Podpis (topologia)

W dziedzinie topologii sygnatura jest niezmiennikiem całkowitym , który jest zdefiniowany dla zorientowanej rozmaitości M o wymiarze podzielnym przez cztery .

Ten niezmiennik rozmaitości został szczegółowo zbadany, poczynając od twierdzenia Rokhlina dla 4-rozmaitości i twierdzenia o podpisie Hirzebrucha .

Definicja

Biorąc pod uwagę połączoną i zorientowaną rozmaitość M o wymiarze 4 k , iloczyn kubka daje formę kwadratową Q w „środkowej” rzeczywistej grupie kohomologii

{\ Displaystyle H ^ {2k} (M \ mathbf {R})}

.

Podstawowa tożsamość produktu kubkowego

{\ Displaystyle \ alfa ^ {p} \ uśmiech \ beta ^ {q} = (-1) ^ {pq} (\ beta ^ { q}\uśmiech \alpha ^{p})}

pokazuje, że przy p = q = 2 k iloczyn jest symetryczny . Przyjmuje wartości

{\ Displaystyle H ^ {4k} (M \ mathbf {R})}

.

Jeśli założymy również, że M jest zwarty , dualność Poincarégo to utożsamia

{\ Displaystyle H ^ {0} (M, \ mathbf {R})}

które można utożsamiać z ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ . Dlatego iloczyn kubkowy, zgodnie z tymi hipotezami, daje początek symetrycznej formie dwuliniowej na H ^{2 k} ( M , R ); a zatem do postaci kwadratowej Q . Forma Q nie jest zdegenerowana ze względu na dualność Poincarégo, ponieważ łączy się w pary niezdegenerowane ze sobą. Mówiąc bardziej ogólnie, sygnaturę można zdefiniować w ten sposób dla dowolnego ogólnego wielościanu zwartego o 4n dwuwymiarowa dualność Poincarégo.

Sygnatura M jest z definicji sygnaturą Q , uporządkowanej trójki zgodnie z jej definicją . Jeśli M nie jest połączone, jego sygnatura jest zdefiniowana jako suma sygnatur połączonych komponentów.

Inne wymiary

Jeśli M ma wymiar niepodzielny przez 4, to jego sygnatura jest zwykle definiowana jako 0. Istnieją alternatywne uogólnienia w teorii L : sygnatura może być interpretowana jako 4 k -wymiarowa (po prostu połączona) symetryczna grupa L ${\ Displaystyle L ^ {4k},}$ lub jako 4 k -wymiarowa kwadratowa grupa L ${\ Displaystyle L_ {4k},}$ i te niezmienniki nie zawsze znikają dla innych wymiarów. Niezmiennik Kervaire'a jest mod 2 (tj. elementem ) dla obramowanych rozmaitości o $2$ 4 k + (kwadratowa grupa L $\ Displaystyle L_ {{\ Displaystyle L_ {$ ), podczas gdy niezmiennik de Ramama jest niezmiennikiem mod 2 rozmaitości o wymiarze 4 k + 1 (symetryczna grupa L $\ Displaystyle L ^ {4k + 1}})$ ; inne wymiarowe grupy L znikają.

Niezmiennik Kervaire'a

Kiedy ${\ Displaystyle d = 4k + 2 = 2 (2k + 1)}$ jest dwukrotnie nieparzystą liczbą całkowitą ( pojedynczo parzystą ), ta sama konstrukcja daje antysymetryczny dwuliniowy forma . Takie formularze nie mają niezmiennika podpisu; jeśli nie są zdegenerowane, dowolne dwie takie formy są równoważne. Jeśli jednak przyjmiemy kwadratowe uściślenie formy, które ma miejsce, gdy mamy rozmaitość w ramce , to wynikowa Formy ε-kwadratowe nie muszą być równoważne, wyróżniając się niezmiennikiem Arf . Wynikowy niezmiennik rozmaitości nazywany jest niezmiennikiem Kervaire'a .

Nieruchomości

René Thom (1954) wykazał, że sygnatura rozmaitości jest niezmiennikiem kobordyzmu, aw szczególności jest dana przez pewną liniową kombinację jej liczb Pontryagina . Na przykład w czterech wymiarach podaje się to $}$ } Friedrich Hirzebruch (1954) znalazł wyraźne wyrażenie dla tej kombinacji liniowej jako rodzaj L rozmaitości. William Browder (1962) udowodnił, że prosto spójny zwarty wielościan o 4 n -wymiarach Dualność Poincarégo jest homotopią równoważną rozmaitości wtedy i tylko wtedy, gdy jej sygnatura spełnia wyrażenie twierdzenia Hirzebrucha o sygnaturze . Twierdzenie Rokhlina mówi, że sygnatura 4-wymiarowej, prosto połączonej rozmaitości o strukturze spinowej jest podzielna przez 16.

Zobacz też