Powierzchnia Inoue

W złożonej geometrii powierzchnia Inoue jest dowolną z kilku złożonych powierzchni Kodaira klasy VII . Zostały nazwane na cześć Masahisy Inoue, który w 1974 roku podał pierwsze nietrywialne przykłady powierzchni Kodaira klasy VII.

Powierzchnie Inoue nie są rozmaitościami Kählera .

Inoue powierzchnie z b ₂ = 0

⁰ Inoue wprowadził trzy rodziny powierzchni, S , S ⁺ i S ^{- ,} $które$ ilorazami (iloczynu płaszczyzny zespolonej przez samolot). Te powierzchnie Inoue są rozmaitymi rozwiązaniami . Otrzymuje się ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ razy \ mathbb {H}.}$ jako iloraz $przez rozwiązywalną$ grupę, która działa holomorficznie

Wszystkie powierzchnie rozmaitości skonstruowane przez Inoue mają drugą liczbę Bettiego ${\ displaystyle b_ {2} = 0}$ . Powierzchnie te należą do klasy VII Kodaira , co oznacza $}$ że ​​mają Kodaira ${\ displaystyle -$ . Bogomołow , Li- Yau i Teleman udowodnili , że dowolna powierzchnia klasy VII o ${\textstyle b_{2}=0}$ jest powierzchnią Hopfa lub rozmaitością typu Inoue.

Te powierzchnie nie mają funkcji meromorficznych ani krzywych.

⁰ K. Hasegawa podaje listę wszystkich złożonych dwuwymiarowych rozmaitości; są to złożony torus , powierzchnia hipereliptyczna , powierzchnia Kodairy oraz powierzchnie Inoue S , S ⁺ i S ⁻ .

Powierzchnie Inoue są wyraźnie skonstruowane w następujący sposób.

typu S ⁰

Niech φ będzie macierzą całkowitą 3 × 3, z dwiema zespolonymi wartościami $gdzie$ i rzeczywistą wartością ${\ Displaystyle |\ alfa | ^ {2} c = 1}$ c > . Wtedy φ jest odwracalna $\ mathbb {Z} ^ {3}$ liczbach całkowitych i definiuje działanie grupy liczb całkowitych na ${\ Displaystyle$ . Niech ${\ Displaystyle \ Gamma: = \ mathbb {Z} ^ {3} \ rtimes \ mathbb {Z} .}$ Ta grupa jest kratą w rozwiązalnej grupie Liego

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} \ rtimes \ mathbb {R} = (\ mathbb {C} \ razy \ mathbb {R}) \ rtimes \ matematykabb {R} ,}$

$(\ mathbb {C} \ razy \ mathbb {$ na części do $R$ Displaystyle działając przez ${\ Displaystyle (z, r) \ mapsto (\ alfa ^ {t} z, c ^ {t} r).}$$)$ jako

Rozszerzamy tę akcję do do ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ razy \ mathbb {H} = \ mathbb {C} \ razy \ mathbb {R} \ razy \ mathbb {$ { > 0 $rtimes$ ustawiając , gdzie parametrem $} }$$\ mathbb$ -część ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} \ rtimes \ mathbb {R}}$ i działając trywialnie z czynnikiem na ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^{>0}}$ . $nazywa$ holomorficzne ${\ Displaystyle S ^ {0}.}$ a iloraz typu

⁰ Powierzchnia Inoue typu S jest określona przez wybór macierzy całkowitej φ , ograniczonej jak wyżej. Istnieje policzalna liczba takich powierzchni.

typu S ⁺

Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą i będzie grupą górnych macierzy trójkątnych ${\ Displaystyle \ Lambda _ {n}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 1&x&z/n\\0&1&y\\0&0&1\ koniec {bmatrix}}, \ qquad x, y, z \ w \ mathbb {Z}.}$

Iloraz jego środka C wynosi $\ mathbb {Z} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ Lambda _ {n}$ } Niech φ będzie automorfizmem ${2}}$ zakładamy, że φ działa na $}$${\ Displaystyle \ Lambda _ {n}/C = \ mathbb {Z$ jako macierz z dwiema dodatnimi rzeczywistymi wartościami własnymi a, b i ab = 1. Rozważmy grupę rozwiązywalną ${\ Displaystyle \ Gamma _ {n}: = \ Lambda _ {n} \ rtimes \ mathbb {Z}}$ z ${\ Displaystyle \ mathbb { Z} }$ działając na ${\ Displaystyle \ Lambda _ {n}}$ jako φ . Identyfikując grupę górnych trójkątnych macierzy za pomocą ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3},}$ otrzymujemy działanie na R $\ Displaystyle \ Gamma _ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} = \ mathbb {C} \ razy \ mathbb {R}.}$ Zdefiniuj działanie ${\ Displaystyle \ Gamma _ {n}}$ na ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ razy \ mathbb {H} = \ mathbb {C} \ razy \ mathbb {R} \ razy \ mathbb {R} ^ {> 0}} z$ Λ $\ displaystyle \Lambda _{n}}$ działając trywialnie na $-część$$R} ^ {> 0}}$ i działająca jako ${\ displaystyle v \ mapsto e ^ {t \ log b} v.} Ten sam argument, co w przypadku powierzchni$$,$ typu pokazuje że ta akcja jest holomorficzna. $\ mathbb {C} \ razy \ mathbb {H} / \ Gamma _ {n}}$ Displaystyle nazywa się powierzchnią typu Inoue ${\ Displaystyle S ^ {+}.}$

typu S ⁻

$S$ powierzchnie typu są zdefiniowane w taki sam sposób jak dla ⁺ , ale dwie wartości własne , b φ działające na ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2} }$ mają przeciwny znak i spełniają ab = −1. Ponieważ kwadrat takiego endomorfizmu definiuje powierzchnię Inoue typu S ⁺ , powierzchnia Inoue typu S ⁻ ma nierozgałęzione podwójne pokrycie typu S ⁺ .

Powierzchnie paraboliczne i hiperboliczne Inoue

Paraboliczne i hiperboliczne powierzchnie Inoue to powierzchnie Kodaira klasy VII zdefiniowane przez Iku Nakamurę w 1984 roku. Nie są one rozmaitościami. Powierzchnie te mają dodatnią drugą liczbę Bettiego. Mają kuliste skorupy i mogą zostać zdeformowane w wysadzoną powierzchnię Hopfa .

Powierzchnie paraboliczne Inoue zawierają cykl wymiernych krzywych z samoprzecięciem 0 i krzywą eliptyczną. Są szczególnym przypadkiem powierzchni Enokiego, które mają cykl wymiernych krzywych z zerowym samoprzecięciem, ale bez krzywej eliptycznej. Powierzchnie Half-Inoue zawierają cykl C krzywych wymiernych i są ilorazem hiperbolicznej powierzchni Inoue z dwoma cyklami krzywych wymiernych.

₀ Hiperboliczne powierzchnie Inoue to powierzchnie klasy VII z dwoma cyklami krzywych wymiernych. Powierzchnie paraboliczne i hiperboliczne to szczególne przypadki powierzchni minimalnych z globalnymi powłokami sferycznymi (GSS), zwanymi również powierzchniami Kato. Wszystkie te powierzchnie mogą być zbudowane za pomocą nieodwracalnych skurczów.