powierzchnia rzymska

Animacja powierzchni rzymskiej

W matematyce powierzchnia rzymska lub powierzchnia Steinera to samoprzecinające się odwzorowanie rzeczywistej płaszczyzny rzutowej na trójwymiarową przestrzeń o niezwykle wysokim stopniu symetrii . To odwzorowanie nie jest zanurzeniem płaszczyzny rzutowej; jednak liczba wynikająca z usunięcia sześciu punktów osobliwych to jeden. Jego nazwa powstała, ponieważ został odkryty przez Jakoba Steinera podczas jego pobytu w Rzymie w 1844 roku.

Najprostszą konstrukcją jest obraz kuli wyśrodkowanej w początku pod mapą ${\ Displaystyle f (x, y, z) = (yz, xz, xy).}$ Daje to niejawną formułę

${\ Displaystyle x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {2} z ^ {2} + z ^ {2}x^{2}-r^{2}xyz=0.\,}$

Ponadto, biorąc parametryzację kuli pod względem długości geograficznej ( θ ) i szerokości geograficznej ( φ ), daje równania parametryczne dla powierzchni rzymskiej w następujący sposób:

$r ^ {2} \ sałata \ teta \ sałata \ varphi \ sin \ varphi}$

${ \displaystyle y=r^{2}\sin \theta \cos \varphi \sin \varphi }$

${\ Displaystyle z = r ^ {2} \ cos \ teta \ sin \ teta \ cos ^ {2} \ varphi}$

Początek jest punktem potrójnym, a każda z płaszczyzn xy -, yz - i xz - jest tam styczna do powierzchni. Inne miejsca samoprzecięcia to podwójne punkty, definiujące segmenty wzdłuż każdej osi współrzędnych, które kończą się sześcioma punktami zaciskania. Cała powierzchnia ma symetrię czworościenną . Jest to szczególny typ (nazywany typem 1) powierzchni Steinera, czyli trójwymiarowy liniowy rzut powierzchni Veronese'a .

Wyprowadzenie formuły ukrytej

Dla uproszczenia rozważymy tylko przypadek r = 1. Dana jest sfera określona punktami ( x , y , z ) taka, że

${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1, \,}$

stosujemy do tych punktów transformację T zdefiniowaną przez ${\ Displaystyle T (x, y, z) = (yz,zx,xy)=(U,V,W),\,}$ powiedzmy.

Ale potem mamy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} U ^ {2} V ^ {2} +V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}&=z^{2}x^{2}y^{4}+x^{2}y^{2} z^{4}+y^{2}z^{2}x^{4}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{2}y^{ 2}z^{2})\\[8pt]&=(1)(x^{2}y^{2}z^{2})=(xy)(yz)(zx)=UVW,\end {wyrównany}}}$

i tak ${\ Displaystyle U ^ {2} V ^ {2} + V ^ {2} W ^ {2} + W ^ {2} }U^{2}-UVW=0\,}$ według potrzeb.

I odwrotnie , załóżmy, że dane nam są ( U , V , W ) satysfakcjonujące

(*) ${\ Displaystyle U ^ {2} V ^ {2} + V ^ {2} W ^ {2} + W ^{2}U^{2}-UVW=0.\,}$

Udowodnimy, że istnieje ( x , y , z ) takie, że

(**) ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1, \,}$

dla których ${\ Displaystyle U = xy, V = yz, W = zx, \,}$

z jednym wyjątkiem: W przypadku 3.b. poniżej pokazujemy, że nie można tego udowodnić.

1. W przypadku, gdy żadne z U , V , W nie jest równe 0, możemy ustawić

${\ Displaystyle x = {\ sqrt {\ Frac {WU} {V}}}, \ y = {\ sqrt {\ Frac {UV} {W}}}, \ z = {\ sqrt {\ Frac {VW} {U}}}.\,}$

(Zauważ, że (*) gwarantuje, że albo wszystkie trzy z U, V, W są dodatnie, albo dokładnie dwa są ujemne. Więc te pierwiastki kwadratowe są liczbami dodatnimi.)

Łatwo jest użyć (*), aby potwierdzić, że (**) zachodzi dla x , y , z zdefiniowanych w ten sposób.

2. Załóżmy, że W wynosi 0. Z (*) implikuje to, że ${\ Displaystyle U ^ {2} V ^ {2} = 0 \,}$

a zatem co najmniej jeden z U , V również musi być równy 0. To pokazuje, że nie jest możliwe, aby dokładnie jeden z U , V , W wynosił 0.

3. Załóżmy, że dokładnie dwa z U , V , W są równe 0. Bez utraty ogólności zakładamy

(***) ${\ Displaystyle U \ neq 0, V = W = 0. \,}$

Wynika z tego, że ${\ displaystyle z = 0, \,}$

(ponieważ ${\ Displaystyle Z \ neq 0, \,}$ oznacza, że ${\ Displaystyle x = y = 0, \,}$ i stąd ${\ Displaystyle U = 0, \,}$ sprzeczne (***).)

A. W podprzypadku gdzie

${\ Displaystyle | U | \ równoważnik {\ Frac {1} {2}},}$

jeśli wyznaczymy x i y przez

${\ Displaystyle x ^ {2} = {\ Frac {1 + {\ sqrt {1-4U ^ {2}}}} {2}}}$

i ${\ Displaystyle y ^ {2} = {\ Frac {1- {\ sqrt {1-4U ^ {2}}}} {2}}}$

zapewnia to, że (*) zachodzi. Łatwo sprawdzić, że ${\ Displaystyle x ^ {2} y ^ {2} = U ^ {2}, \,}$

a zatem odpowiedni wybór znaków x i y zagwarantuje ${\ displaystyle xy = U. \,}$

Ponieważ również ${\ Displaystyle yz = 0 = V {\ tekst {i}} zx = 0 = W, \,}$

pokazuje to, że ten podprzypadek prowadzi do pożądanej odwrotności.

B. W tym pozostałym podprzypadku przypadku 3. mamy ${\ Displaystyle | U|> {\ Frac {1} {2}}.}$

ponieważ ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1, \,}$

łatwo sprawdzić, że ${\ Displaystyle xy \ równoważnik {\ Frac {1} {2}},}$

a więc w tym przypadku, gdzie ${\ Displaystyle | U |> 1/2, \ V = W = 0$

nie ma ( x , y , z ) spełniającego ${\ Displaystyle U = xy, \ V = yz, \ W = zx.}$

Stąd rozwiązania ( U , 0, 0) równania (*) z ${\ Displaystyle | U|> {\ Frac {1} {2}}}$

i podobnie (0, V , 0) z ${\ Displaystyle | V|> {\ Frac {1} {2}}}$

i (0, 0, W ) z ${\ Displaystyle | W|> {\ Frac {1} {2}}}$

(z których każdy jest niezwartą częścią osi współrzędnych, w dwóch częściach) nie odpowiadają żadnemu punktowi na powierzchni rzymskiej .

4. Jeśli ( U , V , W ) jest punktem (0, 0, 0), to jeśli dowolne dwa z x , y , z są równe zeru, a trzeci ma wartość bezwzględną 1, to oczywiście ${\ Displaystyle (xy, yz, zx) = (0,0, 0) = (U, V, W) \,}$ według uznania.

Dotyczy to wszystkich możliwych przypadków.

Wyprowadzanie równań parametrycznych

Niech kula ma promień r , długość φ i szerokość θ . Wtedy jego równania parametryczne są

${\ Displaystyle x = r \, \ cos \ teta \, \ cos \ phi,}$

${\ Displaystyle y = r \, \ cos \theta \,\sin \phi ,}$

${\ displaystyle z = r \, \ sin \ teta.}$

Następnie zastosowanie transformacji T do wszystkich punktów na tej kuli daje wyniki

${\ Displaystyle x '= yz = r ^ {2} \, \ cos \ teta \, \ sin \ teta \, \ sin \ phi, }$

${\ Displaystyle y '= zx = r ^ {2} \, \ cos \ teta \, \ sin \ teta \, \ cos \ phi ,}$

${\ Displaystyle Z' = xy = r ^ {2} \, \ sałata ^ {2} \ teta \, \ sałata \ fi \, \ grzech \ fi,}$

które są punktami na powierzchni rzymskiej. Niech φ mieści się w zakresie od 0 do 2π i niech θ mieści się w zakresie od 0 do π/2 .

Stosunek do rzeczywistej płaszczyzny rzutowej

Kula przed transformacją nie jest homeomorficzna względem rzeczywistej płaszczyzny rzutowej RP ² . Ale sfera wyśrodkowana w początku układu współrzędnych ma tę właściwość, że jeśli punkt (x,y,z) należy do sfery, to także punkt na antypodach (-x,-y,-z) i te dwa punkty są różne: leżą po przeciwnych stronach środka kuli.

Transformacja T przekształca oba te antypody w ten sam punkt,

${\ Displaystyle T: (x, y, z) \ strzałka w prawo (yz, zx, xy)}$

${\ Displaystyle T: (-x, -y, -z) \ strzałka w prawo ((-y) (-z), (-z) (-x), (-x) (-y)) = (yz, zx ,xy).}$

Ponieważ jest to prawdą dla wszystkich punktów S ² , to jasne jest, że powierzchnia rzymska jest ciągłym obrazem „sfery modulo antypodów”. Ponieważ niektóre różne pary antypodów znajdują się w identycznych punktach na powierzchni rzymskiej, nie jest ona homeomorficzna z RP ² , ale zamiast tego jest ilorazem rzeczywistej płaszczyzny rzutowej RP ² = S ² / (x~-x) . Ponadto mapa T (powyżej) od S ² do tego ilorazu ma tę szczególną właściwość, że jest lokalnie iniekcyjna z dala od sześciu par punktów na antypodach. Albo z ^RP2 wynikowa mapa sprawia, że ​​​​jest to zanurzenie RP ² — minus sześć punktów — w 3-przestrzeni.

(Wcześniej stwierdzono, że powierzchnia rzymska jest homeomorficzna z RP ² , ale było to błędne. Następnie stwierdzono, że powierzchnia rzymska jest zanurzeniem RP ² w R ³ , ale to również było błędne.)

Struktura powierzchni rzymskiej

Rzymska powierzchnia ma cztery bulwiaste „płatki”, każdy w innym rogu czworościanu.

Powierzchnię rzymską można zbudować, łącząc ze sobą trzy hiperboliczne paraboloidy , a następnie wygładzając krawędzie w razie potrzeby, aby pasowała do pożądanego kształtu (np. parametryzacja).

Niech będą te trzy paraboloidy hiperboliczne:

• x = yz ,
• y = zx ,
• z = xy .

Te trzy hiperboliczne paraboloidy przecinają się zewnętrznie wzdłuż sześciu krawędzi czworościanu i wewnętrznie wzdłuż trzech osi. Wewnętrzne przecięcia są loci punktów podwójnych. Trzy loci punktów podwójnych: x = 0, y = 0 i z = 0 przecinają się w punkcie potrójnym w początku układu współrzędnych .

Na przykład, biorąc pod uwagę x = yz i y = zx , druga paraboloida jest równoważna x = y / z . Następnie

${\ Displaystyle yz = {y \ ponad z}}$

i albo y = 0, albo z ² = 1, tak że z = ±1. Ich dwa zewnętrzne przecięcia są

• x = y , z = 1;
• x = - y , z = -1.

Podobnie inne zewnętrzne skrzyżowania

• x = z , y = 1;
• x = - z , y = -1;
• y = z , x = 1;
• y = - z , x = -1.

Zobaczmy, jak elementy układają się w całość. Połącz paraboloidy y = xz i x = yz . Wynik pokazano na rysunku 1.

Rysunek 1.

Paraboloida y = xz jest pokazana na niebiesko i pomarańczowo. Paraboloida x = yz jest pokazana w kolorze cyjan i fioletowym. Na obrazie widać, jak paraboloidy przecinają się wzdłuż z = 0 . Jeśli paraboloidy są rozciągnięte, powinny być również widoczne jako przecinające się wzdłuż linii

• z = 1, y = x ;
• z = −1, y = − x .

Dwie paraboloidy razem wyglądają jak para storczyków połączonych plecami do siebie.

Teraz przeprowadź przez nie trzecią paraboloidę hiperboliczną, z = xy . Wynik pokazano na rysunku 2.

Rysunek 2.

W kierunkach zachodnio-południowo-zachodnim i wschodnio-północno-wschodnim na rysunku 2 znajduje się para otworów. Otwory te są płatami i należy je zamknąć. Gdy otwory są zamknięte, wynikiem jest powierzchnia rzymska pokazana na rysunku 3.

Rysunek 3. Powierzchnia rzymska.

Na rycinie 3 widać parę płatów w kierunkach zachodnim i wschodnim. Kolejna para płatków jest ukryta pod trzecią ( z = xy ) paraboloidą i leży w kierunku północnym i południowym.

Jeśli trzy przecinające się paraboloidy hiperboliczne zostaną narysowane na tyle daleko, że przecinają się wzdłuż krawędzi czworościanu, wynik jest taki, jak pokazano na rysunku 4.

Rysunek 4.

Jeden z płatów jest widoczny z przodu — od przodu — na rycinie 4. Płat może być postrzegany jako jeden z czterech rogów czworościanu.

Jeśli ciągła powierzchnia na rycinie 4 ma zaokrąglone ostre krawędzie — wygładzone — to wynikiem jest powierzchnia rzymska na rycinie 5.

Jeden z płatów rzymskiej powierzchni jest widoczny z przodu na rycinie 5, a jego bulwiasty – przypominający balon – kształt jest widoczny.

Jeśli powierzchnia na rysunku 5 zostanie obrócona o 180 stopni, a następnie odwrócona do góry nogami, wynik będzie taki, jak pokazano na rysunku 6.

Ryc. 6. Powierzchnia rzymska.

Rycina 6 przedstawia trzy płaty widziane z boku. Pomiędzy każdą parą płatów znajduje się zbiór podwójnych punktów odpowiadający osi współrzędnych. Trzy loci przecinają się w punkcie potrójnym na początku. Czwarty płat jest ukryty i wskazuje kierunek dokładnie przeciwny do widza. Powierzchnia rzymska pokazana na górze tego artykułu ma również trzy płaty w widoku z boku.

Jednostronność

Powierzchnia rzymska jest nieorientowana , czyli jednostronna. To nie jest całkiem oczywiste. Aby to zobaczyć, spójrz ponownie na rysunek 3.

Wyobraź sobie mrówkę na szczycie „trzeciej” paraboloidy hiperbolicznej , z = xy . Niech ta mrówka przesunie się na północ. Poruszając się, przejdzie przez pozostałe dwie paraboloidy, jak duch przechodzący przez ścianę. Te inne paraboloidy tylko wydają się przeszkodami ze względu na samoprzecinający się charakter zanurzenia. Niech mrówka zignoruje wszystkie podwójne i potrójne punkty i przejdzie przez nie. Więc mrówka przesuwa się na północ i, że tak powiem, spada z krawędzi świata. Znajduje się teraz na północnym płacie, ukryta pod trzecią paraboloidą z ryciny 3. Mrówka stoi do góry nogami, na „zewnętrznej” powierzchni rzymskiej.

Niech mrówka przesunie się na południowy zachód. Będzie wspinać się po zboczu (do góry nogami), aż znajdzie się „wewnątrz” płata zachodniego. Teraz pozwól mrówce poruszać się w kierunku południowo-wschodnim wzdłuż wewnętrznej strony płata zachodniego w kierunku z = 0 , zawsze powyżej płaszczyzny xy . Gdy tylko przejdzie przez z = 0, mrówka znajdzie się „na zewnątrz” płata wschodniego, stojąc prawą stroną do góry.

Następnie pozwól mu przesunąć się na północ, przez "wzgórze", a następnie w kierunku północno-zachodnim, aby zaczął zjeżdżać w dół w kierunku osi x = 0 . Gdy tylko mrówka przekroczy tę oś, znajdzie się „wewnątrz” płata północnego, stojąc prawą stroną do góry. Teraz pozwól mrówce iść na północ. Będzie wspinać się po ścianie, a następnie wzdłuż „dachu” płata północnego. Mrówka jest z powrotem na trzeciej paraboloidzie hiperbolicznej, ale tym razem pod nią i stoi do góry nogami. (Porównaj z butelką Kleina ).

Podwójne, potrójne i szczypanie punktów

Powierzchnia rzymska ma cztery „płaty”. Granice każdego płata to zestaw trzech linii podwójnych punktów. Pomiędzy każdą parą płatków znajduje się linia podwójnych punktów. Powierzchnia ma w sumie trzy linie podwójnych punktów, które leżą (w podanej wcześniej parametryzacji) na osiach współrzędnych. Trzy linie punktów podwójnych przecinają się w punkcie potrójnym, który leży na początku układu współrzędnych. Punkt potrójny przecina linie podwójnych punktów na parę półprostych, a każda półprosta leży między parą płatków. Z poprzednich stwierdzeń można by oczekiwać, że płatków może być do ośmiu, po jednym w każdej oktancie przestrzeni podzielonej przez płaszczyzny współrzędnych. Ale płaty zajmują naprzemienne oktanty: cztery oktanty są puste, a cztery są zajęte przez płaty.

Gdyby powierzchnia rzymska została wpisana w czworościan o najmniejszej możliwej objętości, okazałoby się, że każda krawędź czworościanu jest styczna do powierzchni rzymskiej w punkcie i że każdy z tych sześciu punktów jest osobliwością Whitneya . Wszystkie te osobliwości lub punkty zaciskania leżą na krawędziach trzech linii podwójnych punktów i są zdefiniowane przez tę właściwość: że w osobliwości nie ma płaszczyzny stycznej do żadnej powierzchni.

Zobacz też

• Powierzchnia chłopca – zanurzenie płaszczyzny rzutowej bez krzyżowych czapek.
• Tetrahemihexahedron – wielościan bardzo podobny do powierzchni rzymskiej.

Ogólne odniesienia

• A. Coffman, A. Schwartz i C. Stanton: algebra i geometria Steinera i inne kwadratowo parametryzowalne powierzchnie . W Computer Aided Geometric Design (3) 13 (kwiecień 1996), s. 257-286
•   Bert Jüttler, Ragni Piene: Modelowanie geometryczne i geometria algebraiczna . Springer 2008, ISBN 978-3-540-72184-0 , s. 30 ( ograniczona kopia online , s. 30, w Google Books )

Linki zewnętrzne

• A. Coffman, „ Powierzchnie Steinera ”
• Weisstein, Eric W. „Rzymska powierzchnia” . MathWorld .
• Powierzchnie rzymskie w National Curve Bank (strona internetowa California State University)
• Ashay Dharwadker, Heptahedron and Roman Surface, Elektroniczne modele geometrii, 2004.