Uogólniona hipoteza Poincarégo

W matematycznym obszarze topologii uogólniona hipoteza Poincarégo jest stwierdzeniem, że rozmaitość będąca kulą homotopii jest kulą . Dokładniej, ustala się kategorię rozmaitości: topologiczną ( Top ), odcinkowo liniową ( PL ) lub różniczkowalną ( Diff ). Następnie stwierdzenie jest

Każda sfera homotopii (zamknięta n -rozmaitość będąca homotopią równoważną n - sferze ) w wybranej kategorii (tj. rozmaitości topologiczne, rozmaitości PL lub rozmaitości gładkie) jest izomorficzna w wybranej kategorii (tj. homeomorficzna, PL-izomorficzna lub diffeomorphic) do standardowej n -sfery.

Nazwa wywodzi się z hipotezy Poincarégo , która została stworzona dla rozmaitości (topologicznych lub PL) o wymiarze 3, gdzie bycie sferą homotopii jest równoznaczne z byciem po prostu połączonym i zamkniętym . Wiadomo, że uogólniona hipoteza Poincarégo jest w wielu przypadkach prawdziwa lub fałszywa, dzięki pracy wielu wybitnych topologów, w tym laureatów medalu Fieldsa , Johna Milnora , Steve'a Smale'a , Michaela Freedmana i Grigorija Perelmana .

Status

Oto podsumowanie statusu uogólnionej hipotezy Poincarégo w różnych ustawieniach.

Góra : prawdziwa we wszystkich wymiarach.
PL : prawdziwe w wymiarach innych niż 4; nieznany w wymiarze 4, gdzie jest równoważny z Diff.
Diff : generalnie fałsz, pierwszy znany kontrprzykład jest w wymiarze 7. Prawda w niektórych wymiarach, w tym 1, 2, 3, 5, 6, 12, 56 i 61. Przypadek wymiaru 4 jest równoważny z PL i jest nierozstrzygnięty od 2022 r. Poprzednia lista zawiera wszystkie wymiary nieparzyste i wszystkie wymiary parzyste między 6 a 62, dla których przypuszczenie jest prawdziwe; może to $przypuszcza$ prawdą w przypadku niektórych dodatkowych parzystych wymiarów, się, że tak nie jest.

Tak więc prawdziwość przypuszczeń Poincarégo zmienia się w zależności od kategorii, w której jest sformułowana. Bardziej ogólnie pojęcie izomorfizmu różni się między kategoriami Top, PL i Diff. Jest taki sam w wymiarze 3 i poniżej. W wymiarze 4 PL i Diff zgadzają się, ale góra jest inna. W wymiarach powyżej 6 wszystkie się różnią. W wymiarach 5 i 6 każda rozmaitość PL dopuszcza nieskończenie różniczkowalną strukturę, która jest tak zwana kompatybilna z Whiteheadem .

Historia

Przypadki n = 1 i 2 są od dawna znane z klasyfikacji rozmaitości w tych wymiarach.

W przypadku PL lub gładkiej homotopii n-sfery w 1960 roku Stephen Smale udowodnił , że $\ geq 7}$ ona homeomorficzna z - sferą a następnie rozszerzył swój dowód na $geq 5}$ ${\ displaystyle n$ ; otrzymał Medal Fieldsa za swoją pracę w 1966 roku. Wkrótce po ogłoszeniu przez Smale'a dowodu, John Stallings przedstawił inny dowód dla wymiarów co najmniej 7, że homotopia n -sfery PL jest homeomorficzna z n -sferą, używając pojęcia „ pochłaniający". EC Zeeman zmodyfikował konstrukcję Stallinga, aby działała w wymiarach 5 i 6. W 1962 roku Smale udowodnił, że homotopia n -sfery PL jest izomorficzna PL ze standardową n -sferą PL dla n co najmniej 5. W 1966 roku MHA Newman rozszerzył pochłanianie PL do sytuacji topologicznej i udowodnił, że dla $topologicznej$ n -sfera jest z n -sferą

Michael Freedman rozwiązał przypadek topologiczny w 1982 r. I otrzymał Medal Fieldsa w 1986 r. Początkowy dowód składał się z 50-stronicowego zarysu, w którym $brakowało$ Freedman wygłosił wówczas serię wykładów, przekonując ekspertów, że dowód jest poprawny. Projekt mający na celu stworzenie pisemnej wersji dowodu z tłem i wypełnionymi wszystkimi szczegółami rozpoczął się w 2013 roku przy wsparciu Freedmana. Wyniki projektu, pod redakcją Stefana Behrensa, Boldizsara Kalmara, Min Hoon Kima, Marka Powella i Arunimy Ray, z udziałem 20 matematyków, zostały opublikowane w sierpniu 2021 r. w formie 496-stronicowej książki The Disc Embedding Theorem .

Grigori Perelman rozwiązał przypadek (gdzie wszystkie przypadki topologiczne, PL i $się ) w 2003$ w sekwencji trzech artykułów Zaproponowano mu Medal Fieldsa w sierpniu 2006 r. I Nagrodę Milenijną od Clay Mathematics Institute w marcu 2010 r., Ale odmówił obu.

Egzotyczne sfery

Uogólniona hipoteza Poincarégo jest topologicznie prawdziwa, ale fałszywa płynnie w niektórych wymiarach. Powoduje to konstrukcje rozmaitości, które są homeomorficzne, ale nie dyfeomorficzne, względem sfery standardowej, które są znane jako sfery egzotyczne : można je interpretować jako niestandardowe gładkie struktury na standardowej (topologicznej) sferze.

Zatem sfery homotopii , które wytworzył John Milnor, są homeomorficzne (izomorficzne z góry, a nawet częściowo liniowe homeomorficzne) ze standardową kulą , ale nie są z nią dyfeomorficzne (izomorficzne z różnicą) i ${\ displaystyle S ^ {n}}$ są zatem sferami egzotycznymi : można je interpretować jako niestandardowe struktury różniczkowalne na standardowej kuli.

Michel Kervaire i Milnor wykazali, że zorientowana 7-sfera ma 28 = A001676 (7) różnych gładkich struktur (lub 15 ignorując orientacje), aw wyższych wymiarach na kuli jest zwykle wiele różnych gładkich struktur. Podejrzewa się, że pewne różniczkowalne struktury na 4-sferze, zwane skrętami Glucka , nie są izomorficzne ze standardową, ale w tej chwili nie są znane niezmienniki zdolne do rozróżnienia różnych gładkich struktur na 4-sferze.

PL

W przypadku odcinkowych rozmaitości liniowych hipoteza Poincarégo jest prawdziwa, z wyjątkiem prawdopodobnie wymiaru 4, gdzie odpowiedź jest nieznana, i jest równoważna gładkiemu przypadkowi. Innymi słowy, każda zwarta rozmaitość PL o wymiarze nierównym 4, która jest homotopią równoważną kuli, jest PL izomorficzna ze sferą.