Racjonalna powierzchnia

W geometrii algebraicznej , gałęzi matematyki , powierzchnia wymierna jest powierzchnią biracjonalnie równoważną płaszczyźnie rzutowej , czyli innymi słowy wymierną rozmaitością wymiaru drugiego. Powierzchnie racjonalne są najprostszymi z około 10 klas powierzchni w klasyfikacji powierzchni złożonych Enriquesa-Kodairy i były pierwszymi zbadanymi powierzchniami.

Struktura

Każdą nieosobliwą powierzchnię wymierną można uzyskać przez wielokrotne powiększanie minimalnej powierzchni wymiernej . Minimalne powierzchnie wymierne to płaszczyzna rzutowa i powierzchnie Hirzebrucha Σ _r dla r = 0 lub r ≥ 2.

Niezmienniki: wszystkie plurigenera są równe 0, a podstawowa grupa jest trywialna.

Diament Hodge'a :

	0		0
	0		0
		1
0		1+ n		0
		1

gdzie n wynosi 0 dla płaszczyzny rzutowej, a 1 dla powierzchni Hirzebrucha i większe niż 1 dla innych powierzchni wymiernych.

Grupa Picarda jest nieparzystą siecią jednomodułową I _{1, n} , z wyjątkiem powierzchni Hirzebrucha Σ _{2 m} , gdy jest to parzysta sieć jednomodułowa II _1,1 .

Twierdzenie Castelnuovo

Guido Castelnuovo udowodnił, że każda złożona powierzchnia, na której q i P ₂ (nieregularność i drugi plurirodzaj) znikają, jest racjonalna. Jest to używane w klasyfikacji Enriquesa – Kodairy do identyfikacji racjonalnych powierzchni. Zariski (1958) udowodnił, że twierdzenie Castelnuovo dotyczy również pól o charakterystyce dodatniej.

Twierdzenie Castelnuovo implikuje również, że każda niewymierna powierzchnia zespolona jest wymierna, ponieważ jeśli powierzchnia zespolona jest niewymierna, to jej nieregularność i plurigenera są ograniczone nieregularnościami powierzchni wymiernej, a zatem wszystkie są równe 0, więc powierzchnia jest wymierna. Większość niewymiernych złożonych odmian o wymiarze 3 lub większym nie jest racjonalna. W charakterystyce p > 0 Zański (1958) znalazł przykłady powierzchni niewymiernych ( powierzchnie Zaryńskiego ), które nie są wymierne.

Kiedyś nie było jasne, czy złożona powierzchnia, na której oba q i P ₁ znikają, jest racjonalna, ale kontrprzykład ( powierzchnia Enriquesa ) został znaleziony przez Federigo Enriquesa .

Przykłady powierzchni wymiernych

• Powierzchnie Bordigi : osadzenie płaszczyzny rzutowej pod kątem 6 stopni w P ⁴ określone przez quartics przez 10 punktów w pozycji ogólnej.
• Powierzchnie Châtelet
• Powierzchnie brukowe
• Powierzchnie sześcienne Niepojedyncze powierzchnie sześcienne są izomorficzne z płaszczyzną rzutową powiększoną w 6 punktach i są powierzchniami Fano. Nazwane przykłady obejmują sześcienną Fermata , powierzchnię sześcienną Cayleya i powierzchnię ukośną Clebscha .
• powierzchnie del Pezzo (powierzchnie Fano)
• Powierzchnia Ennepera
• Powierzchnie Hirzebrucha Σ _rz
• ₀ P ¹ × P ¹ Iloczynem dwóch linii rzutowych jest powierzchnia Hirzebrucha Σ . Jest to jedyna powierzchnia z dwoma różnymi liniami.
• Płaszczyzna rzutowa
• Powierzchnia Segre Przecięcie dwóch kwadryk, izomorficzne z płaszczyzną rzutową wysadzoną w 5 punktach.
• Powierzchnia Steinera Powierzchnia w P ⁴ z osobliwościami, która jest dwuracjonalna względem płaszczyzny rzutowej.
• Białe powierzchnie , uogólnienie powierzchni Bordiga.
• Powierzchnia Veronesego Osadzenie płaszczyzny rzutowej w P ⁵ .

Zobacz też

• Lista powierzchni algebraicznych

•    Barth, Wilk P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., tom. 4, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-00832-3 , MR 2030225
•    Beauville, Arnaud (1996), Złożone powierzchnie algebraiczne , London Mathematical Society Student Texts, tom. 34 (wyd. 2), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-49510-3 , MR 1406314
•    Zariski, Oscar (1958), „O kryterium racjonalności Castelnuovo p _a = P ₂ = 0 powierzchni algebraicznej”, Illinois Journal of Mathematics , 2 : 303–315, ISSN 0019-2082 , MR 0099990

Linki zewnętrzne

• Le Superficie Algebriche : Narzędzie do wizualnego badania geografii (minimalnych) złożonych algebraicznych gładkich powierzchni