Powierzchnia Hopfa

W złożonej geometrii powierzchnia Hopfa jest zwartą złożoną powierzchnią otrzymaną jako iloraz złożonej przestrzeni wektorowej (z usuniętym zerem) ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2} \ setminus \ {0 \} }$ przez swobodne działanie grupy dyskretnej. Jeśli ta grupa to liczby całkowite, powierzchnia Hopfa nazywana jest pierwotną , w przeciwnym razie nazywana jest drugorzędną . (Niektórzy autorzy używają terminu „powierzchnia Hopfa” w znaczeniu „pierwotna powierzchnia Hopfa”.) Pierwszy przykład został znaleziony przez Heinz Hopf ( 1948 ), z dyskretną grupą izomorficzną z $;$ całkowitymi, z generatorem działającym na przez pomnożenie przez był to pierwszy przykład zwartej złożonej powierzchni bez metryki Kählera .

Wyższe wymiarowe analogi powierzchni Hopfa nazywane są rozmaitościami Hopfa .

Niezmienniki

Powierzchnie Hopfa są powierzchniami klasy VII , aw szczególności wszystkie mają $znikają$ Kodaira i wszystkie ich plurigenera Rodzaj geometryczny to 0. Grupa podstawowa ma normalną centralną nieskończoną cykliczną podgrupę o skończonym indeksie. Diament Hodge'a jest

0		0		0
		1
	0		1
	1		0
		1

W szczególności pierwsza liczba Bettiego to 1, a druga liczba Bettiego to 0. Odwrotnie Kunihiko Kodaira ( 1968 ) wykazał, że zwarta powierzchnia zespolona ze zniknięciem drugiej liczby Bettiego i której podstawowa grupa zawiera nieskończoną cykliczną podgrupę o skończonym indeksie jest powierzchnią Hopfa .

Podstawowe powierzchnie Hopfa

W toku klasyfikacji zwartych powierzchni złożonych Kodaira sklasyfikował pierwotne powierzchnie Hopfa.

Pierwotną powierzchnię Hopfa uzyskuje się jako

${\ Displaystyle H = {\ duży (} \ mathbb {C} ^ {2} \ setminus \ {0 \} {\ duży)} / \ gamma,}$

gdzie jest $}$ generowaną przez skrócenie wielomianu ${\ displaystyle \ gamma$ . Kodaira znalazł normalną postać dla ${\ displaystyle \ gamma}$ . W odpowiednich współrzędnych można zapisać jako. ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ Displaystyle (x, y) \ mapsto (\ alfa x + \ lambda y ^ {n}, \ beta y)}$

gdzie ${\ Displaystyle \ alfa, \ beta \ w \ mathbb {C}}$ są liczbami zespolonymi spełniającymi ${\ Displaystyle 0 <|\ alfa |\ równoważnik |\ beta | <1}$ i albo ${\ Displaystyle \ lambda = 0}$ albo ${\ Displaystyle \ alfa = \ beta ^ {n} }$ .

$y$ zawierają krzywą eliptyczną (obraz osi x ), a jeśli obraz osi jest drugą krzywą eliptyczną Gdy $\ Displaystyle \ lambda = 0} , powierzchnia Hopfa jest$$\ lambda = 0}$ przestrzenią włókien nad linią rzutową, jeśli dla pewnego dodatniego λ liczby całkowite m i n , z odwzorowaniem linii rzutowej podanej przez ${\ Displaystyle (x, y) \ mapsto x ^ {m} y ^ {- n}}$ poza tym jedynymi krzywymi są dwa obrazy osi.

Grupa Picarda dowolnej pierwotnej powierzchni Hopfa jest izomorficzna z niezerowymi liczbami zespolonymi do $^ {*}}$ .

Kodaira (1966b) udowodnił, że złożona powierzchnia jest dyfeomorficzna względem $tylko$ gdy jest to podstawowa powierzchnia Hopfa.

Wtórne powierzchnie Hopfa

Każda drugorzędna powierzchnia Hopfa ma skończone nierozgałęzione pokrycie, które jest pierwotną powierzchnią Hopfa. Równoważnie, jego grupa podstawowa ma w środku podgrupę o skończonym indeksie, która jest izomorficzna z liczbami całkowitymi. Masahido Kato ( 1975 ) sklasyfikował je, znajdując skończone grupy działające bez stałych punktów na pierwotnych powierzchniach Hopfa.

Wiele przykładów drugorzędnych powierzchni Hopfa można skonstruować z przestrzenią pod spodem, która jest iloczynem sferycznej przestrzeni i koła.

•    Barth, Wilk P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., tom. 4, Springer-Verlag, Berlin, doi : 10.1007/978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3 , MR 2030225
•   Hopf, Heinz (1948), „Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten”, Studia i eseje przedstawione R. Courantowi w jego 60. urodziny, 8 stycznia 1948 r. , Interscience Publishers, Inc., Nowy Jork, s. 167–185, MR 0023054
•    Kato, Masahide (1975), „Topologia powierzchni Hopfa”, Journal of the Mathematical Society of Japan , 27 (2): 222–238, doi : 10.2969/jmsj/02720222 , ISSN 0025-5645 , MR 0402128   Kato, Masahide ( 1989), „Erratum do: „Topologia powierzchni Hopfa” , Journal of the Mathematical Society of Japan , 41 (1): 173–174, doi : 10.2969/jmsj/04110173 , ISSN 0025-5645 ,   MR 0972171
•     Kodaira, Kunihiko (1966), „O strukturze zwartych, złożonych powierzchni analitycznych. II”, American Journal of Mathematics , The Johns Hopkins University Press, 88 (3): 682–721, doi : 10.2307/2373150 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373150 , MR 0205280
•     Kodaira, Kunihiko (1968), „O strukturze zwartych, złożonych powierzchni analitycznych. III”, American Journal of Mathematics , The Johns Hopkins University Press, 90 (1): 55–83, doi : 10.2307/2373426 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373426 , MR 0228019
•      Kodaira, Kunihiko (1966b), „Struktury złożone na S ¹ × S ³ ” , Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 55 (2): 240–243, doi : 10.1073/pnas.55.2.240 , ISSN 0027-8424 , MR 0196769 , PMC 224129 , PMID 16591329
•    Matumoto, Takao; Nakagawa, Noriaki (2000), „Wyraźny opis powierzchni Hopfa i ich grup automorfizmów” , Osaka Journal of Mathematics , 37 (2): 417–424, ISSN 0030-6126 , MR 1772841
• Ornea, Liviu (2001) [1994], „Rozmaitość Hopfa” , Encyklopedia matematyki , EMS Press