej definicji: zamiast tego użył wartości i $K \ cdot K = c_ {1} ^$ $Displaystyle$ . Określają one wymiar Kodairy, biorąc pod uwagę następującą zgodność:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ kappa = - \ infty & \ longleftrightarrow P_ {12} = 0 \\\ kappa = 0 & \ longleftrightarrow P_ {12} = 1 \\\ kappa = 1 & \ longleftrightarrow P_ {12 }>1{\text{i }}K\cdot K=0\\\kappa =2&\longleftrightarrow P_{12}>1{\text{i }}K\cdot K>0\\\end{wyrównane} }}

${\ Displaystyle h ^ {i, j} = \ słaby H ^ {j} (X, \ Omega ^ {i}),}$ gdzie ${\ Displaystyle \ Omega ^ {i}}$ to snop holomorficznych form i , to liczby Hodge'a , często ułożone w romby Hodge'a:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {matryca} && h ^ {0,0} &&\\& h ^{1,0}&&h^{0,1}&\\h^{2,0}&&h^{1,1}&&h^{0,2}\\&h^{2,1}&&h^{1 ,2}&\\&&h^{2,2}&&\\\koniec{macierzy}}}

Przez dwoistość Serre'a

{\ Displaystyle h ^ {i, j} = h ^ {2-i, 2-j}}

i

{\ Displaystyle h ^ {0,0} = h ^ {2,2} = 1.}

Liczby Hodge'a powierzchni zespolonej zależą tylko od zorientowanego rzeczywistego pierścienia kohomologii powierzchni i są niezmienne w przypadku przekształceń biracyjnych, z wyjątkiem

{\ displaystyle h ^ {1,1}}

, co zwiększa się o 1 przy wysadzeniu pojedynczego punktu.

Jeśli powierzchnia $liczby$ Kählera trzy
Jeśli powierzchnia jest zwarta, to $}$ się $h ^ {1,0}$ lub $1}-1.}$ ${\ displaystyle h ^ {0$

Niezmienniki związane z liczbami Hodge'a

Istnieje wiele niezmienników, które (przynajmniej dla złożonych powierzchni) można zapisać jako kombinacje liniowe liczb Hodge'a, jak następuje:

Liczby Bettiego : zdefiniowane przez ${\ Displaystyle b_ {i} = \ dim H ^ {i} (S), 0 \ leqslant i \ leqslant 4.}$

{\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki}b_{0}=b_{4}=1\\b_{1}=b_{3}=h^{1,0}+h^{0,1}=h^{2,1}+ h^{1,2}\\b_{2}=h^{2,0}+h^{1,1}+h^{0,2}\end{przypadki}}}

W charakterystyce p > 0 Liczby Bettiego są definiowane przy użyciu kohomologii l-adycznej i nie muszą spełniać tych relacji.

Charakterystyka Eulera lub liczba Eulera :

b_ {2} - b_ {3} + b_ {4}.}

+ Nieprawidłowość jest zdefiniowana jako wymiar odmiany pikardyjskiej i albańskiej i oznaczona przez q . Dla powierzchni złożonych (ale nie zawsze dla powierzchni o pierwszorzędnej charakterystyce)

{\ Displaystyle q = h ^ {0,1}.}

Rodzaj geometryczny :

{\ Displaystyle p_ {g} = h ^ {0,2} = h ^ {2,0} = P_ {1}.}

Rodzaj arytmetyczny :

{\ Displaystyle p_ {a} = p_ {g} -q = h ^ {0,2} -h ^ {0,1}.}

Holomorficzna charakterystyka Eulera trywialnej wiązki (zwykle różni się od liczby Eulera e zdefiniowanej powyżej ):

{\ Displaystyle \ chi = p_ {g} -q + ​​1 = h ^ {0,2} -h ^ {0,1 }+1.}

Według wzoru Noether jest to również równe rodzajowi Todda

\ displaystyle

τ { $tau$ } :

{\ Displaystyle \ tau = 4 \ chi -e = \ sum \ nolimits _ {i, j} (-1) ^ {j} h ^ {i, j}.} b ± {\ Displaystyle b ^ {

$} }$ są wymiarami maksymalnych dodatnich i ujemnych określonych podprzestrzeni $b$ +

{\ rozpocząć {przypadki}b^{+}+b^{-}=b_{2}\\b^{+}-b^{-}=\tau \end{przypadki}}}

c ₂ = e i ${\ Displaystyle c_ {1} ^ {2} = K ^ {2} = 12 \ chi -e}$ to liczby Cherna , zdefiniowane jako całki różnych wielomianów w klasach Cherna po Kolektor.

Inne niezmienniki

Istnieją dalsze niezmienniki zwartych powierzchni złożonych, które nie są tak często używane w klasyfikacji. Należą do nich niezmienniki algebraiczne, takie jak grupa Picarda Pic( X ) dzielników modulo równoważności liniowej , jej iloraz grupa Nerona – Severiego NS( X ) o randze liczby Picarda ρ , niezmienniki topologiczne, takie jak grupa podstawowa π ₁ i homologia całkowa i grupy kohomologiczne oraz niezmienniki podstawowej gładkiej 4-rozmaitości, takie jak niezmienniki Seiberga-Wittena i niezmienniki Donaldsona .

Minimalistyczne modele i wysadzanie w powietrze

Każda powierzchnia jest biracyjna do powierzchni innej niż pojedyncza, więc w większości przypadków wystarczy sklasyfikować powierzchnie inne niż osobliwe.

Mając dowolny punkt na powierzchni, możemy utworzyć nową powierzchnię, powiększając ten punkt, co z grubsza oznacza, że zastąpimy go kopią linii rzutowej. Na potrzeby tego artykułu nieosobliwa powierzchnia X jest nazywana minimalną , jeśli nie można jej uzyskać z innej nieosobliwej powierzchni przez wysadzenie punktu. Zgodnie z twierdzeniem Castelnuovo o skróceniu jest to równoważne stwierdzeniu, że X nie ma (-1) -krzywych (gładkich krzywych wymiernych z liczbą samoprzecięcia -1). (W bardziej nowoczesnej terminologii programu minimalnego modelu gładka powierzchnia rzutowa X byłaby nazywana minimalną , gdyby jej kanoniczna wiązka linii K _X wynosi nef . Gładka powierzchnia rzutowa ma model minimalny w tym silniejszym sensie wtedy i tylko wtedy, gdy jej wymiar Kodaira jest nieujemne).

Każda powierzchnia X jest biracyjna do minimalnej powierzchni nieosobliwej, a ta minimalna powierzchnia nieosobliwa jest unikalna, jeśli X ma wymiar Kodairy co najmniej 0 lub nie jest algebraiczny. Powierzchnie algebraiczne wymiaru Kodairy $powierzchniami$ być biracyjne do więcej niż jednej minimalnej powierzchni innej niż pojedyncza, ale łatwo jest opisać zależność między tymi minimalnymi Na przykład P ¹ × P ¹ wysadzony w punkcie jest izomorficzny z P ² wysadzonym dwukrotnie. Tak więc, aby sklasyfikować wszystkie zwarte powierzchnie zespolone aż do izomorfizmu birational, wystarczy (mniej więcej) sklasyfikować minimalne nieosobliwe.

Powierzchnie wymiaru Kodairy −∞

Powierzchnie algebraiczne wymiaru Kodairy $.$ w następujący sposób Jeśli q > 0, to mapa odmiany albańskiej ma włókna, które są liniami rzutowymi (jeśli powierzchnia jest minimalna), więc powierzchnia jest powierzchnią prostoliniową. Jeśli q = 0 ten argument nie działa, ponieważ rozmaitość albańska jest punktem, ale w tym przypadku twierdzenie Castelnuovo implikuje, że powierzchnia jest racjonalna.

Dla powierzchni niealgebraicznych Kodaira znalazł dodatkową klasę powierzchni, zwaną typem VII, która wciąż nie jest dobrze poznana.

Racjonalne powierzchnie

₀ Powierzchnia wymierna oznacza powierzchnię biracjonalną do zespolonej płaszczyzny rzutowej P ² . To wszystko jest algebraiczne. Minimalne powierzchnie wymierne to samo P ^{2 i} powierzchnie Hirzebrucha Σ _n dla n = 0 lub n ≥ 2. (Powierzchnia Hirzebrucha Σ _n to wiązka P ¹ nad P ¹ związana z snopem O(0) + O( n ) Powierzchnia Σ jest izomorficzna z P ¹ × P ¹ , a Σ ₁ jest izomorficzna z P ² wysadzoną w punkcie, więc nie jest minimalna.)

Niezmienniki: wszystkie plurigenera są równe 0, a podstawowa grupa jest trywialna.

Diament Hodge'a:

		1
	0		0
0		1		0	(Płaszczyzna rzutu)
	0		0
		1

		1
	0		0
0		2		0	(Powierzchnie Hirzebrucha)
	0		0
		1

₀ Przykłady: P ² , P ¹ × P ¹ = Σ , powierzchnie Hirzebrucha Σ _n , kwadraty , powierzchnie sześcienne , powierzchnie del Pezzo , powierzchnia Veronese . Wiele z tych przykładów nie jest minimalnych.

Powierzchnie rządzone rodzaju > 0

Powierzchnie prostopadłe rodzaju g mają gładki morfizm do krzywej rodzaju g , której włóknami są linie P ¹ . Wszystkie są algebraiczne. (Te z rodzaju 0 to powierzchnie Hirzebrucha i są wymierne). Każda powierzchnia prostoliniowa jest biracjonalnie równoważna P ¹ × C dla unikalnej krzywej C , więc klasyfikacja powierzchni prostopadłych do równoważności biracyjnej jest zasadniczo taka sama jak klasyfikacja Krzywe. Powierzchnia prostoliniowa, która nie jest izomorficzna z P ¹ × P ^1, ma unikalną regułę ( P ¹ × P ¹ ma dwie).

Niezmienniki: wszystkie plurigenera to 0.

Diament Hodge'a:

		1
	G		G
0		2		0
	G		G
		1

Przykłady: Iloczyn dowolnej krzywej rodzaju > 0 z P ¹ .

Nawierzchnie klasy VII

Te powierzchnie nigdy nie są algebraiczne ani kählerowskie . Minimalne z b ₂ = 0 zostały sklasyfikowane przez Bogomołowa i są to albo powierzchnie Hopfa , albo powierzchnie Inoue . Przykłady z dodatnią drugą liczbą Bettiego obejmują powierzchnie Inoue-Hirzebrucha , powierzchnie Enoki i bardziej ogólnie powierzchnie Kato . Hipoteza globalnej powłoki sferycznej sugeruje, że wszystkie minimalne powierzchnie klasy VII z dodatnią drugą liczbą Bettiego są powierzchniami Kato, co mniej więcej uzupełniałoby klasyfikację powierzchni typu VII.

Niezmienniki: q = 1, h ^1,0 = 0. Wszystkie plurigenera to 0.

Diament Hodge'a:

		1
	0		1
0		b ₂		0
	1		0
		1

Powierzchnie wymiaru Kodaira 0

Powierzchnie te klasyfikuje się zaczynając od wzoru Noether ${\ Displaystyle 12 \ chi = c_ {2} + c_ {1} ^ {2}.}$ Dla wymiaru Kodaira 0, K ma zerowy numer przecięcia ze sobą , więc ${\ Displaystyle c_ {1} ^ {2}=0.}$ Korzystanie

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ chi & = h ^ {0,0} -h ^ {0,1 }+h^{0,2}\\c_{2}&=2-2b_{1}+b_{2}\end{wyrównane}}}

dojeżdżamy do:

{\ Displaystyle 10 + 12 h ^ {0,2} = 8 h ^ {0,1} + 2 \ lewo ( 2h^{0,1}-b_{1}\right)+b_{2}}

Ponadto ponieważ κ = 0 mamy:

{\ Displaystyle h ^ {0,2} = {\ rozpocząć {przypadki} 1 & K = 0 \\ 0 & {\ tekst {inaczej}} \ koniec {przypadków}}}

połączenie tego z poprzednim równaniem daje:

{\ Displaystyle 8h ^ {0,1} + 2 \ lewo (2h ^ {0,1} -b_ { 1}\right)+b_{2}={\begin{przypadki}22&K=0\\10&{\text{inaczej}}\end{przypadki}}}

W ogólności 2 h ^0,1 ≥ b ₁ , więc trzy wyrazy po lewej stronie są nieujemnymi liczbami całkowitymi i istnieje tylko kilka rozwiązań tego równania.

Dla powierzchni algebraicznych 2 h ^0,1 − b ₁ jest parzystą liczbą całkowitą między 0 a 2 p _g .
Dla zwartych powierzchni złożonych 2 h ^0,1 − b ₁ = 0 lub 1.
Dla powierzchni Kählera 2 h ^0,1 - b ₁ = 0 i h ^1,0 = h ^0,1 .

Większość rozwiązań tych warunków odpowiada klasom powierzchni, jak w poniższej tabeli:

b2 _{_}	b1 _{_}	h ^0,1	p _g = h ^0,2	h ^1,0	h ^1,1	Powierzchnie	Pola
22	0	0	1	0	20	K3	Każdy. Zawsze Kähler nad liczbami zespolonymi, ale nie musi być algebraiczny.
10	0	0	0	0	10	Klasyczny Enriques	Każdy. Zawsze algebraiczne.
10	0	1	1			Nieklasyczny Enriques	Tylko charakterystyczne 2
6	4	2	1	2	4	Powierzchnie abelowe, torus	Każdy. Zawsze Kähler nad liczbami zespolonymi, ale nie musi być algebraiczny.
2	2	1	0	1	2	Hipereliptyczny	Każdy. Zawsze algebraiczne
2	2	2	1			Quasi-hipereliptyczny	Tylko cechy 2, 3
4	3	2	1	1	2	Pierwotna Kodaira	Tylko złożone, nigdy Kähler
0	1	1	0	0	0	Kodaira drugorzędna	Tylko złożone, nigdy Kähler

powierzchnie K3

Są to minimalne zwarte powierzchnie zespolone o wymiarze Kodaira 0 z q = 0 i trywialną wiązką linii kanonicznych. Wszystkie są rozmaitościami Kählera . Wszystkie powierzchnie K3 są dyfeomorficzne, a ich klasa dyfeomorfizmu jest ważnym przykładem gładkiego spinu, po prostu połączonego 4-rozmaitości.

Niezmienniki: Druga grupa kohomologiczna H ² ( X , Z ) jest izomorficzna z unikalną nawet jednomodułową siecią II _3,19 o wymiarze 22 i sygnaturze −16.

Diament Hodge'a:

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

Przykłady :

Hiperpowierzchnie stopnia 4 w P ³ ( C )
powierzchnie Kummera . Uzyskuje się je przez iloraz powierzchni abelowej przez automorfizm a → − a , a następnie rozdmuchanie 16 punktów osobliwych.

Zaznaczona powierzchnia K3 jest powierzchnią K3 wraz z izomorfizmem od II _3,19 do H ² ( X , Z ). Przestrzeń modułów oznaczonych powierzchni K3 jest spójną nie-Hausdorffowską gładką przestrzenią analityczną o wymiarze 20. Powierzchnie algebraiczne K3 tworzą przeliczalny zbiór jej 19-wymiarowych podrozmaitości.

Powierzchnie abelowe i 2-wymiarowy złożony torus

Dwuwymiarowe złożone torusy obejmują powierzchnie abelowe . Jednowymiarowe złożone torusy są po prostu krzywymi eliptycznymi i wszystkie są algebraiczne, ale Riemann odkrył, że najbardziej złożone torusy o wymiarze 2 nie są algebraiczne. Te algebraiczne są dokładnie dwuwymiarowymi rozmaitościami abelowymi . Większość ich teorii to szczególny przypadek teorii wielowymiarowych odmian tori lub abelowych. Kryteria bycia iloczynem dwóch krzywych eliptycznych (aż do izogenii ) były popularnym badaniem w XIX wieku.

Niezmienniki: Wszystkie plurigenera to 1. Powierzchnia jest dyfeomorficzna do S ¹ × S ¹ × S ¹ × S ¹ , więc podstawową grupą jest Z ⁴ .

Diament Hodge'a:

		1
	2		2
1		4		1
	2		2
		1

Przykłady: Produkt dwóch krzywych eliptycznych. Jakobian krzywej rodzaju 2. Dowolny iloraz C ² przez kratę.

Powierzchnie Kodairy

Te nigdy nie są algebraiczne, chociaż mają niestałe funkcje meromorficzne. Są one zwykle podzielone na dwa podtypy: pierwotne powierzchnie Kodairy z trywialnymi wiązkami kanonicznymi i wtórne powierzchnie Kodairy , które są ich ilorazami przez skończone grupy rzędów 2, 3, 4 lub 6 i które mają nietrywialne wiązki kanoniczne. Wtórne powierzchnie Kodairy mają taki sam stosunek do pierwotnych, jak powierzchnie Enriquesa do powierzchni K3 lub powierzchnie bielliptyczne do powierzchni abelowych.

Niezmienniki: jeśli powierzchnia jest ilorazem pierwotnej powierzchni Kodairy przez grupę rzędu k = 1, 2, 3, 4, 6, to plurigenera P _n wynosi 1, jeśli n jest podzielne przez k , aw przeciwnym razie 0.

Diament Hodge'a:

		1
	1		2
1		2		1	(Podstawowy)
	2		1
		1

		1
	0		1
0		0		0	(drugorzędny)
	1		0
		1

Przykłady: weź nietrywialną wiązkę linii na krzywej eliptycznej, usuń sekcję zerową, a następnie podziel włókna przez Z , działając jako mnożenie przez potęgi pewnej liczby zespolonej z . Daje to pierwotną powierzchnię Kodairy.

Powierzchnie Enriquesa

Są to powierzchnie zespolone takie, że q = 0, a wiązka linii kanonicznych jest nietrywialna, ale ma trywialny kwadrat. Wszystkie powierzchnie Enriquesa są algebraiczne (a zatem Kähler ). Są to ilorazy powierzchni K3 przez grupę rzędu 2, a ich teoria jest podobna do algebraicznych powierzchni K3.

Niezmienniki: plurigenera P _n to 1, jeśli n jest parzyste, i 0, jeśli n jest nieparzyste. Grupa podstawowa ma rząd 2. Druga grupa kohomologiczna H ² ( X , Z ) jest izomorficzna z sumą unikalnej nawet jednomodułowej sieci II _1,9 o wymiarze 10 i sygnaturze −8 oraz grupy rzędu 2.

Diament Hodge'a:

	0		0
	0		0
		1
0		10		0
		1

Oznaczone powierzchnie Enriques tworzą połączoną 10-wymiarową rodzinę, która została wyraźnie opisana.

W charakterystyce 2 występuje kilka dodatkowych rodzin powierzchni Enriques, zwanych pojedynczymi i superosobliwymi powierzchniami Enriquesa; zobacz artykuł na temat powierzchni Enriques, aby uzyskać szczegółowe informacje.

Powierzchnie hipereliptyczne (lub bielliptyczne).

W liczbach zespolonych są to iloraz iloczynu dwóch krzywych eliptycznych przez skończoną grupę automorfizmów. Skończoną grupą może być Z /2 Z , Z /2 Z + Z /2 Z , Z /3 Z , Z /3 Z + Z /3 Z , Z /4 Z , Z /4 Z + Z /2 Z , lub Z /6 Z , dając siedem rodzin takich powierzchni. Nad polami o charakterystyce 2 lub 3 istnieje kilka dodatkowych rodzin danych przez przyjęcie ilorazów według schematu grupowego nie będącego etalem; szczegółowe informacje można znaleźć w artykule na temat powierzchni hipereliptycznych .

Diament Hodge'a:

		1
	1		1
0		2		0
	1		1
		1

Powierzchnie Kodairy wymiar 1

Powierzchnia eliptyczna to powierzchnia wyposażona w eliptyczne włóknienie (surjektywne holomorficzne odwzorowanie krzywej B , takie, że wszystkie oprócz nieskończenie wielu włókien są gładkimi, nieredukowalnymi krzywymi rodzaju 1). Ogólnym włóknem w takim rozwłóknieniu jest krzywa rodzaju 1 nad polem funkcyjnym B. I odwrotnie, biorąc pod uwagę krzywą rodzaju 1 nad polem funkcyjnym krzywej, jej względnym modelem minimalnym jest powierzchnia eliptyczna. Kodaira i inni podali dość pełny opis wszystkich powierzchni eliptycznych. W szczególności Kodaira podała pełną listę możliwych pojedynczych włókien . Teoria powierzchni eliptycznych jest analogiczna do teorii właściwych modeli regularnych krzywych eliptycznych na dyskretnych pierścieniach wartościowania ( np .

W charakterystyce skończonej 2 i 3 można również uzyskać powierzchnie quasi-eliptyczne , których włókna mogą być prawie wszystkimi krzywymi wymiernymi z jednym węzłem, które są „zdegenerowanymi krzywymi eliptycznymi”.

Każda powierzchnia wymiaru Kodairy 1 jest powierzchnią eliptyczną (lub powierzchnią kwaziliptyczną w charakterystyce 2 lub 3), ale sytuacja odwrotna nie jest prawdziwa: powierzchnia eliptyczna może mieć wymiar Kodairy ${\ Displaystyle - \ infty}$ , 0 lub 1 Wszystkie powierzchnie Enriquesa , wszystkie powierzchnie hipereliptyczne , wszystkie powierzchnie Kodairy , niektóre powierzchnie K3 , niektóre powierzchnie abelowe i niektóre powierzchnie wymierne są powierzchniami eliptycznymi, a te przykłady mają wymiar Kodaira mniejszy niż 1. Powierzchnia eliptyczna, której krzywa bazowa B jest rodzaju co najmniej 2 zawsze ma wymiar Kodaira 1, ale wymiar Kodaira może wynosić 1 również dla niektórych powierzchni eliptycznych z B rodzaju 0 lub 1.

niezmienniki: ${\ Displaystyle c_ {1} ^ {2} = 0, c_ {2} \ geqslant 0.}$

Przykład: jeśli E jest krzywą eliptyczną, a B jest krzywą rodzaju co najmniej 2, to E × B jest powierzchnią eliptyczną o wymiarze Kodaira 1.

Powierzchnie Kodairy wymiar 2 (powierzchnie typu ogólnego)

Wszystkie one są algebraiczne iw pewnym sensie większość powierzchni należy do tej klasy. Gieseker wykazał, że istnieje schemat zgrubnych modułów dla powierzchni typu ogólnego; oznacza to, że dla dowolnych ustalonych wartości liczb Chern c
²₁ i c ₂ istnieje schemat quasi-rzutowy klasyfikujący powierzchnie typu ogólnego tymi liczbami Chern. Jednak bardzo trudnym problemem jest wyraźne opisanie tych schematów i istnieje bardzo niewiele par liczb Cherna, dla których to zrobiono (z wyjątkiem sytuacji, gdy schemat jest pusty!)

Niezmienniki: Istnieje kilka warunków, które muszą spełniać liczby Cherna minimalnej powierzchni zespolonej typu ogólnego:

${\ Displaystyle c_ {1} ^ {2}, c_ {2}> 0}$
${\ Displaystyle c_ {1} ^ {2} \ leqslant 3c_ {2}}$ ( nierówność Bogomołowa – Miyaoki – Yau )
${\ Displaystyle 5c_ {1} ^ {2} -c_ {2} + 36 \ geqslant 0}$ (nierówność Noether)
${\ Displaystyle c_ {1} ^ {2} + c_ {1} \ równoważnik 0 {\ bmod {1}} 2.}$

Większość par liczb całkowitych spełniających te warunki to liczby Cherna dla jakiejś zespolonej powierzchni ogólnego typu.

Przykłady: Najprostsze przykłady to iloczyn dwóch krzywych rodzaju co najmniej 2 i hiperpowierzchni stopnia co najmniej 5 w P ³ . Znanych jest wiele innych konstrukcji. Jednak nie ma znanej konstrukcji, która mogłaby wytworzyć „typowe” powierzchnie ogólnego typu dla dużych liczb Cherna; w rzeczywistości nie wiadomo nawet, czy istnieje jakakolwiek rozsądna koncepcja „typowej” powierzchni ogólnego typu. Znaleziono wiele innych przykładów, w tym większość powierzchni modułowych Hilberta , fałszywe płaszczyzny rzutowe , powierzchnie Barlowa i tak dalej.

Zobacz też

Lista powierzchni algebraicznych

Barth, Wilk P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., tom. 4, Springer-Verlag, Berlin, doi : 10.1007/978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3 , MR 2030225 - standardowa książka informacyjna o zwartych, złożonych powierzchniach
Beauville, Arnaud (1996), Złożone powierzchnie algebraiczne , London Mathematical Society Student Texts, tom. 34 (wyd. 2), Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511623936 , ISBN 978-0-521-49510-3 , MR 1406314 ; ( ISBN 978-0-521-49842-5 miękka okładka ) - w tym bardziej elementarne wprowadzenie do klasyfikacji
Bombieri, Enrico ; Mumford, David (1977), „Klasyfikacja powierzchni Enriquesa w char. S. II”, Analiza złożona i geometria algebraiczna , Tokio: Iwanami Shoten, s. 23–42, MR 0491719
- Bombieri, E .; Mumford, D. (1977). „Klasyfikacja powierzchni Enriquesa na Char. P, II”. Analiza złożona i geometria algebraiczna . s. 23–42. doi : 10.1017/CBO9780511569197.004 . ISBN 9780521217774 .
Bombieri, Enrico ; Mumford, David (1976), „Klasyfikacja powierzchni Enriquesa w char. S. III”. ( PDF ) . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Enriques, Federigo (1914), „Sulla klasyfikuje superficie algebriche i particolarmente sulle superficie di genere p ¹ = 1”, Atti. wg. Lincei V Ser. , 23
Enriques, Federigo (1949), Le Superficie Algebriche , Nicola Zanichelli, Bolonia, MR 0031770
Kodaira, Kunihiko (1964), „O strukturze zwartych złożonych powierzchni analitycznych. I”, American Journal of Mathematics , 86 (4): 751–798, doi : 10,2307/2373157 , JSTOR 2373157 , MR 0187255
Kodaira, Kunihiko (1966), „O strukturze zwartych, złożonych powierzchni analitycznych. II”, American Journal of Mathematics , 88 (3): 682–721, doi : 10,2307/2373150 , JSTOR 2373150 , MR 0205280 , PMC 300219 , PMID 16578569
Kodaira, Kunihiko (1968a), „O strukturze zwartych złożonych powierzchni analitycznych. III”, American Journal of Mathematics , 90 (1): 55–83, doi : 10,2307/2373426 , JSTOR 2373426 , MR 0228019
Kodaira, Kunihiko (1968b), „O strukturze złożonych powierzchni analitycznych. IV”, American Journal of Mathematics , 90 (4): 1048–1066, doi : 10,2307/2373289 , JSTOR 2373289 , MR 0239114
Mumford, David (1969), „Klasyfikacja powierzchni Enriquesa w char p I”, Global Analysis (Papers in Honor of K. Kodaira) , Tokyo: Univ. Tokyo Press, s. 325–339, doi : 10.1515/9781400871230-019 , JSTOR j.ctt13x10qw.21 , MR 0254053
Reid, Miles (1997), „Rozdziały o powierzchniach algebraicznych”, Złożona geometria algebraiczna (Park City, UT, 1993) , IAS / Park City Math. Ser., tom. 3, Providence, RI: American Mathematical Society , s. 3–159, arXiv : alg-geom/9602006 , Bibcode : 1996alg.geom..2006R , doi : 10.1090/pcms/003/02 , ISBN 9780821811450 , MR 1442522 , S2CID 116933286
Szafarewicz, Igor R .; Averbuh, Borys G.; Vaĭnberg, Ju. R.; Żyżczenko, AB; Manin, Jurij I .; Moishezon, Borys G .; Tjurina, Galina N.; Tjurin, Andrei N. (1967) [1965], „Powierzchnie algebraiczne”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics , Providence, RI: American Mathematical Society , 75 : 1–215, ISBN 978-0-8218-1875-6 , MR 0190143
Van de Ven, Antonius (1978), „O klasyfikacji powierzchni algebraicznych Enriquesa” , Séminaire Bourbaki, 29e année (1976/77) , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 677, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , s. 237–251, MR 0521772

Linki zewnętrzne

le superficie algebriche to interaktywna wizualizacja klasyfikacji Enriques-Kodaira autorstwa Pietera Belmansa i Johana Commelina