Twierdzenie Donaldsona

W matematyce , a zwłaszcza w topologii różniczkowej i teorii cechowania , twierdzenie Donaldsona stwierdza, że określona forma przecięcia zwartej , zorientowanej , gładkiej rozmaitości o wymiarze 4 jest przekątna . Jeśli forma przecięcia jest dodatnia (ujemna) określona, można ją przekątować do macierzy tożsamości (ujemnej macierzy tożsamości) na liczbach całkowitych . Oryginalna wersja twierdzenia wymagała, aby rozmaitość była po prostu połączona , ale później została ulepszona, aby zastosować ją do rozmaitości 4 z dowolną grupą podstawową.

Historia

Twierdzenie zostało udowodnione przez Simona Donaldsona . To był wkład cytowany za jego medal Fieldsa w 1986 roku.

Pomysł dowodu

Dowód Donaldsona wykorzystuje przestrzeń modułów rozwiązań równań ) $2)}$ nad -dwoistości 2 $($ ${SU}$ $X$ czteroma rozmaitością $\ displaystyle X}$ . Z twierdzenia o indeksie Atiyaha – Singera wymiar przestrzeni modułów jest określony przez

{\ Displaystyle \ dim {\ mathcal {M}} = 8k-3 (1-b_ {1} (X) +b_{+}(X)),}

gdzie do ${\ Displaystyle c_ {2} (P) = k}$ $b_ {1} (X)}$ Displaystyle jest pierwszą liczbą Bettiego z ${\ Displaystyle X}$ a ${\ Displaystyle b_ {+} (X)}$ jest wymiarem dodatnio określonej podprzestrzeni ${\ Displaystyle H_ {2} (X, \ mathbb {R}) }$ w odniesieniu do formy skrzyżowania. Kiedy jest po prostu połączony z określoną formą przecięcia, prawdopodobnie po zmianie orientacji, zawsze ma się $b$ $\ Displaystyle b_ {1} (X) = 0$ ${\ displaystyle b_ {+} (X) = 0}$ i . $\ Displaystyle$ biorąc dowolny główny $z ,$ przestrzeń modułów $mathcal {M} }}$ wymiaru piątego.

Kobordyzm dany przez przestrzeń modułów Yanga-Millsa w twierdzeniu Donaldsona

$których$ modułów jest niezwarta i ogólnie gładka, z osobliwościami występującymi tylko w punktach odpowiadających redukowalnym połączeniom . Wyniki Clifforda Taubesa i Karen Uhlenbeck pokazują, że chociaż $nie$ jest zwarty, jego strukturę w nieskończoności można łatwo opisać $,$ istnieje otwarty podzbiór $,$ powiedzmy dla wystarczająco małych wyborów parametru ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ istnieje dyfeomorfizm

{\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ varepsilon} {\ xrightarrow {\ quad \ cong \ quad}} X \ razy (0, \ varepsilon)}

.

Praca Taubesa i Uhlenbecka zasadniczo dotyczy konstruowania sekwencji połączeń ASD na czterorozmaitości, $.$ $krzywizna staje$ nieskończenie skoncentrowana w dowolnym pojedynczym Dla każdego takiego punktu w granicy uzyskuje się unikalne osobliwe połączenie ASD, które staje się dobrze zdefiniowanym gładkim połączeniem ASD w tym punkcie przy użyciu usuwalnego twierdzenia Uhlenbecka o osobliwościach.

Donaldson zauważył, że można również opisać punkty osobliwe we wnętrzu odpowiadające $} ^{2}}$ połączeniom: wyglądały jak nad zespoloną płaszczyzną rzutową ${\ displaystyle {\ mathcal {M}$ $}$ , z odwróconą orientacją.

$zredukować$ osobliwości i sklej w kopii . Po drugie, przyklej kopię $nieskończoności$ . Powstała przestrzeń jest kobordyzmem między kopiami ${\ Displaystyle b_ {2} (X)}$ $)$ do $}}$ $^ {2} X {\ Displaystyle$ z odwróconą orientacją. Forma przecięcia czterorozmaitości jest niezmiennikiem kobordyzmu aż do izomorfizmu form kwadratowych, z którego wnioskuje się, że forma przecięcia $przekątna$ .

Rozszerzenia

Michael Freedman wcześniej wykazał, że dowolna jednomodułowa symetryczna forma dwuliniowa jest realizowana jako forma przecięcia jakiejś zamkniętej, zorientowanej czterorozmaitości . Łącząc ten wynik z twierdzeniem klasyfikacyjnym Serre'a i twierdzeniem Donaldsona, można zobaczyć kilka interesujących wyników:

1) Każda niediagonalizowalna forma przecięcia prowadzi do czterowymiarowej rozmaitości topologicznej bez struktury różniczkowalnej (więc nie można jej wygładzić).

2) Dwie gładkie, prosto połączone 4-rozmaitości są homeomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy ich formy przecięcia mają ten sam rząd , sygnaturę i parzystość .

Zobacz też

Notatki

Donaldson, SK (1983), „Zastosowanie teorii cechowania do topologii czterowymiarowej”, Journal of Differential Geometry , 18 (2): 279–315, doi : 10.4310/jdg/1214437665 , MR 0710056 , Zbl 0507.57010
Donaldson, SK; Kronheimer, PB (1990), Geometria czterech rozmaitości , Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850269-9
Uwolniony, DS; Uhlenbeck, K. (1984), Instantony i cztery rozmaitości , Springer
Freedman, M.; Quinn, F. (1990), Topologia 4-rozmaitości , Princeton University Press
Scorpan, A. (2005), Dziki świat 4-rozmaitości , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne