Dekompozycja uchwytu

W matematyce uchwyt rozkładu m - rozmaitości M jest sumą

gdzie każdy uzyskiwany z { M_ dołączenie . Dekompozycja uchwytu jest tym, czym dekompozycja CW jest dla przestrzeni topologicznej - pod wieloma względami celem dekompozycji uchwytu jest posiadanie języka analogicznego do CW-zespołów, ale przystosowanego do świata gładkich rozmaitości . Zatem i jest gładkim analogiem i -komórka. Rozkłady uchwytów rozmaitości pojawiają się naturalnie dzięki teorii Morse'a . Modyfikacja struktur rękojeści jest ściśle związana z teorią Cerfa .
Kula 3 z dołączonymi trzema uchwytami 1.

Motywacja

0 Rozważ standardową dekompozycję CW sfery n , z jedną komórką zerową i pojedynczą komórką n . Z punktu widzenia rozmaitości gładkich jest to zdegenerowany rozkład kuli, ponieważ nie ma naturalnego sposobu, aby zobaczyć gładką strukturę tego rozkładu - w gładka struktura w pobliżu komórki - zależy od zachowania charakterystycznej mapy w sąsiedztwie .

Problem z dekompozycjami CW polega na tym, że dołączane mapy dla komórek nie żyją w świecie gładkich map między rozmaitościami. Podstawowym spostrzeżeniem pozwalającym naprawić ten defekt jest twierdzenie o sąsiedztwie rurowym . Biorąc pod uwagę punkt p w rozmaitości M , jego zamknięte cylindryczne sąsiedztwo z M rozłączny związek i sklejone wzdłuż ich wspólnej granicy. Istotną kwestią jest tu to, że mapa klejenia jest dyfeomorfizmem. gładki osadzony łuk w dyfeomorficzne do . To pozwala nam zapisać jako połączenie trzech rozmaitości, sklejonych wzdłuż części ich granic: 1) 2) i 3) dopełnienie otwartego cylindrycznego sąsiedztwa łuku w . Zauważ, że wszystkie klejenia są mapami gładkimi - w szczególności, gdy sklejamy relację równoważności do generowany przez osadzenie w , czyli { } gładkie według twierdzenia o sąsiedztwie rurowym .

Dekompozycje uchwytów są wynalazkiem Stephena Smale'a . W jego oryginalnym sformułowaniu proces mocowania j -uchwytu do m -rozmaitości M zakłada, że ​​​​ma się gładkie osadzenie . Niech . Kolektor (słownie, M połączenie a j -uchwyt wzdłuż f ) odnosi się do rozłącznego związku i z identyfikacją z jego obrazem w , tj.

gdzie relacja równoważności generowana przez dla .

0 Mówi się, że rozmaitość N jest otrzymywana z M przez dołączenie j -uchwytów, jeśli suma M ze skończoną liczbą j -uchwytów jest dyfeomorficzna z N . Definicja rozkładu uchwytu jest zatem taka, jak we wstępie. Zatem rozmaitość ma rozkład uchwytów tylko z -uchwytami, jeśli jest dyfeomorficzny do rozłącznego związku kul. Spójna rozmaitość zawierająca uchwyty tylko dwóch typów (tzn.: 0-uchwyty i j -uchwyty dla pewnego stałego j ) nazywana jest handlebody .

Terminologia

Podczas tworzenia związku M za j -uchwyt

jest znany jako sfera mocująca .

jest czasami nazywany obramowaniem dołączanej kuli, ponieważ daje trywializację jej normalnej wiązki .

to sfera pasa uchwytu w .

Rozmaitość uzyskana przez dołączenie uchwytów sol dysku to (m, k) rodzaju g -handlebody

Prezentacje kobordyzmu

Prezentacja kobordyzmu kobordyzmu W gdzie _

gdzie M jest m -wymiarowe, W jest m+1 -wymiarowe, jest dyfeomorficzne do i uzyskuje się z { przez -uchwyty. Podczas gdy dekompozycje uchwytów są dla rozmaitości analogiczne do tego, czym dekompozycje komórek są dla przestrzeni topologicznych, to prezentacje kobordyzmów są dla rozmaitości z brzegiem tym, czym dla par przestrzeni są względne dekompozycje komórek.

Teoretyczny punkt widzenia Morse'a

Biorąc funkcję Morse'a zwartej rozmaitości bez granic że punkty krytyczne , z f spełnia i pod warunkiem

wtedy dla wszystkich jot , jest dyfeomorficzny do gdzie ja ( j ) jest indeksem punktu krytycznego . Indeks I ( j ) odnosi się do wymiaru maksymalnej podprzestrzeni przestrzeni stycznej, gdzie Hesja jest określona. }

Pod warunkiem, że indeksy spełniają to rozkład uchwytu M , ponadto każda rozmaitość ma takie funkcje Morse'a, więc mają dekompozycje uchwytów. uwagę kobordyzm z i funkcja we wnętrzu i stała brzeg i spełniając właściwość rosnącego indeksu, następuje indukowana prezentacja uchwytu kobordyzmu W .

Kiedy f jest funkcją Morse'a na M , -f jest również funkcją Morse'a. Odpowiednia dekompozycja/prezentacja uchwytu nazywana jest dekompozycją podwójną .

Niektóre główne twierdzenia i obserwacje

  • 0 Rozszczepienie Heegaarda zamkniętej , orientowalnej 3-rozmaitości jest rozkładem 3 -rozmaitości na połączenie dwóch (3,1) -ciał wzdłuż ich wspólnej granicy, zwanej powierzchnią podziału Heegaarda. Rozszczepienia Heegaarda powstają dla 3- rozmaitości na kilka naturalnych sposobów: biorąc pod uwagę rozkład uchwytu 3-rozmaitości, połączenie uchwytów i 1 jest ciałem (3,1) , a połączenie uchwytów 3 i 2 jest również (3,1) -handlebody (z punktu widzenia dekompozycji dualnej), a więc rozszczepienie Heegaarda. Jeśli 3- rozmaitość ma triangulację T , następuje indukowane rozszczepienie Heegaarda, w którym pierwszy (3,1) -rękojeść jest regularnym sąsiedztwem 1 -szkieletu , a drugi (3,1) -handlebody jest regularnym sąsiedztwem podwójnego 1 -szkieletu .
  • Podczas mocowania dwóch uchwytów kolejno to aby zmienić kolejność dołączania, pod warunkiem, jest dyfeomorficzna z rozmaitością postaci dla odpowiedniego załączenia map.
  • Granica jest dyfeomorficzna do wzdłuż obramowanej kuli . Jest to główny związek między chirurgią , uchwytami i funkcjami Morse'a.
  • W konsekwencji m - rozmaitość M jest granicą m + 1 - rozmaitość W wtedy i tylko wtedy, gdy M można uzyskać z operacji na zbiorze linków w ramkach w . Na przykład wiadomo, że każda 3 -rozmaitość ogranicza 4 -rozmaitość (odpowiednio podobnie zorientowane i spinowe 3 rozmaitości są związane odpowiednio zorientowane i spinowe 4 rozmaitości) z powodu Praca René Thoma na temat kobordyzmu . Tak więc każdy 3-rozmaitość można uzyskać poprzez operację na połączonych ramkach w 3 -sferze. W przypadku zorientowanym konwencjonalne jest redukowanie tego łącza w ramce do osadzania w ramce rozłącznej unii okręgów.
  • Twierdzenie o kobordyzmie H jest udowodnione przez uproszczenie dekompozycji uchwytów rozmaitości gładkich.

Zobacz też

Notatki

Ogólne odniesienia

  • A. Kosiński, Rozmaitości różniczkowe tom 138 Matematyka czysta i stosowana, Academic Press (1992).
  •   Robert Gompf i Andras Stipsicz, 4-Rozmaitości i Kirby Rachunek , (1999) (tom 20 w Graduate Studies in Mathematics ), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-0994-6