Rękojeść Cassona

W topologii 4-wymiarowej, gałęzi matematyki, uchwyt Cassona to 4-wymiarowy topologiczny 2-uchwyt skonstruowany za pomocą nieskończonej procedury. Zostały nazwane na cześć Andrew Cassona , który wprowadził je około 1973 roku. Pierwotnie nazwał je „rękojeściami elastycznymi” przez samego Cassona, a Michael Freedman ( 1982 ) wprowadził nazwę „rękojeść Cassona”, pod którą są znane dzisiaj. W tej pracy pokazał, że uchwyty Cassona są topologicznymi 2-uchwytami i wykorzystał to do sklasyfikowania po prostu połączonych zwartych topologicznych 4-rozmaitości .

Motywacja

W dowodzie twierdzenia o h-kobordyzmie zastosowano następującą konstrukcję. Biorąc pod uwagę okrąg na granicy rozmaitości, często chcielibyśmy znaleźć dysk osadzony w rozmaitości, której granicą jest dany okrąg. Jeśli rozmaitość jest po prostu spójna to możemy znaleźć mapę od dysku do rozmaitości z granicą zadanego koła, a jeśli rozmaitość ma wymiar co najmniej 5 to ustawiając ten krążek w "pozycji ogólnej" staje się on osadzeniem . Liczba 5 pojawia się z następującego powodu: podrozmaitości o wymiarze m i n w pozycji ogólnej nie przecinają się, pod warunkiem, że wymiar zawierającej je rozmaitości ma wymiar większy niż ${\ displaystyle m + n}$ . W szczególności dysk (o wymiarze 2) w położeniu ogólnym nie będzie miał żadnych samoprzecięć wewnątrz rozmaitości o wymiarze większym niż 2+2.

Jeśli rozmaitość jest 4-wymiarowa, to nie działa: problem polega na tym, że dysk w ogólnej pozycji może mieć podwójne punkty, w których dwa punkty dysku mają ten sam obraz. Jest to główny powód, dla którego zwykły dowód twierdzenia o kobordyzmie h działa tylko dla kobordyzmów, których granica ma wymiar co najmniej 5. Możemy spróbować pozbyć się tych podwójnych punktów w następujący sposób. Narysuj na dysku linię łączącą dwa punkty z tym samym obrazem. Jeśli obraz tej linii jest granicą osadzonego dysku (nazywanego dyskiem Whitneya ), łatwo jest usunąć podwójny punkt. Jednak ten argument wydaje się kręcić w kółko: aby wyeliminować podwójny punkt pierwszego dysku, musimy skonstruować drugi osadzony dysk, którego konstrukcja obejmuje dokładnie ten sam problem eliminacji podwójnych punktów.

Pomysł Cassona polegał na powtórzeniu tej konstrukcji nieskończoną liczbę razy, w nadziei, że problemy z podwójnymi punktami jakoś znikną w nieskończonej granicy.

Budowa

Rękojeść Cassona ma dwuwymiarowy szkielet, który można zbudować w następujący sposób.

Zacznij od 2-płytowego ${\ displaystyle D ^ {2}}$ .
Zidentyfikuj skończoną liczbę par punktów na dysku.
Dla każdej pary zidentyfikowanych punktów wybierz ścieżkę w dysku łączącym te punkty i skonstruuj nowy dysk z granicą tej ścieżki. (Więc dodajemy dysk dla każdej pary zidentyfikowanych punktów.)
Powtórz kroki 2–3 na każdej nowej płycie.

Możemy przedstawić te szkielety za pomocą ukorzenionych drzew, tak że każdy punkt jest połączony tylko ze skończoną liczbą innych punktów: drzewo ma punkt dla każdego dysku i linię łączącą punkty, jeśli odpowiednie dyski przecinają się w szkielecie.

Rękojeść Cassona jest konstruowana przez „ $\$ ” powyższej dwuwymiarowej konstrukcji, aby uzyskać obiekt 4-wymiarowy: każdy dysk zastępujemy re ${$ . Nieformalnie możemy o tym myśleć jako o zabraniu małego sąsiedztwa szkieletu (o którym myśli się, że jest osadzony w jakiejś 4-rozmaitości). Jest przy tym kilka drobnych dodatkowych subtelności: musimy śledzić niektóre ramki, a punkty przecięcia mają teraz orientację.

Uchwyty Cassona odpowiadają zakorzenionym drzewom jak powyżej, z wyjątkiem tego, że teraz każdy wierzchołek ma dołączony znak wskazujący orientację podwójnego punktu. Równie dobrze możemy założyć, że drzewo nie ma skończonych gałęzi, ponieważ skończone gałęzie można „rozplątać”, więc nie ma różnicy.

Najprostszy egzotyczny uchwyt Cassona odpowiada drzewu, które jest tylko w połowie nieskończoną linią punktów (z wszystkimi znakami takimi samymi). Jest $z$ do stożkiem nad Istnieje podobny opis bardziej skomplikowanych uchwytów Cassona, z kontinuum Whiteheada zastąpionym podobnym, ale bardziej skomplikowanym zestawem.

Struktura

$;$ Freedmana dotyczące uchwytów Cassona mówi, że z lub innymi słowy, są to topologiczne 2-uchwyty. Na ogół nie są one dyfeomorficzne $istnieje$ i niezliczona nieskończona liczba różnych Uchwyty Cassona. Jednak wnętrze uchwytu Cassona jest dyfeomorficzne $;$ do Klamki Casson różnią się od klamek standardowych 2 jedynie sposobem mocowania obrzeża do wnętrza.

Twierdzenie o strukturze Freedmana może być użyte do udowodnienia twierdzenia o kobordyzmie h dla 5-wymiarowych kobordyzmów topologicznych, co z kolei implikuje 4-wymiarową topologiczną hipotezę Poincarégo .

Gompf, Robert (2001) [1994], „Uchwyt Cassona” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
Casson, Andrew (1986), „Trzy wykłady na temat nowych nieskończonych konstrukcji w rozmaitościach 4-wymiarowych”, À la recherche de la topologie perdue , Progress in Mathematics, tom. 62, Boston, MA: Birkäuser Boston, s. 201–244, ISBN 0-8176-3329-4 , MR 0900253
Freedman, Michael Hartley (1982), „Topologia czterowymiarowych rozmaitości” , Journal of Differential Geometry , 17 (3): 357–453, doi : 10,4310/jdg/1214437136 , MR 0679066
Kirby, Robion C. (1989), Topologia 4-rozmaitości , Lecture Notes in Mathematics, tom. 1374, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0089031 , ISBN 978-3-540-51148-9 , MR 1001966
Scorpan, Alexandru (2005). Dziki świat 4-rozmaitości . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . ISBN 0-8218-3749-4 .