Bezpłatna prezentacja

W algebrze swobodna prezentacja modułu M na przemiennym pierścieniu R jest dokładną sekwencją R - modułów:

{\ Displaystyle \ bigoplus _ {i \ w ja} R \ {\ overset {f} {\ do}} \ \ bigoplus _ {j \ \ w J} R \ {\ overset {g} {\ do }} \ M \ do 0.}

Zwróć uwagę, że obraz pod g standardowej podstawy generuje M . W szczególności, jeśli J jest skończony, to M jest skończenie generowanym modułem . Jeśli I i J są zbiorami skończonymi, to prezentacja nazywana jest prezentacją skończoną ; moduł nazywa się skończenie prezentowanym, jeśli dopuszcza skończoną prezentację.

Ponieważ f jest homomorfizmem modułów między wolnymi modułami, można go zwizualizować jako (nieskończoną) macierz z wpisami w R i M jako kojądrem.

Swobodna prezentacja zawsze istnieje: każdy moduł jest ilorazem wolnego modułu: ${\ Displaystyle F \ {\ overset {g} {\ do}} \ M \ do 0}$ , ale wtedy jądro g jest znowu ilorazem wolnego modułu: ${\ Displaystyle F '\ {\ overset {f} {\ do}} \ \ ker g \ do 0}$ . Połączenie f i g jest swobodną prezentacją M . Teraz oczywiście można dalej „rozwiązywać” jądra w ten sposób; wynik nazywa się swobodną rozdzielczością . Tak więc bezpłatna prezentacja jest wczesną częścią bezpłatnej rozdzielczości.

Prezentacja jest przydatna do obliczeń. Na przykład, ponieważ tensorowanie jest dokładne, tensorowanie powyższej prezentacji za pomocą modułu, powiedzmy N , daje:

{\ Displaystyle \ bigoplus _ {i \ w ja} N \ {\ overset {f \ razy 1} {\ do}} \ \bigoplus _{j\in J}N\do M\oraz _{R}N\do 0.}

To mówi, że ${$ kokernel z $Displaystyle M \ otimes _ {R} N$ \ Jeśli N jest R -algebrą , to jest to prezentacja N -modułu ${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} N}$ ; to znaczy prezentacja rozciąga się pod rozszerzeniem podstawy.

funktorów lewostronnych jest na przykład

Twierdzenie — Niech F , G będą lewostronnymi funktorami kontrawariantnymi z kategorii modułów nad przemiennym pierścieniem R do grup abelowych i θ naturalną transformacją z F do G . θ ${\ Displaystyle \ teta: F (R ^ {\ oplus n}) \ do G (R ^ {\ oplus n})$ $naturalnej$ izomorfizmem dla każdej liczby n , M

Dowód: zastosowanie F do skończonej prezentacji daje ${\ Displaystyle R ^ {\ oplus n} \ do R ^ {\ oplus m} \ do M}$

{\ Displaystyle 0 \ do F (M) \ do fa (R ^ {\ oplus m}) \ do fa (R ^ {\ oplus N})}

i to samo dla G. Teraz zastosuj lemat o wężu . ${\ Displaystyle \ kwadrat}$

Zobacz też

Eisenbud, David , Algebra przemienna z widokiem na geometrię algebraiczną , Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 .