Dokładny funktor

Ten artykuł dotyczy dokładnych funktorów w algebrze homologicznej. Aby uzyskać dokładne funktory między zwykłymi kategoriami, zobacz regularna kategoria .

W matematyce , zwłaszcza w algebrze homologicznej , funktor dokładny to taki funktor , który zachowuje krótkie ciągi dokładne . Dokładne funktory są wygodne w obliczeniach algebraicznych, ponieważ można je bezpośrednio zastosować do prezentacji obiektów. Wiele prac w algebrze homologicznej ma na celu radzenie sobie z funktorami, które nie są dokładne, ale w sposób, który nadal można kontrolować.

Definicje

Niech P i Q będą kategoriami abelowymi i niech F : P → Q będzie kowariantnym funktorem addytywnym (tak, aby w szczególności F (0) = 0). Mówimy, że F jest dokładnym funktorem , jeśli kiedykolwiek

${\ Displaystyle 0 \ do A \ {\ stackrel {f} {\ do}} \ B \ {\ stackrel {g} {\ do}} \ C \ do 0$

jest zatem krótkim ciągiem dokładnym w P

${\ Displaystyle 0 \ do F (A) \ {\ stackrel {F (f)} {\ longrightarrow}} \ F(B)\ {\stackrel {F(g)}{\longrightarrow}}\ F(C)\do 0}$

jest krótkim ciągiem dokładnym w Q . (Mapy są często pomijane i sugerowane, a ktoś mówi: „jeśli 0 → A → B → C → 0 jest dokładne, to 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → 0 jest również dokładne ” .)

Dalej mówimy, że F jest

• z dokładnością do lewej, jeśli zawsze, gdy 0 → A → B → C → 0 jest dokładne, to 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) jest dokładne;
• dokładnie, jeśli 0→ A → B → C →0 jest dokładne, to F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → 0 jest dokładne;
• półdokładne, jeśli zawsze, gdy 0→ A → B → C →0 jest dokładne, to F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) jest dokładne. Różni się to od pojęcia topologicznego półdokładnego funktora .

Jeśli G jest kontrawariantnym funktorem addytywnym od P do Q , podobnie definiujemy G jako

• dokładne , jeśli zawsze, gdy 0→ A → B → C →0 jest dokładne, to 0→ G ( C ) → G ( B ) → G ( A ) → 0 jest dokładne;
• z dokładnością do lewej, jeśli zawsze, gdy 0→ A → B → C →0 jest dokładne, to 0→ G ( C ) → G ( B ) → G ( A ) jest dokładne;
• dokładnie, jeśli 0→ A → B → C →0 jest dokładne, to G ( C ) → G ( B ) → G ( A ) → 0 jest dokładne;
• półdokładne, jeśli zawsze, gdy 0→ A → B → C →0 jest dokładne, to G ( C ) → G ( B ) → G ( A ) jest dokładne.

Nie zawsze trzeba zaczynać od całego krótkiego ciągu dokładnego 0 → A → B → C → 0, aby zachować pewną dokładność. Poniższe definicje są równoważne z podanymi powyżej:

• F jest dokładna wtedy i tylko wtedy, gdy A → B → C dokładna implikuje F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) dokładna;
• F jest lewostronnie dokładna wtedy i tylko wtedy, gdy 0→ A → B → C dokładnie implikuje 0→ F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) dokładnie (tj. jeśli „ F zamienia jądra w jądra”);
• F jest dokładnie prawostronna wtedy i tylko wtedy, gdy A → B → C →0 dokładnie implikuje F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → 0 dokładnie (tj. jeśli „ F zamienia kokernel w kokernel”);
• G jest lewostronnie dokładne wtedy i tylko wtedy, gdy A → B → C →0 dokładnie implikuje 0→ G ( C ) → G ( B ) → G ( A ) dokładnie (tj. jeśli „ G zamienia kokerele w jądra”);
• G jest prawostronnie dokładne wtedy i tylko wtedy, gdy 0 → A → B → C dokładnie implikuje G ( C ) → G ( B ) → G ( A ) → 0 dokładnie (tj. jeśli „ G zamienia jądra w kokernele”).

Przykłady

Każda równoważność lub dwoistość kategorii abelowych jest dokładna.

Najbardziej podstawowymi przykładami funktorów lewostronnie dokładnych są funktory Hom : jeśli A jest kategorią abelową i A jest obiektem A , to F _A ( X ) = Hom _A ( A , X ) definiuje kowariantny funktor lewostronny z A do kategorii Ab grup abelowych . Funktor FA jest dokładny wtedy i tylko wtedy, _gdy A jest rzutowy . Funktor G _A ( X ) = Hom _A ( X , A ) jest funktorem kontrawariantnym lewostronnie dokładnym; jest dokładny wtedy i tylko wtedy, gdy A jest iniekcyjne .

Jeśli k jest ciałem , a V jest przestrzenią wektorową nad k , piszemy V * = Hom _k ( V , k ) (jest to powszechnie znane jako przestrzeń dualna ). Daje to kontrawariantny dokładny funktor z kategorii przestrzeni k -wektorowych do siebie. (Dokładność wynika z powyższego: k jest iniekcyjnym k - modułem . Alternatywnie można argumentować, że każda krótka dokładna sekwencja k - przestrzeni wektorowych dzieli się , a dowolny funktor addytywny zamienia rozdzielone sekwencje w sekwencje rozdzielone.)

Jeśli X jest przestrzenią topologiczną , możemy rozważyć kategorię abelową wszystkich snopów grup abelowych na X. Funktor kowariantny, który wiąże z każdym snopkiem F grupę globalnych sekcji F ( X ), jest lewostronny.

Jeśli R jest pierścieniem , a T jest prawym R - modułem , możemy zdefiniować funktor HT z kategorii abelowej wszystkich lewych R -modułów do Ab , używając iloczynu tensorowego po R _: H _T ( X ) = T ⊗ X . To jest kowariantny prawy funktor dokładny; jest dokładny wtedy i tylko wtedy, gdy T jest płaskie . Innymi słowy, biorąc pod uwagę dokładną sekwencję A → B → C → 0 lewych modułów R , sekwencja grup abelowych T ⊗ A → T ⊗ B → T ⊗ C → 0 jest dokładna.

Na przykład ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$$jest$ płaskim . Dlatego tensorowanie z $jako$ modułem $dokładnym$ funktorem. Dowód: wystarczy pokazać, że jeśli $\ displaystyle i: M \ do N}$ jest iniektywną mapą -modules ja $}$ , to odpowiednia mapa między iloczynami tensorowymi Z {\ displaystyle \ mathbb {Z} ${\ Displaystyle M \ otimes \ mathbb {Q} \ do N \ otimes \ mathbb {Q}}$ jest iniekcyjne. Można pokazać, że $otimes q = 0}$$\$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest elementem skrętnym lub ${\ displaystyle q = 0}$ . Podane iloczyny tensorowe mają tylko czyste tensory. Dlatego wystarczy pokazać, że jeśli w jądrze znajduje się czysty $to$ , wynosi zero Załóżmy, że ${\ displaystyle m \ otimes q}$ jest elementem jądra. Wtedy ${\ Displaystyle i (m)}$ jest skręcanie. Ponieważ $iniekcyjny$ , $skręcanie$ . Dlatego ${\ Displaystyle m \ otimes q = 0}$ . Dlatego ${\ Displaystyle M \ otimes \ mathbb {Q} \ do N \ otimes \ mathbb {Q}}$ jest również iniekcyjne.

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli T nie jest płaskie, to iloczyn tensorowy nie jest dokładny. Rozważmy na przykład krótką dokładną sekwencję modułów $twoheadrightarrow \ mathbf {Z} /5\mathbf {Z} }$$5$ . Tensowanie nad $}}$$Z$ daje sekwencję, która nie jest już dokładna $displaystyle \mathbf {Z} /5\mathbf {Z} }$ nie jest wolny od skręcania, a zatem nie jest płaski.

Jeśli A jest kategorią abelową, a C jest dowolną kategorią małą , możemy rozważyć kategorię funktorów A ^C składającą się ze wszystkich funktorów od C do A ; jest abelowy. Jeśli X jest danym obiektem C , to otrzymujemy funktor EX z A ^C do A _, oceniając funktory w X. Ten funktor E _X jest dokładny.

Chociaż tensorowanie może nie być dokładne, można wykazać, że tensorowanie jest właściwym funktorem dokładnym:

Twierdzenie: Niech A , B , C i P będą R -modułami dla pierścienia przemiennego R o tożsamości multiplikatywnej. Niech ${\ Displaystyle A \ {\ stackrel {f} {\ do}} \ B \ {\ stackrel {g} {\ do}} \ C \ do 0} będzie$ dokładną sekwencją modułów R. _ Następnie

${\ Displaystyle A \ otimes _ {R} P {\ stackrel {f \ otimes P} {\ do}} B \ otimes _ {R}P{\stackrel {g\otimes P}{\to}}C\otimes _{R}P\to 0}$

jest również krótkim dokładnym ciągiem R -modułów. (Ponieważ R jest przemienne, sekwencja ta jest sekwencją R -modułów, a nie tylko grup abelowych). Tutaj definiujemy

${\ Displaystyle f \ czasami P (a \ czasami p): = f ( a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p}$ .

Ma to użyteczne następstwo : jeśli I jest ideałem R ${\ Displaystyle P \ czasami _ {R} (R / I) \ cong P/IP}$ a P jest jak powyżej, to P .

Dowód: ${\ Displaystyle I {\ stackrel {f} {\ do}} R {\ stackrel {g} {\ do}} R / I \ do 0} ,$ gdzie f jest inkluzja, a g jest projekcją, jest dokładną sekwencją R -modułów. Z powyższego otrzymujemy, że : ${\ Displaystyle I \ otimes _ {R} P {\ stackrel {f \ otimes P} {\to }}R\otimes _{R}P{\stackrel {g\otimes P}{\to }}R/I\otimes _{R}P\to 0} jest również krótkim dokładnym$ ciągiem R - moduły. Dokładnie $\ Displaystyle R / I \ otimes _ {R}P\cong (R\otimes _{R}P)/Obraz(f\otimes P)=(R\otimes _{R}P)/(I\otimes _{R}P)} ,$ ponieważ f jest inkluzją. Rozważmy teraz homomorfizm modułu R z ${\ Displaystyle R \ otimes _ {R} P \ rightarrow P}$ dany przez R - liniowo rozszerzającą mapę zdefiniowaną na czystych tensorach: ${\ Displaystyle r \ otimes p \ mapsto rp.rp = 0}$ sugeruje, że ${\ displaystyle 0 = rp \ otimes 1 = r \ otimes p}$ . Tak więc jądro tej mapy nie może zawierać żadnych niezerowych czystych tensorów. ${\ Displaystyle R \ otimes _ {R} P}$ składa się tylko z czystych tensorów: dla ${\ Displaystyle x_ {i} \ w R \ suma _ {i} x_ {i} (r_ {i} \ czasami p_ {i}) = \sum _{i}1\otimes (r_{i}x_{i}p_{i})=1\otimes (\sum _{i}r_{i}x_{i}p_{i})}$ . Więc ta mapa jest iniekcyjna. Jest wyraźnie na . $Displaystyle R \ otimes _ {R} P \ cong P}$ \ . Podobnie ja ${\ Displaystyle I \ otimes _ {R} P \ cong IP$ . To potwierdza wniosek.

Jako inne zastosowanie pokazujemy, że dla ${\ Displaystyle P = \ mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \ cong P / k \ mathbf {Z} P.}$ gdzie ${\ Displaystyle k = m/2 ^ {n}}$ i n jest najwyższą potęgą 2 dzielącą m . Udowodnimy szczególny przypadek: m = 12.

Dowód: Rozważmy czysty tensor ${\ Displaystyle (12z) \ czasami (a/2 ^ {k}) \ w (12 \ mathbf {Z } \otimes _{Z}P).(12z)\otimes (a/2^{k})=(3z)\otimes (a/2^{k-2})}$ . Również dla ${\ styl wyświetlania (3z)\otimes (a/2^{k})\in (3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P),(3z)\otimes (a/2^{k})=(12z )\czasami (a/2^{k+2})}$ . To pokazuje, że ${\ Displaystyle (12 \ mathbf {Z} \ otimes _ {Z} P) = (3 \ mathbf {Z} \ otimes _ {Z} P)}$ . P $12\mathbf {Z} }$$\ Displaystyle P = \ mathbf {Z} [1/2], A = 12 \ mathbf {Z}, B=\mathbf {Z} ,C=\mathbf {Z}$ / , A,B,C,P są modułami R = Z wynikającymi ze zwykłego działania mnożenia i spełniają warunki głównego twierdzenia . Z dokładności wynikającej z twierdzenia i powyższej uwagi wynika, że ${\ Displaystyle: \ mathbf {Z} / 12 \ mathbf {Z} \ otimes _ {Z} P \ cong (\ mathbf {Z} \ otimes _ {Z} P) / (12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)=(\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)/(3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)\cong \mathbf {Z} P/3\mathbf {Z} P}$ . Po ostatniej kongruencji następuje argument podobny do tego w dowodzie wniosku pokazującego, że ${\ Displaystyle I \ otimes _ {R} P \ cong IP}$ .

Własności i twierdzenia

Funktor jest dokładny wtedy i tylko wtedy, gdy jest zarówno dokładny w lewo, jak i w prawo.

Kowariantny (niekoniecznie addytywny) funktor pozostaje dokładny wtedy i tylko wtedy, gdy zamienia skończone granice w granice; funktor kowariantny jest dokładnie dokładny wtedy i tylko wtedy, gdy zamienia skończone współgranice w współgranice; funktor kontrawariantny pozostaje dokładny, jeśli zamienia skończone współgranice w granice; funktor kontrawariantny jest dokładnie właściwy, jeśli zamienia granice skończone na współgranice.

Stopień, w jakim lewy funktor dokładny nie jest dokładny, można zmierzyć za pomocą jego prawych funktorów pochodnych ; stopień, w jakim prawy funktor dokładny nie jest dokładny, można zmierzyć za pomocą jego lewych funktorów pochodnych .

Lewe i prawe funktory dokładne są wszechobecne głównie z powodu następującego faktu: jeśli funktor F jest lewy przylegający do G , to F jest prawy dokładny, a G jest lewy dokładny.

Uogólnienia

W SGA4 , tom I, rozdział 1, pojęcie lewego (prawego) dokładnego funktora jest zdefiniowane dla kategorii ogólnych, a nie tylko abelowych. Definicja jest następująca:

Niech C będzie kategorią o skończonych granicach rzutowych (odp. iniekcyjnych). Wtedy funktor z C do innej kategorii C′ jest lewostronny (odpowiednio prawy) dokładny, jeśli dojeżdża ze skończonymi granicami rzutowymi (odpowiednio indukcyjnymi).

Pomimo swojej abstrakcji, ta ogólna definicja ma użyteczne konsekwencje. Na przykład w sekcji 1.8 Grothendieck udowadnia, że ​​funktor jest pro-reprezentowalny wtedy i tylko wtedy, gdy pozostaje dokładny, w pewnych łagodnych warunkach na kategorii C .

dokładnymi kategoriami Quillena uogólniają dokładne funktory między omówionymi tutaj kategoriami abelowymi.

Funktory regularne między kategoriami regularnymi są czasami nazywane funktorami dokładnymi i uogólniają omówione tutaj funktory dokładne.

Notatki

•   Jacobson, Nathan (2009). Podstawowa algebra . Tom. 2 (wyd. 2). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7 .