Rozmaitość Mazura

W topologii różniczkowej , gałęzi matematyki, rozmaitość Mazura jest kurczliwą, zwartą , gładką rozmaitością czterowymiarową (z granicą), która nie jest dyfeomorficzna w stosunku do standardowej 4-kulki . Granica rozmaitości Mazura jest koniecznie 3-sferą homologii .

Często termin rozmaitość Mazura jest ograniczony do specjalnej klasy powyższej definicji: 4-rozmaitości, które mają rozkład uchwytów zawierający dokładnie trzy uchwyty: pojedynczy uchwyt 0, pojedynczy uchwyt 1 i pojedynczy uchwyt 2. $zjednoczenia$ rozmaitość musi mieć postać z 2 uchwytami. Obserwacja Mazura pokazuje, że podwojenie takich rozmaitości jest dyfeomorficzne z ${\ displaystyle S ^ {4}}$ o standardowej gładkiej strukturze.

Historia

Barry Mazur i Valentin Poenaru odkryli te rozmaitości jednocześnie. $_$ że homologii _ $_ )}$ i są granicami rozmaitości Mazura. ${\ Displaystyle \ Sigma (2,3,13)}$ Wyniki te zostały później uogólnione na inne rozmaitości kurczliwe przez Cassona, Harera i Sterna. Przykładem jest też jeden z rozmaitości Mazura Korek Akbulut , z którego można zbudować egzotyczne 4-rozmaitości.

Rozmaitości Mazura zostały użyte przez Fintushela i Sterna do skonstruowania egzotycznych działań grupy rzędu 2 na 4-sferze .

Odkrycie Mazura było zaskakujące z kilku powodów:

Każda gładka sfera homologii w wymiarze $homeomorficzna$ z granicą zwartej kurczliwej rozmaitości Wynika to z pracy Kervaire'a i twierdzenia o kobordyzmie h . Nieco mocniej, każda gładka 4-sfera homologii jest dyfeomorficzna do granicy zwartej kurczliwej gładkiej 5-rozmaitości (również dzięki pracy Kervaire'a). Ale nie każda 3-sfera homologii jest dyfeomorficzna do granicy kurczliwej, zwartej, gładkiej 4-rozmaitości. Na przykład sfera homologii Poincarégo nie ogranicza takiej 4-rozmaitości, ponieważ Niezmiennik Rochlina stanowi przeszkodę.

Twierdzenie $o$ kobordyzmie h implikuje $gdzie$ że przynajmniej w wymiarach istnieje unikalna rozmaitość kurczliwa zależy od dyfeomorfizmu Ta rozmaitość to kula jednostkowa ${\ displaystyle D ^ {n}}$ . Jest to otwarty problem, czy ${\ Displaystyle D ^ {5}}$ dopuszcza egzotyczną gładką strukturę, ale zgodnie z twierdzeniem o h-kobordyzmie taka egzotyczna gładka struktura, jeśli istnieje, musi ograniczać się do egzotycznej gładkiej struktury na ${\ displaystyle S ^ {4}}$ . To, czy $się do$ egzotycznej gładkiej struktury, jest równoważne z innym otwartym problemem, gładką w wymiarze czwartym . To, czy przyznaje się do egzotycznej gładkiej struktury, jest kolejnym otwartym problemem, ściśle związanym $.$ Schoenfliesa w wymiarze czwartym.

spostrzeżenie Mazura

Niech $2$ $rozmaitością$ zbudowaną uchwytami Oto szkic argumentu Mazura, że dubletem takiej rozmaitości Mazura jest ${\ displaystyle S ^ {4}}$ . ${\ Displaystyle M \ razy [0,1]}$ jest kurczliwą 5-rozmaitością zbudowaną jako ${\ Displaystyle S ^ {1} \ razy D ^ {4}}$ związek z 2 uchwytami. 2 $.$ obramowanym węzłem w 4 Więc $re$ do ${\ displaystyle D$ } Granica re $\ Displaystyle D ^ {5}}$ to ${\ Displaystyle S ^ {4}}$ . Ale granica jest podwojona M × $\ razy [0,1]$ $Displaystyle$ } .

^ Mazur, Barry (1961). „Uwaga na temat niektórych kurczliwych 4-rozmaitości”. Ann. z matematyki. 73 (1): 221–228. doi : 10.2307/1970288 . JSTOR 1970288 . MR 0125574 .
^ Poenaru, Valentin (1960). „Les decompositions de l'hypercube en produit topologique” . Byk. soc. Matematyka Francja . 88 : 113–129. doi : 10.24033/bsmf.1546 . MR 0125572 .
Bibliografia _ Kirby, Robion (1979). „Rozmaitości mazurskie” . Matematyka Michigan. J. _ 26 (3): 259–284. doi : 10.1307/mmj/1029002261 . MR 0544597 .
Bibliografia _ Harer, John L. (1981). „Niektóre przestrzenie soczewek homologii, które ograniczały racjonalne kule homologii” . Pacific J. Matematyka. 96 (1): 23–36. doi : 10.2140/pjm.1981.96.23 . MR 0634760 .
^ Zmienny, Henry Clay (1984). „Węzły, 3-kulki homologii Z i kurczliwe 4-rozmaitości”. Houston J. Matematyka . 10 (4): 467–493. MR 0774711 .
^ R.Stern (1978). „Niektóre sfery Brieskorna, które wiązały kurczliwe rozmaitości”. Uwagi Amer. Matematyka soc . 25 .
^ Akbulut, Selman (1991). „Fałszywy kompaktowy kurczliwy 4-kolektor” . J. Geometria różniczkowa. 33 (2): 335–356. doi : 10.4310/jdg/1214446320 . MR 1094459 .
Bibliografia _ Stern, Ronald J. (1981). „Egzotyczna swobodna inwolucja na ${\ displaystyle S ^ {4}}$ ”. Ann. z matematyki. 113 (2): 357–365. doi : 10.2307/2006987 . JSTOR 2006987 . MR 0607896 .
^ Kervaire, Michel A. (1969). „Gładkie sfery homologii i ich podstawowe grupy” . Trans. Amer. Matematyka soc. 144 : 67–72. doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0253347-3 . MR 0253347 .

Rolfsen, Dale (1990), Węzły i linki. Poprawiony przedruk oryginału z 1976 roku. , Seria wykładów z matematyki, tom. 7, Houston, TX: Publish or Perish, Inc., s. 355–357, rozdział 11E, ISBN 0-914098-16-0 , MR 1277811

[1] Mazur, Barry (1961). „Uwaga na temat niektórych kurczliwych 4-rozmaitości”. Ann. z matematyki. 73 (1): 221–228. doi : 10.2307/1970288 . JSTOR 1970288 . MR 0125574 .

[2] Poenaru, Valentin (1960). „Les decompositions de l'hypercube en produit topologique” . Byk. soc. Matematyka Francja . 88 : 113–129. doi : 10.24033/bsmf.1546 . MR 0125572 .

[3] Bibliografia _ Kirby, Robion (1979). „Rozmaitości mazurskie” . Matematyka Michigan. J. _ 26 (3): 259–284. doi : 10.1307/mmj/1029002261 . MR 0544597 .

[4] Bibliografia _ Harer, John L. (1981). „Niektóre przestrzenie soczewek homologii, które ograniczały racjonalne kule homologii” . Pacific J. Matematyka. 96 (1): 23–36. doi : 10.2140/pjm.1981.96.23 . MR 0634760 .

[5] Zmienny, Henry Clay (1984). „Węzły, 3-kulki homologii Z i kurczliwe 4-rozmaitości”. Houston J. Matematyka . 10 (4): 467–493. MR 0774711 .

[6] R.Stern (1978). „Niektóre sfery Brieskorna, które wiązały kurczliwe rozmaitości”. Uwagi Amer. Matematyka soc . 25 .

[7] Akbulut, Selman (1991). „Fałszywy kompaktowy kurczliwy 4-kolektor” . J. Geometria różniczkowa. 33 (2): 335–356. doi : 10.4310/jdg/1214446320 . MR 1094459 .

[8] Bibliografia _ Stern, Ronald J. (1981). „Egzotyczna swobodna inwolucja na ${\ displaystyle S ^ {4}}$ ”. Ann. z matematyki. 113 (2): 357–365. doi : 10.2307/2006987 . JSTOR 2006987 . MR 0607896 .

[9] Kervaire, Michel A. (1969). „Gładkie sfery homologii i ich podstawowe grupy” . Trans. Amer. Matematyka soc. 144 : 67–72. doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0253347-3 . MR 0253347 .