Podwójny kompleks

„Bicomplex” przekierowuje tutaj. Aby zapoznać się z typem liczby, zobacz Liczba dwuzłożona .

W matematyce , a konkretnie w algebrze homologicznej , podwójny kompleks jest uogólnieniem kompleksu łańcuchowego , w którym zamiast stopniowania obiekty w bicomplexie mają $}}$${\ displaystyle \ mathbb {$ -ocena. Najbardziej ogólna definicja podwójnego kompleksu lub bicomplexu jest podana z obiektami w kategorii addytywnej ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ . $_$ sekwencja _ _ mechanizm różnicowy

${\ Displaystyle d ^ {h}: C_ {p, q} \ do C_ {p + 1, q}}$

i pionowa różnica

${\ Displaystyle d ^ {v}: C_ {p, q} \ do C_ {p, q + 1}}$

które mają relację zgodności

${\ Displaystyle d_ {h} \ circ d_ {v} = d_ {v} \ circ d_ {h}}$

Stąd podwójny kompleks jest przemiennym diagramem formy

${\ Displaystyle {\ zacząć {macierz}&&\vdots &&\vdots &&\\&&\uparrow &&\uparrow &&\\\cdots &\to &C_{p,q+1}&\to &C_{p+1,q+1}&\to &\cdots \\&&\uparrow &&\uparrow &&\\\cdots &\do &C_{p,q}&\do &C_{p+1,q}&\do &\cdots \\&&\uparrow &&\uparrow &&\\&&\vdots &&\vdots &&\\\end{macierz}}}$

gdzie wiersze i kolumny tworzą kompleksy łańcuchowe.

Zamiast tego niektórzy autorzy wymagają, aby kwadraty przeciwdziałały komutacji. To jest

${\ Displaystyle d_ {h} \ circ d_ {v} + d_ {v} \ circ d_ {h} = 0.}$

Ułatwia to definicję kompleksów całkowitych. Ustawiając ${\ Displaystyle f_ {p, q} = (-1) ^ {p} d_ {p ,q}^{v}\colon C_{p,q}\to C_{p,q-1}}$ , możemy przełączać się między posiadaniem przemienności i antyprzemienności. Jeśli używana jest definicja przemienna, ten naprzemienny znak będzie musiał pojawić się w definicji całkowitych kompleksów.

Przykłady

Istnieje wiele naturalnych przykładów bikompleksów, które pojawiają się w naturze. W szczególności dla grupoidy Liego jest związany z nią bikompleks ^{pg 7-8} , który można wykorzystać do skonstruowania jej kompleksu de-Rham .

Innym typowym przykładem bikompleksów jest teoria Hodge'a , gdzie na prawie złożonej rozmaitości istnieje bikompleks form różniczkowych . $(X)}$$Omega$ których składowe są liniowe lub antyliniowe. Na przykład, jeśli ${2}}$$\ Displaystyle z_ {1},$${\ Displaystyle {\ overline {z}} _ {1}, {\ overline {z}} _ {2}}$ złożonymi współrzędnymi i to złożony koniugat tych współrzędnych, za ${\ Displaystyle (1,1)}$ -forma jest formą

$\ Displaystyle f_ {a, b} dz_ {a} \ klin d {\ overline {z}} _ {b}}$

Zobacz też

• Kompleks łańcuchowy
• Wyprowadzona geometria algebraiczna

Dodatkowe aplikacje

• https://web.archive.org/web/20210708183754/http://www.dma.unifi.it/~vezzosi/papers/tou.pdf