Przykład Hironaki

W geometrii przykładem Hironaki jest złożona rozmaitość inna niż Kähler, która jest deformacją rozmaitości Kählera znalezioną przez Heisuke Hironaka ( 1960 , 1962 ). Przykład Hironaki można wykorzystać do wykazania, że ​​kilka innych wiarygodnych stwierdzeń dotyczących gładkich odmian wymiaru co najwyżej 2 zawodzi w przypadku gładkich odmian wymiaru co najmniej 3.

Przykład Hironaki

Weź dwie gładkie krzywe C i D w gładkim rzutowym 3-krotnym P , przecinające się w dwóch punktach c i d , które są węzłami redukowalnej krzywej do $\ displaystyle C \ kubek D}$ . W przypadku niektórych zastosowań należy je wybrać tak, aby istniał automorfizm wolny od punktów stałych, wymieniający krzywe C i D , a także wymieniający punkty c i d . Przykład Hironaki V uzyskuje się przez sklejenie dwóch quasi-rzutowych odmian i ${\ Displaystyle V_ {1}}$ i ${\ Displaystyle V_ {2}}$ . Niech będzie różnorodnością uzyskaną przez wysadzenie wzdłuż , a $następnie$ wzdłuż ścisłej transformacji $\ setminus$$}$$c$ i niech $uzyskaną$ przez wysadzenie ${\ Displaystyle P \ setminus d}$ wzdłuż D , a następnie wzdłuż ścisłej transformacji C . Ponieważ są $.$ nad je skleić, co V Wtedy V ma dwie gładkie krzywe wymierne L i M leżące nad c i d takie, że ${\ Displaystyle L + M}$ jest algebraicznie równoważne 0, więc V nie może być rzutowe.

Aby uzyskać wyraźny przykład tej konfiguracji, przyjmij, że t jest punktem rzędu 2 na krzywej eliptycznej mi , przyjmij, że P jest ${\ Displaystyle E \ razy E / (t ) \ razy E / (t)}$ , weź C i D jako zbiory punktów postaci ${\ Displaystyle (x, x, 0)}$ i $_$ _ _ _ _ _ $_$ _ weź inwolucję σ za tę, która bierze ${\ Displaystyle (x, y, z)}$ do ${\ Displaystyle (x + t, z, y)}$ .

Kompletna odmiana abstrakcyjna, która nie jest projekcyjna

Rozmaitość Hironaki jest gładką trójwymiarową kompletną rozmaitością, ale nie jest rzutowa, ponieważ ma nietrywialną krzywą algebraicznie równoważną 0. Każda dwuwymiarowa gładka kompletna rozmaitość jest rzutowa, więc 3 jest najmniejszym możliwym wymiarem dla takiego przykładu. Istnieje wiele dwuwymiarowych złożonych rozmaitości, które nie są algebraiczne, takich jak powierzchnie Hopfa (nie Kähler) i niealgebraiczne torusy (Kähler).

Efektywny cykl algebraicznie równoważny 0

W odmianie rzutowej niezerowy efektywny cykl ma niezerowy stopień, więc nie może być algebraicznie równoważny 0. W przykładzie Hironaki efektywny cykl składający się z dwóch wyjątkowych krzywych jest algebraicznie równoważny 0.

Odkształcenie rozmaitości Kählera, które nie jest rozmaitością Kählera

Jeśli pozwolimy, aby jedna z krzywych D w konstrukcji Hironaki zmieniała się w rodzinie tak, że większość krzywych tej rodziny nie przecina D , to otrzymujemy rodzinę rozmaitości, z których większość jest rzutowa, a jedna nie. W przypadku liczb zespolonych daje to deformację gładkich odmian Kählera (w rzeczywistości rzutowych), które nie są Kählerem. Ta rodzina jest trywialna w kategorii gładkiej, więc w szczególności istnieją gładkie, zwarte, trójwymiarowe rozmaitości zespolone Kählera i innych niż Kähler, które są dyfeomorficzne.

Gładka przestrzeń algebraiczna, która nie jest schematem

Wybierz C i D tak, aby P miał automorfizm σ rzędu 2, działając swobodnie na P i wymieniając C i D , a także wymieniając c i d . Wtedy iloraz V przez działanie σ jest gładką trójwymiarową przestrzenią algebraiczną z nieredukowalną krzywą algebraicznie równoważną 0. Oznacza to, że iloraz jest gładką trójwymiarową przestrzenią algebraiczną, która nie jest schematem.

Rozmaitość Moishezona, która nie jest odmianą abstrakcyjną

Jeśli poprzednia konstrukcja została wykonana ze złożonymi rozmaitościami, a nie z przestrzeniami algebraicznymi, daje przykład gładkiej, trójwymiarowej, zwartej rozmaitości Moishezona , która nie jest odmianą abstrakcyjną. Rozmaitość Moishezona o wymiarze co najwyżej 2 jest koniecznie rzutowa, więc 3 jest minimalnym możliwym wymiarem dla tego przykładu.

Iloraz schematu przez swobodne działanie skończonej grupy nie musi być schematem

Jest to zasadniczo to samo, co w poprzednich dwóch przykładach. Iloraz istnieje jako schemat, jeśli każda orbita jest zawarta w otwartym podschemacie afinicznym; powyższy kontrprzykład pokazuje, że tego warunku technicznego nie można pominąć.

Skończony podzbiór odmiany nie musi być zawarty w otwartej podzbiorze afinicznej

W przypadku rozmaitości quasi-rzutowych jest oczywiste, że każdy skończony podzbiór jest zawarty w otwartej podrozmaitości afinicznej. Ta właściwość zawodzi w przypadku przykładu Hironaki: zbiór dwupunktowy składający się z punktu na każdej z wyjątkowych krzywych nie jest zawarty w żadnej otwartej podrozmaitości afinicznej.

Odmiana bez schematu Hilberta

Dla odmiany Hironaki V nad liczbami zespolonymi z automorfizmem rzędu 2, jak powyżej, funktor Hilberta Hilb _{V / C} zamkniętych podschematów nie jest reprezentowalny za pomocą schematu, zasadniczo dlatego, że iloraz grupy rzędu 2 nie istnieje jako schemat ( Nitsure 2005 , s. 112). Innymi słowy, daje to przykład gładkiej zupełnej różnorodności, której schemat Hilberta nie istnieje. Grothendieck wykazał, że schemat Hilberta zawsze istnieje dla rozmaitości rzutowych.

Zejście może zawieść dla odpowiednich gładkich morfizmów właściwych schematów

Wybierz nietrywialny torsor Z /2 Z B → A ; na przykład w charakterystyce nie 2 można przyjąć, że A i B są linią afiniczną minus początek z odwzorowaniem od B do A określonym przez x → x ² . Pomyśl o B jako o otwartym pokryciu U dla topologii etale. Jeśli V jest kompletnym schematem z działaniem swobodnym w punkcie stałym grupy rzędu 2, to dane zejścia dla mapy V × B → B są dane przez odpowiedni izomorfizm od V × C do samego siebie, gdzie C = B × _A B = B × Z /2 Z . Taki izomorfizm daje działanie Z / 2Z na V i C. Gdyby ten punkt odniesienia zejścia był skuteczny, wówczas włókna zejścia nad U dawałyby iloraz V przez działanie Z / 2 Z. Więc jeśli ten iloraz nie istnieje jako schemat (jak w powyższym przykładzie), to dane zejścia są nieskuteczne. Zobacz Vistoli ( 2005 , strona 103).

Schemat typu skończonego na polu, w którym nie każda wiązka linii pochodzi od dzielnika

Jeśli X jest schematem typu skończonego na polu, istnieje naturalna mapa od dzielników do wiązek linii. Jeśli X jest albo rzutowe, albo zredukowane, to ta mapa jest surjektywna. Kleiman znalazł przykład niezredukowanego i nierzutowego X , dla którego ta mapa nie jest suriekcją w następujący sposób. Weźmy przykład Hironaki z rozmaitością z dwiema wymiernymi krzywymi A i B takimi, że A + B jest liczbowo równoważne 0. Wtedy X jest dane przez wybranie punktów a i b na A i B oraz wprowadzenie elementów nilpotentnych w tych punktach.

• Hironaka, Heisuke (1960), O teorii birational wysadzenie , Thesis, Harvard
•    Hironaka, Heisuke (1962), „Przykład niekahlerowskiej złożonej analitycznej deformacji złożonych struktur kählerowskich”. Ann. z matematyki. , 2, 75 : 190–208, doi : 10.2307/1970426 , JSTOR 1970426 , MR 0139182
•   Nitsure, Nitin (2005), „Konstrukcja schematów Hilberta i Quota”, Podstawowa geometria algebraiczna , Math. Ankiety Monogr., tom. 123, Providence, RI: Amer. Matematyka Soc., s. 105–137, arXiv : math/0504590 , Bibcode : 2005math......4590N , MR 2223407
•   Vistoli, Angelo (2005), „Topologie Grothendiecka, kategorie światłowodowe i teoria pochodzenia”, Podstawowa geometria algebraiczna , Math. Ankiety Monogr., tom. 123, Providence, RI: Amer. Matematyka Soc., s. 1–104, arXiv : math/0412512 , Bibcode : 2004math.....12512V , MR 2223406

Linki zewnętrzne

• Thiel (2007), przykład kompletnej, ale nieprojekcyjnej odmiany Hironaki (PDF)