klasa Todda

W matematyce klasa Todda jest pewną konstrukcją uznawaną obecnie za część teorii topologii algebraicznej klas charakterystycznych . Klasę Todda wiązki wektorów można zdefiniować za pomocą teorii klas Cherna i można ją spotkać tam, gdzie istnieją klasy Cherna - zwłaszcza w topologii różniczkowej , teorii rozmaitości zespolonych i geometrii algebraicznej . Mówiąc z grubsza, klasa Todda zachowuje się jak odwrotność klasy Cherna lub pozostaje w stosunku do niej tak, jak wiązka konormalna do wiązki normalnej .

Klasa Todda odgrywa fundamentalną rolę w uogólnianiu klasycznego twierdzenia Riemanna – Rocha na wyższe wymiary, w twierdzeniu Hirzebrucha – Riemanna – Rocha i twierdzeniu Grothendiecka – Hirzebrucha – Riemanna – Rocha .

Historia

Jej nazwa pochodzi od JA Todda , który wprowadził specjalny przypadek pojęcia w geometrii algebraicznej w 1937 r., zanim zdefiniowano klasy Cherna. Zaangażowana idea geometryczna jest czasami nazywana klasą Todda-Egera . Ogólna definicja w wyższych wymiarach pochodzi od Friedricha Hirzebrucha .

Definicja

Aby zdefiniować klasę Todda ${\ Displaystyle \ operatorname {td} (E)}$ $jest$ złożoną $wiązką$ wektorów w topologicznej , zwykle możliwe jest ograniczyć definicję do przypadku sumy wiązek liniowych Whitneya za pomocą ogólnego mechanizmu charakterystycznej teorii klas, wykorzystania pierwiastków Cherna (inaczej zasady podziału ). Dla definicji niech

{\ Displaystyle Q (x) = {\ Frac {x} {1-e ^ {- x}}} = 1 + {\ dfrac {x} {2}} + \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty }{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}x^{2i}=1+{\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {x^{2}}{12} }-{\dfrac {x^{4}}{720}}+\cdots}

będzie formalnym szeregiem potęgowym ${n + 1}} wynosi$ właściwością, że współczynnik { $^$ , gdzie $}}$ i oznacza $Bernoulliego$ liczbę . Rozważ $_$ produkcie

{\ Displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {m} Q (\ beta _ {i} x) \}

dla każdego ${\ Displaystyle m> j}$ . Jest to symetryczne w $jednorodne$ pod względem wagi $więc$ można je wyrazić jako wielomian $, \ ldots, p_ {j})}$ ${\$ $displaystyle \ operatorname {td} _ {j} (p_$ w funkcjach symetrycznych β ${\ Displaystyle \ beta _ {i}}$ s. Następnie definiuje $wielomiany$ Todda : tworzą one $sekwencję$ multiplikatywną szeregami potęg

Jeśli ma korzenie Cherna jako korzenie , to klasa Todd mi $i}}$ ${$

{\ Displaystyle \ operatorname {td} (E) = \ prod Q (\ alfa _ {i})}

który ma być obliczony w pierścieniu kohomologii ( $lub w jego zakończeniu$ jeśli chce się rozważyć rozmaitości nieskończenie wymiarowe).

Klasę Todda można podać jawnie jako formalny szereg potęgowy w klasach Cherna w następujący sposób:

{\ Displaystyle \ operatorname {td} (E) = 1 + {\ Frac {c_ {1}} {2}} + {\ Frac {c_ {1} ^ {2} + c_ {2}} {12}} +{\frac {c_{1}c_{2}}{24}}+{\frac {-c_{1}^{4}+4c_{1}^{2}c_{2}+c_{1} c_{3}+3c_{2}^{2}-c_{4}}{720}}+\cdots }

$}$ klasy kohomologii są klasami Cherna i $} (X)$ w grupie kohomologii ${$ . Jeśli $i$ $skończony$ wymiarowo, to większość terminów znika Cherna

Własności klasy Todda

Klasa Todda jest multiplikatywna:

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {td} (E \ oplus F) = \ nazwa operatora {td} (E) \ cdot \ nazwa operatora {td} (F).}

Niech będzie podstawową klasą przekroju hiperpłaszczyzny ${\ Displaystyle \ xi \ w H ^ {2} ({\ mathbb {C}} P ^ {n})}$ Z multiplikatywności i dokładnej sekwencji Eulera dla wiązki stycznej do ${n}}$

{\ Displaystyle 0 \ do {\ mathcal {O}} \ do {\ mathcal {O}} (1) ^ {n + 1} \ do T{\mathbb {C}}P^{n}\do 0,}

jeden uzyskuje

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {td} (T {\ mathbb {C}} P ^ {n}) = \ lewo ({\ dfrac {\ xi} {1-e ^ {- \ xi}}} \ prawej) ^ {n+1}.}

Obliczenia klasy Todda

Dla dowolnej krzywej algebraicznej $klasa$ to po prostu ${\ Displaystyle \ operatorname {td} (X) = 1 + c_ {1} (T_ {1} X})}$ . Ponieważ ${1} (T_ {X})}$ $rzutowy$ można go osadzić w pewnym $T$ znaleźć do stosując normalną sekwencję

${\ Displaystyle 0 \ do T_ {X} \ do T _ {\ mathbb {P}} ^ {n} | _ {X} \ do N_ {X / \ mathbb {P} ^ { n}}\do 0}$

i właściwości klas Cherna. Na przykład, jeśli mamy krzywą płaszczyzny stopnia $,$ stwierdzimy, że całkowita klasa Chern to ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} c (T_ {C}) & = {\ Frac {c (T _ {\ mathbb {P} ^ {2}} | _ {C })}{c(N_{C/\mathbb {P} ^{2}})}}\\&={\frac {1+3[H]}{1+d[H]}}\\& =(1+3[H])(1-d[H])\\&=1+(3-d)[H]\end{wyrównane}}}$