Nawierzchnia klasy VII

W matematyce powierzchnie klasy VII to niealgebraiczne powierzchnie zespolone badane przez (Kodaira 1964 , 1968 ), które mają wymiar Kodairy −∞ i pierwszą liczbę Bettiego 1. Minimalne powierzchnie klasy VII (te bez wymiernych krzywych z samoprzecięciem −1 ) nazywane są powierzchniami klasy VII 0 . Każda powierzchnia klasy VII jest biracyjna do unikalnej minimalnej powierzchni klasy VII i można ją uzyskać z tej minimalnej powierzchni przez wysadzanie punktów skończoną liczbę razy.

0000 Nazwa „klasa VII” pochodzi od ( Kodaira 1964 , twierdzenie 21), który podzielił powierzchnie minimalne na 7 klas ponumerowanych od I do VII . Jednak klasa VII Kodairy nie miała warunku, że wymiar Kodairy wynosi -∞, ale zamiast tego miał warunek, że rodzaj geometryczny wynosi 0. W rezultacie jego klasa VII obejmowała również inne powierzchnie, takie jak drugorzędne powierzchnie Kodairy , które są nie są już uważane za klasę VII, ponieważ nie mają wymiaru Kodaira −∞. Minimalne powierzchnie klasy VII to klasa o numerze „7” na liście powierzchni w ( Kodaira 1968 , twierdzenie 55).

niezmienniki

Nieregularność q wynosi 1, a h 1,0 = 0. Wszystkie plurigenera mają wartość 0.

Diament Hodge'a:

1
0 1
0 b 2 0
1 0
1

Przykłady

Powierzchnie Hopfa są ilorazami C 2 −(0,0) dyskretnej grupy G działającej swobodnie i mają znikające drugie liczby Bettiego. Najprostszym przykładem jest przyjęcie G jako liczb całkowitych, działających jako mnożenie przez potęgi 2; odpowiednia powierzchnia Hopfa jest dyfeomorficzna do S 1 × S 3 .

Powierzchnie Inoue to pewne powierzchnie klasy VII, których uniwersalne pokrycie to C × H , gdzie H jest górną połową płaszczyzny (więc są one ilorazami tego przez grupę automorfizmów). Mają znikające drugie numery Betti.

Powierzchnie Inoue-Hirzebrucha , powierzchnie Enoki i powierzchnie Kato podają przykłady powierzchni typu VII z b 2 > 0.

Klasyfikacja i globalne powłoki sferyczne

Minimalne powierzchnie klasy VII z drugą liczbą Bettiego b 2 = 0 zostały sklasyfikowane przez Bogomolova ( 1976 , 1982 ) i są to powierzchnie Hopfa lub powierzchnie Inoue . Te z b 2 = 1 zostały sklasyfikowane przez Nakamurę (1984b) przy dodatkowym założeniu, że powierzchnia ma krzywiznę, co zostało później udowodnione przez Telemana (2005) .

0 Globalna sferyczna powłoka ( Kato 1978 ) to gładka 3-kula na powierzchni z połączonym dopełnieniem, z sąsiedztwem biholomorficznym do sąsiedztwa kuli w C 2 . Hipoteza globalnej powłoki sferycznej głosi, że wszystkie powierzchnie klasy VII z dodatnią drugą liczbą Bettiego mają globalną powłokę sferyczną. Rozmaitości z globalną sferyczną powłoką to wszystkie powierzchnie Kato , które są dość dobrze poznane, więc dowód tego przypuszczenia doprowadziłby do klasyfikacji powierzchni typu VII.

Powierzchnia klasy VII z dodatnią drugą liczbą Bettiego b 2 ma co najwyżej b 2 krzywych wymiernych i ma dokładnie tę liczbę, jeśli ma globalną powłokę sferyczną. I odwrotnie, Georges Dloussky, Karl Oeljeklaus i Matei Toma ( 2003 ) wykazali, że jeśli minimalna powierzchnia klasy VII z dodatnią drugą liczbą Bettiego b 2 ma dokładnie b 2 krzywych wymiernych, to ma ona globalną powłokę sferyczną.

W przypadku powierzchni typu VII ze znikającą drugą liczbą Bettiego, pierwotne powierzchnie Hopfa mają globalną sferyczną powłokę, ale drugorzędne powierzchnie Hopfa i powierzchnie Inoue nie, ponieważ ich podstawowe grupy nie są nieskończenie cykliczne. Wysadzenie punktów na tych ostatnich powierzchniach daje nieminimalne powierzchnie klasy VII z dodatnią drugą liczbą Bettiego, które nie mają kulistych powłok.

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Surface_of_class_VII&oldid=1048351907 ”