Izogenia
W matematyce, w szczególności w geometrii algebraicznej, izogenia jest morfizmem grup algebraicznych ( znanych również jako odmiany grupowe), który jest suriekcyjny i ma skończone jądro .
Jeśli grupy są rozmaitościami abelowymi , to każdy morfizm f : A → B bazowych rozmaitości algebraicznych, który jest suriekcją ze skończonymi włóknami , jest automatycznie izogenią, pod warunkiem, że f (1 A ) = 1 B . Taka izogenia f zapewnia zatem homomorfizm grupowy między grupami k -wartościowych punktów A i B , dla dowolnego pola k na którym f jest zdefiniowana.
Terminy „izogeniczny” i „izogeniczny” pochodzą od greckiego słowa ισογενη-ς, oznaczającego „równy rodzaj lub naturę”. Termin „izogenia” został wprowadzony przez Weila ; wcześniej termin „izomorfizm” był nieco myląco używany w odniesieniu do tego, co obecnie nazywa się izogenią.
Przypadek odmian abelowych
W przypadku odmian abelowych , takich jak krzywe eliptyczne , pojęcie to można również sformułować w następujący sposób:
Niech E 1 i E 2 będą odmianami abelowymi tego samego wymiaru na polu k . Izogenia między E 1 i E 2 jest gęstym morfizmem f : E f → E 2 1 rozmaitości, który zachowuje punkty bazowe (tj. odwzorowuje punkt tożsamości na E 1 na ten na E 2 ).
Jest to równoważne z powyższym pojęciem, ponieważ każdy gęsty morfizm między dwiema odmianami abelowymi tego samego wymiaru jest automatycznie suriekcją ze skończonymi włóknami, a jeśli zachowuje tożsamości, to jest homomorfizmem grup.
Dwie odmiany abelowe E 1 i E 2 nazywane są izogenicznymi , jeśli istnieje izogenia E 1 → E 2 . Można to wykazać jako relację równoważności; w przypadku krzywych eliptycznych symetria wynika z istnienia podwójnej izogenii . Jak wyżej, każda izogenia indukuje homomorfizmy grup punktów o wartościach k rozmaitości abelowych.
Zobacz też
- Lang, Serge (1983). Odmiany abelowe . Springer Verlag. ISBN 3-540-90875-7 .
- Mumford, David (1974). Odmiany abelowe . Oxford University Press. ISBN 0-19-560528-4 .