Twierdzenie o pseudoizotopii

W matematyce twierdzenie o pseudoizotopii jest twierdzeniem Jeana Cerfa , które odnosi się do łączności grupy dyfeomorfizmów rozmaitości.

Oświadczenie

Biorąc pod uwagę różniczkowalną rozmaitość M (z granicą lub bez), dyfeomorfizm pseudoizotopowy M jest dyfeomorfizmem M × [0, 1], który ogranicza się do tożsamości na ${\ styl wyświetlania M\czasy \{0\}\cup \częściowe M\czasy [0,1]}$ .

Biorąc pod uwagę dyfeomorfizm pseudoizotopowy, jego ograniczenie do $\}}$${\ Displaystyle f: M \ razy [0,1] \ do M \ razy [0,1]}$$\ razy$ \ { 1 dyfeomorfizmem . Mówimy, że g jest pseudoizotopowe względem tożsamości . O pseudoizotopii należy myśleć jako o czymś, co jest prawie izotopem - przeszkodą w byciu izotopem g do tożsamości jest to, czy ƒ zachowuje zestawy poziomów $Displaystyle M \ razy \ {t \}}$ \ dla ${\ Displaystyle t \ w [0,1]}$ .

Twierdzenie Cerfa mówi, że pod warunkiem, że M jest prosto spójny i dim( M ) ≥ 5, grupa dyfeomorfizmów pseudoizotopowych M jest spójna. Równoważnie dyfeomorfizm M jest izotopowy z tożsamością wtedy i tylko wtedy , gdy jest pseudoizotopowy z tożsamością.

Związek z teorią Cerfa

Punktem wyjścia dowodu jest myślenie o funkcji wysokości jako 1-parametrowej rodzinie gładkich funkcji na M , biorąc pod uwagę funkcję ${\ Displaystyle \ pi _ {[0,1]} \ cyrk f_{t}}$ . Następnie stosuje się teorię Cerfa .