Zespół generujący modułu

W matematyce zbiór generujący Γ modułu M na pierścieniu R jest podzbiorem M takim , że najmniejszym modułem podrzędnym M zawierającym Γ jest sam M ( najmniejszy moduł podrzędny zawierający podzbiór to przecięcie wszystkich podmodułów zawierających zbiór). Mówimy wtedy, że zbiór Γ generuje M . Na przykład pierścień R jest generowany przez element tożsamości 1 jako lewe R -moduł nad sobą. Jeśli istnieje skończony zespół generujący, to mówi się, że moduł jest generowany w sposób skończony .

Dotyczy to ideałów , które są podmodułami samego pierścienia. W szczególności ideał główny to ideał, który ma zespół generujący składający się z jednego elementu.

Jawnie, jeśli Γ jest zespołem generującym modułu M , to każdy element M jest (skończoną) R -liniową kombinacją niektórych elementów Γ; tj. dla każdego x w M istnieje r ₁ , ..., rm w R i g ₁ , ..., g _m w Γ takie, _że

{\ Displaystyle x = r_ {1} g_ {1} + \ cdots + r_ {m} g_ {m}.}

Innymi słowy, istnieje surjekcja

{\ Displaystyle \ bigoplus _ {g \ in \ Gamma} R \ do M, \ r_ {g} \ mapsto r_ {g} g,}

gdzie napisaliśmy r _g dla elementu g -tego składnika sumy bezpośredniej. (Przypadkowo, ponieważ zespół prądotwórczy zawsze istnieje, np. M , pokazuje to, że moduł jest ilorazem wolnego modułu , co jest użytecznym faktem).

Mówi się, że zespół generujący modułu jest minimalny , jeśli żaden właściwy podzbiór zestawu nie generuje modułu. Jeśli R jest ciałem , to minimalny zespół generujący jest tym samym, co baza . Jeśli moduł nie jest generowany w sposób skończony , może nie istnieć minimalny zespół prądotwórczy.

Liczność minimalnego zespołu prądotwórczego nie musi być niezmiennikiem modułu; Z jest generowane jako ideał główny przez 1, ale jest również generowane przez, powiedzmy, minimalny zbiór generujący {2, 3 }. To, co jest jednoznacznie określone przez moduł, to infimum liczb generatorów modułu.

Niech R będzie pierścieniem lokalnym z ideałem maksymalnym m i polem reszt k oraz M skończenie generowanym modułem. Następnie lemat Nakayamy mówi, że M ma minimalny zestaw generujący, którego liczność jest ${\ Displaystyle \ dim _ {k} M / mM = \ dim _ {k} M \ czasami _{R}k}$ . Jeśli jest M flat , to ten minimalny zespół prądotwórczy jest liniowo niezależny (więc M jest wolny). Zobacz też: Minimalna rozdzielczość .

Bardziej wyrafinowane informacje uzyskuje się, jeśli weźmie się pod uwagę relacje między generatorami; zobacz Swobodna prezentacja modułu .

Zobacz też

Głupek, Dawid; Foote, Richard. Algebra abstrakcyjna .