Twierdzenie Rokhlina

W topologii czterowymiarowej, gałęzi matematyki, twierdzenie Rokhlina stwierdza, że ​​jeśli gładka , orientowalna, zamknięta 4- rozmaitość M ma strukturę spinową (lub równoważnie drugą klasę Stiefela – Whitneya ${\ displaystyle w_ {2}(M)}$ znika), to sygnatura jego formy przecięcia , formy kwadratowej drugiej grupy kohomologii ${\ Displaystyle H ^ {2} (M)}$ , jest podzielne przez 16. Twierdzenie zostało nazwane na cześć Władimira Rokhlina , który udowodnił to w 1952 roku.

Przykłady

• Forma przecięcia na M

$\ mathbb {Z}) \rightarrow \ mathbb {Z}}$

${\ Displaystyle Q_ {M} \ dwukropek H ^ {2} (M, \ mathbb {Z}) \ razy H ^ {2} (M$

$jest$ jednomodułowy na podstawie dualności Poincarégo i zniknięcia ${\ displaystyle w_ {2} (M)}$ oznacza, że ​​forma przecięcia jest parzysta. Zgodnie z twierdzeniem Cahita Arfa każda nawet jednomodułowa krata ma sygnaturę podzielną przez 8, więc twierdzenie Rokhlina wymusza jeden dodatkowy współczynnik 2 do podzielenia sygnatury.

• Powierzchnia K3 $jest zwarta,$ i , a podpis wynosi -16, więc 16 jest najlepszą możliwą liczbą w
• $Złożona$ powierzchnia o stopniu $jest$ wirowana wtedy i $,$ . Ma $,$ co można _ _ _ Sprawa ${\ displaystyle d = 4}$ podaje ostatni przykład powierzchni K3 .
• Rozmaitość E8 Michaela Freedmana jest po prostu połączoną zwartą rozmaitością topologiczną ze zniknięciem i formą przecięcia podpisu 8. Twierdzenie Rokhlina $displaystyle w_ {2}$$M)}$ oznacza, że ​​rozmaitość ta nie ma gładkiej struktury . Ta rozmaitość pokazuje, że twierdzenie Rokhlina zawodzi dla zbioru jedynie topologicznych (a nie gładkich) rozmaitości.
• Jeśli rozmaitość M jest po prostu połączona (lub bardziej ogólnie, jeśli pierwsza grupa homologii nie ma 2-skręcenia), wówczas zniknięcie jest równoważne postaci przecięcia , która jest ${\ displaystyle w_ {2} (M)}$ nawet. Nie jest to ogólnie prawdą: powierzchnia Enriquesa jest zwartą, gładką rozmaitością 4 i ma parzystą postać przecięcia II _1,9 podpisu -8 (nie jest podzielna przez 16), ale klasa ${\ displaystyle w_ {2 }(M)}$ nie znika i jest reprezentowane przez a element skrętny w drugiej grupie kohomologii.

Dowody

Twierdzenie Rokhlina można wywnioskować z faktu, że trzecia $stabilna$ homotopii kul rzędu 24; to jest oryginalne podejście Rokhlina.

Można to również wywnioskować z twierdzenia o indeksie Atiyaha – Singera . Zobacz rodzaj i twierdzenie Rochlina .

Robion Kirby ( 1989 ) podaje dowód geometryczny.

Niezmiennik Rokhlina

Ponieważ twierdzenie Rokhlina stwierdza, że ​​sygnatura gładkiej rozmaitości spinowej jest podzielna przez 16, definicję niezmiennika Rokhlina wyprowadza się w następujący sposób:

Dla 3-rozmaitości i struktury spinowej na ${\ displaystyle$$N}$$niezmiennik$ Rokhlina $\ displaystyle \ mu (N, s)$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 16 \ mathbb {Z}}$ w definiuje się jako sygnaturę dowolnej gładkiej, zwartej 4-rozmaitości spinowej z granicą spinu ${\ Displaystyle (N, s)}$ .

Jeśli N jest 3- rozmaitą spinową , to ogranicza ona 4-rozmaitą spinową M. Sygnatura M jest podzielna przez 8, a łatwe zastosowanie twierdzenia Rokhlina pokazuje, że jego wartość mod 16 zależy tylko od N , a nie od wyboru M . 3-sfery homologii mają unikalną strukturę spinową , więc możemy zdefiniować niezmiennik Rokhlina 3-sfery homologii jako znak elementu $\ displaystyle \ nazwa operatora {znak} (M) / 8$ } ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ , gdzie M dowolna 4-rozmaitość spinowa ograniczająca kulę homologii.

Na przykład sfera homologii Poincarégo ogranicza 4-rozmaitość spinową z formą przecięcia $ten$ ma pewne elementarne konsekwencje: sfera homologii Poincarégo nie pozwala na gładką $Mazura$ w ani nie ogranicza rozmaitości .

Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli N jest 3-rozmaitością o spinie (na przykład dowolną $o spinie 4$ ), to sygnatura dowolnej 4-rozmaitości M z granicą N jest dobrze zdefiniowanym mod 16 i nazywany jest niezmiennikiem Rokhlina N . W topologicznej 3-rozmaitości N uogólniony niezmiennik Rokhlina odnosi się do funkcji, której dziedziną są struktury spinowe na N $niezmiennik$ który daje Rokhlina pary gdzie s spinową na

Niezmiennik Rokhlina M jest równy połowie niezmiennika Cassona mod 2. Niezmiennik Cassona jest postrzegany jako wzrost o wartości Z niezmiennika Rokhlina integralnej homologii 3-sfery.

Uogólnienia

Kervaire’a – Milnora ( Kervaire & Milnor 1960 ) stwierdza, że ​​jeśli $M$ charakterystyczną kulą w gładkiej zwartej 4-rozmaitości , to

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {podpis} (M) = \ Sigma \ cdot \ Sigma {\ bmod {1}} 6}$ .

$sfera,$ homologii reprezentuje klasę Stiefela – Whitneya Jeśli $wynosi 0,$ możemy przyjąć, $samoprzecięcie$ twierdzenie Rokhlina jest następujące.

Freedmana -Kirby'ego ( Freedman i Kirby 1978 ) stwierdza, że ​​jeśli $gładkiej$ zwartej 4-rozmaitości M , to

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {podpis} (M) = \ Sigma \ cdot \ Sigma + 8 \ nazwa operatora {Arf} (M, \ Sigma ){\bmod {1}}6}$ .

gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {Arf} (M, \ Sigma)}$ jest niezmiennikiem Arf pewnej postaci kwadratowej na ${\ displaystyle H_ {1} (\Sigma ,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ . Ten niezmiennik Arfa wynosi oczywiście 0, jeśli $kulą$ , więc twierdzenie Kervaire’a – Milnora jest przypadkiem szczególnym.

Uogólnienie twierdzenia Freedmana-Kirby'ego na rozmaitości topologiczne (a nie gładkie) stwierdza, że

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {podpis} (M) = \ Sigma \ cdot \ Sigma +8 \ nazwa operatora {Arf} (M,\Sigma )+8\nazwa operatora {ks} (M){\bmod {1}}6}$ ,

gdzie ${\ displaystyle \ operatorname {ks} (M)}$ jest niezmiennikiem M Kirby’ego – Siebenmanna . Niezmiennik Kirby’ego – Siebenmanna M wynosi 0, jeśli M jest gładkie.

Armand Borel i Friedrich Hirzebruch udowodnili następujące twierdzenie: Jeśli X jest gładką zwartą rozmaitością spinową o wymiarze podzielnym przez 4, to rodzaj  jest liczbą całkowitą i jest nawet wtedy, gdy wymiar X wynosi 4 mod 8. Można to wywnioskować z Twierdzenie o indeksie Atiyaha – Singera : Michael Atiyah i Isadore Singer wykazali, że rodzaj  jest indeksem operatora Atiyaha – Singera, który jest zawsze całkowy i ma nawet wymiary 4 mod 8. W przypadku rozmaitości 4-wymiarowej Twierdzenie Hirzebrucha o podpisie pokazuje, że podpis jest -8 razy większy od rodzaju Â, więc w wymiarze 4 implikuje to twierdzenie Rokhlina.

Ochanine (1980) udowodnił, że jeśli X jest zwartą, zorientowaną rozmaitością o gładkim spinie o wymiarze 4 mod 8, to jej sygnatura jest podzielna przez 16.

•   Freedman, Michael ; Kirby, Robion , „A geometryczny dowód twierdzenia Rochlina”, w: Algebraic and geometry topology (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Kalifornia, 1976), Część 2, s. 85–97, Proc. . Sympozja. Czysta matematyka, XXXII, Amer. Matematyka. Soc., Providence, RI, 1978. MR 0520525 ISBN 0-8218-1432-X
•    Kirby, Robion (1989), Topologia 4-rozmaitości , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 1374, Springer-Verlag, doi : 10.1007/BFb0089031 , ISBN 0-387-51148-2 , MR 1001966
• Kervaire, Michel A .; Milnor, John W. , „Liczby Bernoulliego, grupy homotopijne i twierdzenie Rohlina”, 1960 Proc. Międzynarodowy. Kongres Matematyka. 1958, s. 454–458, Cambridge University Press , Nowy Jork. MR 0121801
• Kervaire, Michel A .; Milnor, John W. , O 2-sferach w 4-rozmaitościach. Proc. Natl. Acad. Nauka. USA 47 (1961), 1651-1657. MR 0133134
• Matsumoto, Yoichirou (1986). „Elementarny dowód twierdzenia o podpisie Rochlina i jego rozszerzenia przez Guillou i Marina” (PDF) . {{ cite Journal }} : Cite Journal wymaga |journal= ( pomoc ) ; Link zewnętrzny w |ref= ( pomoc )
•    Michelsohn, Marie-Louise ; Lawson, H. Blaine (1989), Geometria spinu , Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 0-691-08542-0 , MR 1031992 (zwłaszcza strona 280)
• Ochanine, Serge, „Podpis modulo 16, niezmienniki de Kervaire généralisés et nombres caractéristiques dans la K-théorie réelle”, Mém. Towarzystwo Matematyka. Francja 1980/81, nr. 5, 142 s. MR 1809832
• Rokhlin, Vladimir A. , ​​Nowe wyniki teorii rozmaitości czterowymiarowych , Doklady Acad. Nauk. SSSR (NS) 84 (1952) 221–224. MR 0052101
•    Scorpan, Alexandru (2005), Dziki świat 4-rozmaitości , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-3749-8 , MR 2136212 .
•    Szűcs, András (2003), „Dwa twierdzenia Rokhlina”, Journal of Mathematical Sciences , 113 (6): 888–892, doi : 10.1023/A:1021208007146 , MR 1809832 , S2CID 117175810