Teoria Cerfa

W matematyce , na styku teorii osobliwości i topologii różniczkowej , teoria Cerf jest badaniem rodzin gładkich funkcji o wartościach rzeczywistych

${\ Displaystyle f \ dwukropek M \ do \ mathbb {R}}$

na gładkiej rozmaitości $.$ ich osobliwości rodzajowe i topologia podprzestrzeni, które te osobliwości definiują jako podprzestrzenie przestrzeni funkcyjnej Teoria została nazwana na cześć Jeana Cerfa , który zainicjował ją pod koniec lat 60.

Przykład

Marston Morse $,$ pod warunkiem, że jest $każdą$ płynną funkcję przybliżyć funkcją Morse'a Zatem z wielu powodów można zastąpić dowolne funkcje $Morse'a$ .

W następnym kroku można by zapytać: „jeśli masz jednoparametrową rodzinę funkcji, które zaczynają się i kończą na funkcjach Morse'a, czy możesz założyć, że cała rodzina jest Morse'a?” Ogólnie rzecz biorąc, odpowiedź brzmi: nie. Rozważmy na przykład jednoparametrową rodzinę funkcji podaną przez M $\ Displaystyle M = \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle f_ {t} (x) = (1/3) x ^ {3} -tx.}$

W chwili $funkcja$$ma$ punktów krytycznych, ale w chwili punktami krytycznymi $w$ .

Cerf wykazał, że jednoparametrową rodzinę funkcji między dwiema funkcjami Morse'a można przybliżyć taką, która jest Morse'em w ogóle, ale skończenie wiele razy zdegenerowanych. Degeneracje obejmują narodziny / śmierć przejścia punktów krytycznych, jak w powyższym przykładzie, gdy w punkcie krytycznym indeks 0 i indeks 1 są tworzone wraz ze $t$ = $displaystyle t} .$

Rozwarstwienie nieskończenie wymiarowej przestrzeni

Wracając do ogólnego przypadku, w którym jest zwartą rozmaitością, niech $Morse} (M)}$$Displaystyle \ operatorname$ oznacza przestrzeń funkcji Morse'a na ${\ displaystyle M}$ i M ${\ Displaystyle \ operatorname {Func} (M)}$ przestrzeń gładkich funkcji o wartościach rzeczywistych na ${\ Displaystyle M}$ . Morse udowodnił, że ${\ Displaystyle \ operatorname {Morse} (M) \ podzbiór \ operatorname {Func} (M)}$ jest otwartym i gęstym podzbiorem w do $\ Displaystyle C ^{\infty}}$ topologia.

Dla celów intuicji posłużę się analogią. Pomyśl o funkcjach $istnieje$ jako o górnej warstwie otwartej w warstwie nie twierdzimy , że taka warstwa istnieje, ale załóżmy, Zauważ, że w przestrzeniach warstwowych warstwa otwarta w kowymiarze 0 jest otwarta i gęsta. Dla celów notacji odwróć konwencje indeksowania warstw w przestrzeni warstwowej i indeksuj warstwy otwarte nie według ich wymiaru, ale według ich współwymiaru. $Jest$$,$ ponieważ nieskończenie wymiarowy, jeśli jest zbiorem Z założenia otwarta współwymiarowa warstwa 0 ${\ Displaystyle \ operatorname {Func} (M)}$ to ${\ Displaystyle \ operatorname {Morse'a} (M)}$ , tj. ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Func} (M) ^ {0} = \ nazwa operatora {Morse'a} (M)}$ . $jest$$warstwowej$ przestrzeni często . Podstawową właściwością współwymiaru 1 warstwy ${\ displaystyle$ to, że dowolna ścieżka w $X}$ , która zaczyna się i kończy w $1 {\ displaystyle X ^ {0}}$ może być przybliżona X {\ displaystyle X przez ścieżkę, która przecina $displaystyle$$1}$ skończonej liczbie punktów i nie przecina się dla żadnego $ja$ .

Zatem teoria Cerf jest badaniem dodatnich współwymiarowych warstw ${\ Displaystyle \ operatorname {Func} (M)}$ , tj. ${\ Displaystyle \ operatorname {Func} (M ) ^ {i}}$ dla ${\ Displaystyle i> 0}$ . W przypadku

${\ Displaystyle f_ {t} (x) = x ^ {3} -tx}$ ,

tylko dla funkcji Morse'a i ${\ displaystyle t = 0}$

${\ Displaystyle f_ {0} (x) = x ^ {3}}$

ma sześcienny zdegenerowany punkt krytyczny odpowiadający przejściu narodziny / śmierć.

Pojedynczy parametr czasowy, stwierdzenie twierdzenia

Twierdzenie Morse'a stwierdza, że ​​jeśli $f \ okrężnica M \ do \ mathbb {R}}$ funkcją Morse'a, to w pobliżu punktu krytycznego jest sprzężona z funkcją ${\ Displaystyle g \ dwukropek \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R}}$$Displaystyle$ formularza

${\ Displaystyle g (x_ {1}, x_ { 2},\kropka ,x_{n})=f(p)+\epsilon _{1}x_{1}^{2}+\epsilon _{2}x_{2}^{2}+\dotsb + \epsilon _{n}x_{n}^{2}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ epsilon _ {i} \ w \ {\ pm 1 \}}$ .

Twierdzenie Cerfa o jednym parametrze potwierdza podstawową właściwość współwymiarowej jednej warstwy.

${$ , jeśli jednoparametrową rodziną gładkich funkcji ${\ Displaystyle t \ w [0,1]}$$}$ z i ${\ Displaystyle f_ {0}, f_ {1}}$ Morse'a, wtedy istnieje gładka rodzina jednoparametrowa ${\ displaystyle F_ {t} \ dwukropek M \ do \ mathbb {R}}$ taki, że ${\ Displaystyle F_ {0} = f_ {0}, F_ {1} = f_ {1}}$${\ Displaystyle F}$$jest$ jednakowo blisko do -topologii M $,1]\do \mathbb {R}}$ \ $Displaystyle M \ razy [0} do$$^ {k}}$ . Co więcej, $.$ ogóle jest Morse'em, ale skończenie wiele W czasie innym niż Morse'a funkcja ma tylko jeden zdegenerowany punkt krytyczny $fa$ blisko tego punktu rodzina jest sprzężona z rodziną t $displaystyle F_ {t}}$

${\ Displaystyle g_ {t} (x_{1},x_{2},\kropka ,x_{n})=f(p)+x_{1}^{3}+\epsilon _{1}tx_{1}+\epsilon _{2 }x_{2}^{2}+\dotsb +\epsilon _{n}x_{n}^{2}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ epsilon _ {i} \ w \ {\ pm 1 \}, t \ w [-1,1]}$ . Jeśli $- 1$ rodzina funkcji, w której tworzone są dwa punkty krytyczne (w miarę ${\ Displaystyle \ epsilon _ {1}$ a dla ${\ displaystyle \ epsilon _ {1} = 1}$ jest to jednoparametrowa rodzina funkcji, w której zniszczone są dwa punkty krytyczne.

Pochodzenie

Problem PL - Schoenflies dla został rozwiązany przez $JW$ Alexandra w 1924 roku. Jego dowód został przez i Emilia Bajady . Zasadnicza właściwość została wykorzystana przez Cerfa $,$ aby udowodnić, że każdy dyfeomorfizm zachowujący orientację izotopowy z , postrzeganą jako jednoparametrowe rozszerzenie twierdzenia Schoenfliesa dla ${\ Displaystyle S ^ {2} \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {3}}$ . Wniosek w tamtym czasie miał szerokie implikacje $.$ Zasadnicza właściwość została później wykorzystana przez Cerfa do udowodnienia twierdzenia o pseudoizotopii dla wielowymiarowych, prosto połączonych rozmaitości. Dowód jest jednoparametrowym rozszerzeniem dowodu Stephena Smale'a twierdzenia o kobordyzmie h (przepisanie dowodu Smale'a na ramy funkcjonalne zostało wykonane przez Morse'a, a także przez Johna Milnora oraz przez Cerfa, André Gramaina i Bernarda Morina zgodnie z sugestią René Thoma ).

Dowód Cerfa opiera się na pracy Thoma i Johna Mathera . Użytecznym współczesnym podsumowaniem prac Thoma i Mathera z tego okresu jest książka Marty'ego Golubitsky'ego i Victora Guillemina .

Aplikacje

Oprócz wyżej wymienionych zastosowań, Robion Kirby wykorzystał teorię Cerfa jako kluczowy krok w uzasadnieniu rachunku Kirby'ego .

Uogólnienie

$została$ dopełnienia nieskończonej współwymiarowej podprzestrzeni przestrzeni gładkich Francisa .

algebraiczne $_$ latach siedemdziesiątych problem klasyfikacji pseudoizotopii nieprosto połączonych rozmaitości został rozwiązany przez Allena Hatchera i Johna Wagonera, odkrywając przeszkody na ${1} M}$$\ pi$ ( ${\ Displaystyle i = 2}$ ) i ${\ Displaystyle \ pi _ {2} M}$ ( ${\ Displaystyle i = 1}$ ) i odkrycie przez Kiyoshi Igusa przeszkody o podobnym charakterze na ${\ Displaystyle \ pi _ {1} M}$ ( ${\ Displaystyle i = 3}$ ).