Forma przecięcia 4-rozmaitości

W matematyce forma przecięcia zorientowanej zwartej 4-rozmaitości jest specjalną symetryczną postacią dwuliniową w drugiej (ko) grupie homologicznej 4-rozmaitości. Odzwierciedla większość topologii 4-rozmaitości, w tym informacje o istnieniu gładkiej struktury .

Definicja za pomocą skrzyżowania

Niech M będzie zamkniętą 4-rozmaitością (PL lub gładką). Weźmy triangulację T z M . $_$ przez podwójny podział . Reprezentuj klasy ${\ Displaystyle a, b \ w H_ {2} (M; \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z})}$ przez 2 cykle A i B modulo 2 postrzegane jako związki 2-simplices of T i odpowiednio ${\ displaystyle T ^ {*}}$ . Zdefiniuj formę przecięcia modulo 2

${\ Displaystyle \ czapka _ {M, 2}: H_ {2} (M; \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\times H_{2}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

według formuły

${\ Displaystyle a \ cap _ {M, 2} b = | A \ cap B | {\ bmod {2}}.}$

Jest to dobrze zdefiniowane, ponieważ przecięcie cyklu i granicy składa się z parzystej liczby punktów (z definicji cyklu i granicy).

Jeżeli M jest zorientowane, analogicznie (tj. licząc przecięcia ze znakami) definiuje się postać przecięcia na 2. grupie homologii

${\ Displaystyle Q_ {M} = \ cap _ {M} = \ cdot _ {M}: H_ {2} (M; \ mathbb {Z}) \ razy H_ {2} (M; \ mathbb {Z}) \do \mathbb {Z} .}$

Korzystając z pojęcia transwersalności, można podać następujące wyniki (stanowiące równoważną definicję postaci przecięcia).

• ${\ Displaystyle a, b \ w H_ {2} (M; \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z})}$ klasy są reprezentowane przez zamknięte powierzchnie za (lub 2-cykle modulo 2) A i B spotykają się poprzecznie, wtedy ${\ Displaystyle a \ cap _ {M, 2} b = | A \ cap B | \ mod 2.}$

• Jeśli M jest zorientowany, a klasy ${\ Displaystyle a, b \ w H_ {2} (M; \ mathbb {Z})}$ reprezentowane przez zamknięte zorientowane powierzchnie (lub 2 cykle) za A i B spotykają poprzecznie, to każdy punkt przecięcia $w$ ma znak +1 lub -1 w zależności od orientacji ${\ Displaystyle Q_ {M} (a, b)}$ to suma tych znaków.

Definicja przy użyciu kubka

Dalsze informacje: Teoria przecięć

Korzystając z pojęcia $podwójną$ kubka , można podać ( a więc równoważną) definicję w następujący sposób. Niech M będzie zamkniętą zorientowaną 4-rozmaitością (PL lub gładką). Zdefiniuj formę przecięcia na drugiej grupie kohomologii

${\ Displaystyle Q_ {M} \ dwukropek H ^ {2} (M; \ mathbb {Z}) \ razy H ^ {2} (M;\mathbb {Z} )\do \mathbb {Z} }$

według formuły

${\ Displaystyle Q_ {M} (a, b) = \ langle a \ uśmiech b, [M] \ rangle.}$

Definicja iloczynu kubka jest podwójna (a więc jest analogiczna) do powyższej definicji formy przecięcia na homologii rozmaitości, ale jest bardziej abstrakcyjna. Jednak definicja produktu kubkowego uogólnia się na kompleksy i rozmaitości topologiczne. Jest to zaleta dla matematyków, którzy interesują się zespołami i rozmaitościami topologicznymi (nie tylko PL i rozmaitościami gładkimi).

Kiedy 4-rozmaitość jest gładka, to w $i$ de Rhama , jeśli a i b są reprezentowane przez 2-formy , wówczas postać przecięcia można wyrazić całką ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle Q (a, b) = \ int _ {M} \ alfa \ klin \ beta}$

gdzie jest iloczynem klina ${\ displaystyle \ klin}$ .

Definicja wykorzystująca iloczyn kubkowy ma prostszy analogowy modulo 2 (który działa dla rozmaitości nieorientowalnych). Oczywiście nie ma tego w kohomologii de Rham.

Właściwości i zastosowania

Dualność Poincarego stwierdza, że ​​​​forma przecięcia jest jednomodułowa (aż do skręcenia).

$.$ wzorem Wu, 4-rozmaitość spinowa musi mieć postać przecięcia, dla każdego x . W przypadku prostego połączenia gładkiego 4-rozmaitości (lub bardziej ogólnie takiego, w którym nie ma 2-skrętu znajdującego się w pierwszej homologii), sytuacja jest odwrotna.

Podpis formularza skrzyżowania jest ważnym niezmiennikiem. Rozmaitość 4 ogranicza rozmaitość 5 wtedy i tylko wtedy, gdy ma zerową sygnaturę. Lemat Van der Blij implikuje, że spin 4-rozmaitości ma sygnaturę wielokrotności ośmiu. W rzeczywistości twierdzenie Rokhlina implikuje, że gładka zwarta 4-rozmaitość o spinie ma sygnaturę wielokrotności 16.

Michael Freedman użył formy przecięcia do sklasyfikowania prosto połączonych topologicznych 4-rozmaitości. Biorąc pod uwagę dowolną jednomodułową symetryczną formę dwuliniową na liczbach całkowitych Q , istnieje po prostu połączona zamknięta 4-rozmaitość M z formą przecięcia Q . Jeśli Q jest parzysta, to istnieje tylko jedna taka rozmaitość. Jeśli Q jest nieparzyste, są dwa, z których co najmniej jeden (być może oba) nie ma gładkiej struktury. W ten sposób dwa po prostu połączone zamknięte gładkie 4-rozmaitości o tej samej formie przecięcia są homeomorficzne. W dziwnym przypadku te dwie rozmaitości są rozróżniane przez ich niezmiennik Kirby-Siebenmanna .

Twierdzenie Donaldsona stwierdza, że ​​​​gładka , po prostu połączona 4-rozmaitość z dodatnio określoną postacią przecięcia ma postać przecięcia ukośnego (skalarnego 1). Tak więc klasyfikacja Freedmana implikuje, że istnieje wiele niewygładzalnych 4-rozmaitości, na przykład rozmaitość E8 .

• Forma przecięcia

• Numer_przecięcia_immersji

• Kirby, Robion (1989), Topologia 4-rozmaitości, Notatki z wykładu z matematyki. 1374 , Springer-Verlag

• Linking_form

•   Scorpan, Alexandru (2005), Dziki świat 4-rozmaitości , American Mathematical Society , ISBN 0-8218-3749-4

•   Skopenkov, Arkadiy (2015), Topologia algebraiczna z punktu widzenia geometrycznego (po rosyjsku) , MCCME, ISBN 978-5-4439-0293-7