Fałszywa płaszczyzna projekcyjna

W matematyce fałszywa płaszczyzna rzutowa (lub powierzchnia Mumforda ) jest jedną z 50 złożonych powierzchni algebraicznych , które mają takie same liczby Bettiego jak płaszczyzna rzutowa , ale nie są z nią izomorficzne . Takimi obiektami są zawsze powierzchnie algebraiczne typu ogólnego .

Historia

₀ Severi zapytał, czy istnieje złożona powierzchnia homeomorficzna względem płaszczyzny rzutowej, ale nie biholomorficzna względem niej. Yau (1977) wykazał, że taka powierzchnia nie istnieje, więc najbliższym przybliżeniem płaszczyzny rzutowej byłaby powierzchnia o tych samych liczbach Bettiego ( b , b ₁ , b ₂ , b ₃ , b ₄ ) = (1 ,0,1,0,1) jako płaszczyznę rzutową. Pierwszy przykład został znaleziony przez Mumforda (1979) przy użyciu uniformizacji p-adycznej wprowadzonej niezależnie przez Kuriharę i Mustafina. Mumford zauważył również, że wynik Yau wraz z twierdzeniem Weila o sztywności dyskretnych współzwartych podgrup PU (1,2) implikuje, że istnieje tylko skończona liczba fałszywych płaszczyzn rzutowych. Ishida i Kato (1998) znaleźli jeszcze dwa przykłady, stosując podobne metody, a Keum (2006) znalazł przykład z automorfizmem rzędu 7, który jest biracjonalny do cyklicznego pokrycia stopnia 7 powierzchni Dolgaczowa . Prasad i Yeung (2007) , Prasad i Yeung (2010) znaleźli systematyczny sposób klasyfikowania wszystkich fałszywych płaszczyzn rzutowych, pokazując, że istnieje dwadzieścia osiem klas, z których każda zawiera przynajmniej przykład fałszywej płaszczyzny rzutowej aż do izometrii, i że może istnieć co najwyżej pięć innych klas, które, jak później wykazano, nie istnieją. Problem wylistowania wszystkich fałszywych płaszczyzn rzutowych sprowadza się do wylistowania wszystkich podgrup o odpowiednim indeksie jawnie podanej sieci powiązanej z każdą klasą. Rozszerzając te obliczenia, Cartwright i Steger (2010) wykazali, że dwadzieścia osiem klas wyczerpuje wszystkie możliwości fałszywych płaszczyzn rzutowych i że w sumie istnieje 50 przykładów określonych do izometrii lub 100 fałszywych płaszczyzn rzutowych do biholomorfizmu.

^{, jak powierzchnia}^minimalna innego typu, musi mieć liczby Bettiego albo płaszczyzny rzutowej ^P2 , albo kwadratu P1 × P1 . Shavel (1978) skonstruował kilka „fałszywych kwadryk”: powierzchnie ogólnego typu z tymi samymi liczbami Bettiego co kwadryki. Powierzchnie Beauville dają dalsze przykłady.

Wyższe wymiarowe analogi fałszywych powierzchni rzutowych nazywane są fałszywymi przestrzeniami rzutowymi .

Podstawowa grupa

W wyniku prac Aubina i Yau nad rozwiązaniem hipotezy Calabiego w przypadku ujemnej krzywizny Ricciego, patrz Yau ( 1977 , 1978 ), każda fałszywa płaszczyzna rzutowa jest ilorazem złożonej kuli jednostkowej w 2 wymiarach przez dyskretną podgrupę , która jest podstawową grupą fałszywej płaszczyzny rzutowej. Ta grupa podstawowa musi zatem być wolną od skrętu i współzwartą dyskretną podgrupą PU(2,1) o charakterystyce Eulera-Poincarégo 3. Klingler (2003) i Yeung (2004) wykazali, że ta grupa podstawowa musi być również grupą arytmetyczną . Silne wyniki sztywności Mostowa sugerują, że grupa podstawowa określa fałszywą płaszczyznę, w silnym sensie, że każda zwarta powierzchnia z tą samą grupą podstawową musi być względem niej izometryczna.

Dwie fałszywe płaszczyzny rzutowe są definiowane jako należące do tej samej klasy , jeśli obie ich podstawowe grupy są zawarte w tej samej maksymalnej arytmetycznej podgrupie automorfizmów kuli jednostkowej. Prasad i Yeung (2007) , Prasad i Yeung (2010) użyli formuły objętości dla grup arytmetycznych z ( Prasad 1989 ), aby wymienić 28 niepustych klas fałszywych płaszczyzn rzutowych i pokazać, że może być co najwyżej pięć dodatkowych klas, które nie są oczekuje się, że istnieje. (Zobacz dodatek do artykułu, w którym dopracowano klasyfikację i poprawiono niektóre błędy w oryginalnym artykule). Cartwright i Steger (2010) potwierdzili, że pięć dodatkowych klas rzeczywiście nie istnieje i wymienili wszystkie możliwości w ramach dwudziestu ośmiu klas. Istnieje dokładnie 50 fałszywych płaszczyzn rzutowych sklasyfikowanych do izometrii, a zatem 100 różnych fałszywych płaszczyzn rzutowych sklasyfikowanych do biholomorfizmu.

Podstawową grupą fałszywej płaszczyzny rzutowej jest podgrupa arytmetyczna PU(2,1). Wpisz k dla powiązanego pola liczbowego (ciało całkowicie rzeczywiste) i G dla powiązanej k -formy PU(2,1). Jeśli l jest kwadratowym rozszerzeniem k , w którym G jest formą wewnętrzną, to l jest polem całkowicie urojonym. Istnieje algebra dzielenia D ze środkiem l i stopniem nad l 3 lub 1, z inwolucją drugiego rodzaju, która ogranicza się do nietrywialnego automorfizmu l po k i nietrywialną formą hermitowską na module nad D o wymiarze 1 lub 3 takie, że G jest specjalną grupą unitarną tej formy hermitowskiej. (W konsekwencji Prasad & Yeung (2007) oraz pracy Cartwrighta i Stegera, D ma stopień 3 nad l , a moduł ma wymiar 1 nad D .) Istnieje jedno rzeczywiste miejsce k takie , że punkty G tworzą a kopia PU(2,1), a nad wszystkimi innymi miejscami rzeczywistymi k tworzą zwartą grupę PU(3).

Na podstawie wyników Prasad & Yeung (2007) grupa automorfizmów fałszywej płaszczyzny rzutowej jest albo cykliczna rzędu 1, 3 lub 7, albo niecykliczna grupa rzędu 9, albo nieabelowa grupa rzędu 21 Ilorazy fałszywych płaszczyzn rzutowych tych grup badali Keum (2008) , a także Cartwright i Steger (2010) .

Lista 50 fałszywych samolotów projekcyjnych

k	l	T	indeks	Fałszywe płaszczyzny rzutowe
Q	Q( √ −1 )	5	3	3 fałszywe samoloty w 3 klasach
	Q( √ −2 )	3	3	3 fałszywe samoloty w 3 klasach
	Q( √ −7 )	2	21	7 fałszywych samolotów w 2 klasach. Jedna z tych klas zawiera przykłady Mumford i Keum.
		2, 3	3	4 fałszywe samoloty w 2 klasach
		2, 5	1	2 fałszywe samoloty w 2 klasach
	Q( √ −15 )	2	3	10 fałszywych samolotów w 4 klasach, w tym egzemplarze ufundowane przez Ishidę i Kato.
	Q( √ −23 )	2	1	2 fałszywe samoloty w 2 klasach
Q( √ 2 )	Q( √ −7+4 √ 2 )	2	3	2 fałszywe samoloty w 2 klasach
Q( √ 5 )	Q( √ 5 , ζ ₃ )	2	9	7 fałszywych samolotów w 2 klasach
Q( √ 6 )	Q( √ 6 ,ζ ₃ )	2 lub 2,3	1 lub 3 lub 9	5 fałszywych samolotów w 3 klasach
Q( √ 7 )	Q( √ 7 ,ζ ₄ )	2 lub 3,3	21 lub 3,3	5 fałszywych samolotów w 3 klasach

k jest całkowicie rzeczywistym polem.
l jest całkowicie wyimaginowanym rozszerzeniem kwadratowym k , a ζ ₃ jest pierwiastkiem sześciennym z 1.
T jest zbiorem liczb pierwszych k , gdzie pewna lokalna podgrupa nie jest hiperspecjalna.
indeks jest indeksem grupy podstawowej w pewnej grupie arytmetycznej.

Cartwright, Donald I.; Steger, Tim (2010), „Wyliczenie 50 fałszywych płaszczyzn rzutowych”, Comptes Rendus Mathématique , 348 (1): 11–13, doi : 10.1016/j.crma.2009.11.016
Ishida, Masa-Nori; Kato, Fumiharu (1998), „Twierdzenie o silnej sztywności dla uniformizacji niearchimedesowej”, The Tohoku Mathematical Journal , druga seria, 50 (4): 537–555, doi : 10,2748 / tmj / 1178224897 , MR 1653430
Keum, JongHae (2006), „Fałszywa płaszczyzna rzutowa z automorfizmem rzędu 7”, Topologia , 45 (5): 919–927, arXiv : math / 0505339 , doi : 10.1016 / j.top.2006.06.006 , MR 2239523 , S2CID 15052978
Keum, JongHae (2008), „Ilorazy fałszywych płaszczyzn rzutowych”, Geometry & Topology , 12 (4): 2497–2515, arXiv : 0802,3435 , doi : 10,2140/gt.2008.12.2497 , MR 2443971 , S2CID 14476192
Klingler, Bruno (2003), „Sur la sztywne grupy fondamentaux, l'arithméticité des réseaux hyperboliques complexes, et les faux plany projectifs”, Inventiones Mathematicae , 153 (1): 105–143, Bibcode : 2003InMat.153 .. 105K , doi : 10.1007/s00222-002-0283-2 , MR 1990668 , S2CID 120268251
Kulikow, Wik. S.; Kharlamov, VM (2002), „O rzeczywistości na sztywnych powierzchniach”, Izvestiya: Mathematics , 66 (1): 133–150, arxiv : Math/0101098 , Bibcode : 2002izmat..66..133K , doi : 10.1070/IM2002V066N101ABEH0003744444444444444444444444444444441414 , MR 1917540
Mumford, David (1979), „Powierzchnia algebraiczna z K ample, (K ² ) = 9, p _g = q = 0” , American Journal of Mathematics , 101 (1): 233–244, doi : 10,2307/2373947 , JSTOR 2373947 , MR 0527834
Prasad, Gopal (1989), „Tomy S-arytmetycznych ilorazów grup półprostych” , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 69 (69): 91–117, doi : 10.1007 / BF02698841 , MR 1019962 , S2CID 53556391
Prasad, Gopal; Yeung, Sai-Kee (2007), „Fałszywe płaszczyzny rzutowe” , Inventiones Mathematicae , 168 (2): 321–370, arXiv : math / 0512115 , Bibcode : 2007InMat.168..321P , doi : 10.1007/s00222-007- 0034-5 , MR 2289867 , S2CID 1990160
Prasad, Gopal; Yeung, Sai-Kee (2010), „Dodatek do„ Fałszywych płaszczyzn rzutowych ” , Inventiones Mathematicae , 182 (1): 213–227, arXiv : 0906,4932 , Bibcode : 2010InMat.182..213P , doi : 10.1007/s00222- 010-0259-6 , MR 2672284 , S2CID 17216453
Rémy, R. (2007), Covolume des groupes S-arithmétiques et faux plany projectifs (d'après Mumford, Prasad, Klingler, Yeung, Prasad-Yeung) (PDF) , Séminaire Bourbaki, tom. 984, zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 09.06.2011 , pobrane 08.05.2009
Shavel, Ira H. (1978), „Klasa powierzchni algebraicznych ogólnego typu zbudowana z algebr kwaternionów” , Pacific Journal of Mathematics , 76 (1): 221–245, doi : 10.2140 / pjm.1978.76.221 , MR 0572981
Yau, Shing Tung (1977), „Przypuszczenie Calabiego i kilka nowych wyników w geometrii algebraicznej”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 74 (5): 1798–1799, Bibcode : 1977PNAS ... 74,1798 Y , doi : 10.1073/pnas.74.5.1798 , JSTOR 67110 , MR 0451180 , PMC 431004 , PMID 16592394
Yau , Shing Tung ( 1978 ) _ .3160310304 , MR 0480350
Yeung, Sai-Kee (2004), „Integralność i arytmetyka współzwartej sieci odpowiadającej pewnym złożonym ilorazom dwóch kul Picarda numer jeden” , The Asian Journal of Mathematics , 8 (1): 107–129, doi : 10,4310 /ajm.2004.v8.n1.a9 , MR 2128300
Yeung, Sai-Kee (2010), „Klasyfikacja fałszywych płaszczyzn rzutowych” , Podręcznik analizy geometrycznej, nr 2 , Adv. Wykład. Matematyka (ALM), cz. 13, Int. Prasa, Somerville, MA, s. 391–431, MR 2761486

Linki zewnętrzne

Prasad, Gopal, fałszywe przestrzenie rzutowe