Kłamstwo groupoid

W matematyce Lie groupoid to groupoid $którym$ w zbiór obiektów i zbiór morfizmów są rozmaitościami , wszystkie operacje $na$ kategoriach źródło i cel, kompozycja, mapa przypisywania tożsamości i inwersja) są płynne, a operacje źródłowe i docelowe

${\ Displaystyle s, t: \ operatorname {Mor} \ do \ operatorname {Ob}}$

są zanurzenia .

Grupoidę Liego można zatem traktować jako „uogólnienie wielu obiektów” grupy Liego , tak jak grupoida jest wieloobiektowym uogólnieniem grupy . W związku z tym, podczas gdy grupy Liego zapewniają naturalny model (klasycznych) ciągłych symetrii , grupoidy Liego są często używane jako model (i wynikają z) uogólnionych, zależnych od punktu symetrii. Rozszerzając zgodność między grupami Liego i algebrami Liego, grupoidy Liego są globalnymi odpowiednikami algebroidów Liego .

Grupoidy kłamstwa zostały wprowadzone przez Charlesa Ehresmanna pod nazwą grupoidy różnicowalne .

Definicja i podstawowe pojęcia

Grupa Kłamstwa składa się z

• dwie gładkie rozmaitości i $Displaystyle$$M}$
• dwa surjektywne zanurzenia (zwane odpowiednio projekcjami źródłowymi i docelowymi ) ${\ Displaystyle s, t: G \ do M}$
• mapa ${\ Displaystyle m: G ^ {(2)}: = \ {(g, h) \ mid s (g) = t (h) \} \ do G}$ (zwane mnożeniem lub mapą składu), gdzie używamy notacji ${\ Displaystyle gh: = m (g, H)}$
• mapa ${\ Displaystyle u: M \ do G}$ (zwana mapą jednostek lub mapą inkluzji obiektów), gdzie używamy notacji ${\ Displaystyle 1_ {x}: = u (X)}$
• mapa ${\ Displaystyle i: G \ do G}$ (zwana inwersją ), gdzie używamy notacji ${\ Displaystyle g ^ {- 1}: = i (g )}$

takie że

• ${\ Displaystyle s (gh) = s (h)}$ i $gh) = t (g)}$ ( dla każdego ${\ displaystyle g, h \ in G},$ dla którego zdefiniowano kompozycję
• kompozycja jest asocjacyjna , tj. ${\ Displaystyle g (hl) = (gh) l}$ dla każdego ${\ Displaystyle g, h, l \ w G }$ dla którego zdefiniowano skład
• ${\ displaystyle u}$ działa jako tożsamość , tj. ${\ Displaystyle s (1_ {x}) = t (1_ {x}) = x}$ dla każdego ${\ Displaystyle x \ w M} i$ sol $\ Displaystyle g1_ {s (g)} = g}$ i ${\ Displaystyle 1_ {t (g)} g = g}$ dla każdego ${\ Displaystyle g \ w G}$
• ${\ Displaystyle i}$ działa jako odwrotność , tj. ${\ Displaystyle g ^ {- 1} g = 1_ {s (g)}}$ i ${\ Displaystyle gg ^ {- 1} = 1 _ {t (g)}}$ dla każdego ${\ Displaystyle g \ in G}$ .

Używając języka teorii kategorii , grupoidę Liego można bardziej zwięźle zdefiniować jako grupoidę (tj. małą kategorię , w której wszystkie morfizmy są odwracalne) tak , że zbiory obiektów i $M$$}$ morfizmy są rozmaitościami, mapy i ${\ displaystyle s}$ , ${\ displaystyle t}$ , ${\ displaystyle m}$ , ${\ displaystyle i}$ i ${\ displaystyle u}$ są gładkie $,$$zanurzeniami$ są . Grupoida kłamstwa nie jest zatem po prostu $.$$grupowym$ w kategorii rozmaitości gładkich : trzeba zadać dodatkową właściwość, i są zanurzeniami

$strzałki reprezentują źródło$ są często oznaczane przez cel. Notacja $.$ , zwłaszcza uproszczoną strukturę powiązanego nerwu

Aby uwzględnić bardziej naturalne przykłady, rozmaitość generalnie nie musi być $)$ lub drugą policzalną (podczas gdy ${\ displaystyle M}$ i wszystkie inne przestrzenie są .

Alternatywne definicje

Oryginalna definicja Ehresmanna wymagała, aby i $Displaystyle$${ \$$M}$ posiadały gładką strukturę, tak że tylko jest gładka, mapy $mapsto 1_ {s (g)}}$${\ Displaystyle g$ i ${\ Displaystyle g \ mapsto 1_ {t (g)}}$ są zanurzeniami (tj. mają lokalnie stałą rangę ). Taka definicja okazała się zbyt słaba i została zastąpiona przez Pradines obecną.

Podczas gdy niektórzy autorzy $znaczenie$ słabsze definicje, które nie wymagały $, właściwości te mają fundamentalne$ dla rozwinięcia całej teorii Liego grupoidów i algebroidów.

Pierwsze właściwości

Fakt, że źródłowa i docelowa mapa grupoidy Lie ${\ displaystyle G \ rightrightarrows M}$ płynnymi zanurzeniami, ma pewne bezpośrednie konsekwencje: sol

• s ${\ Displaystyle t} -$$\ Displaystyle s}$ -włókna ${\ Displaystyle s ^ {- 1} (x) \ subseteq G}$ t włókna ${\ Displaystyle t ^ {- 1} (x) \ subseteq G}$ i zbiór składanych morfizmów $2)} \ subseteq G \ razy G}$ ( podrozmaitości ;
• mapa $_$ jest dyfeomorfizmem ;
• mapa $gładkim$ jest osadzeniem ;
• grupy izotropii to grupy Liego sol $\ displaystyle G_ {x}}$ ;
• orbity są zanurzonymi podrozmaitościami ; ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {x} \ subseteq M}$
• s ${\ Displaystyle s}$ -fibre $\ Displaystyle s ^ {- 1} (x)}$ sol $}}$ -wiązka w punkcie ${\ Displaystyle x \ w M}$ głównym ${\ Displaystyle G_$$.$ na orbicie w tym punkcie

Podobiekty i morfizmy

Podgrupoida Kłamstwa grupy Kłamstwa $rightrightarrows M}$ podgrupoidą Kłamstwa $)$ tj. podkategorią kategorii z dodatkowym wymaganiem sol $\ Displaystyle$ że $_$ . Jeśli chodzi o podkategorię, podgrupoidę (Lie) nazywamy szeroką , jeśli ${\ Displaystyle N = M}$ . Każda grupoida Lie ${\ Displaystyle G \ rightrightarrows M}$ dwie kanoniczne szerokie podgrupoidy: sol

• jednostka / tożsamość Lie subgroupoid ${\ Displaystyle u (M) = \ {1_ {x} \ w G \ środkowy x \ w M \}}$ ;
• wewnętrzna podgrupoida ${\ Displaystyle IG: = \ {g \ w G \ mid s (g) = t (g) \}}$ , tj. wiązka grup izotropowych (które jednak ogólnie mogą nie być gładkie).

Normalna podgrupoida Liego $\$$w G}$ podgrupoida Liego wewnątrz $grupy$ , że dla każdego $w H, g$ z ${\ Displaystyle s (h) = t (h) = s (g)}$ , ma się ${\ Displaystyle ghg ^ {- 1} \ w H.}$ . Grupy izotropii $.$ zatem normalnymi podgrupami grup izotropii ${\ displaystyle G}$ .

Morfizm groupoidu kłamstwa między dwoma grupoidami Lie i $\ rightrightarrows$$, f: M \ do N}$$}$ jest morfizmem groupoidu $\ displaystyle F : G \ do$$\ displaystyle H}$ (tj. Funktor między kategoriami i ${$ ), gdzie zarówno, $displaystyle f}$ i ${\$ są gładkie. Ker $s(g)}\}}$$Displaystyle \ ker (F): = \ {g \ w G \ mid F (g) = 1_$ { morfizmu między grupoidami Liego na tej samej rozmaitości podstawowej jest automatycznie normalną podgrupoidą Liego.

Iloraz ${\ Displaystyle G / \ ker (F) \ rightrightarrows M}$${\ Displaystyle G \ do G /\ker(F)}$ naturalną strukturę grupową taką, że projekcja sol jest morfizmem groupoidowym; jednak w przeciwieństwie do ilorazów grup Liego $(F)}$ ker ogólnie może nie być groupoidem Lie. W związku z tym twierdzenia o izomorfizmie dla groupoidów nie mogą być wyspecjalizowane w całej kategorii groupoidów Liego, a jedynie w klasach specjalnych.

Grupoidę Liego nazywamy abelową , jeśli jej grupy izotropowe Liego są abelowe . Z podobnych powodów ${\ Displaystyle G ^ {ab }=G/(IG,IG)}$ powyżej, podczas gdy definicja abelianizacji grupy rozciąga się na grupoidy teoretyczno-mnogościowe, w przypadku Liego analogiem ilorazu jest może nie istnieć lub być gładkie.

Przekroje

Połowa grupoidy Lie $sol$$\ Displaystyle s \ circ b = id_ {M}}$ mapą $\ Displaystyle b: M \ do G}$ , że i ${\ Displaystyle t \ circ b}$ jest dyfeomorfizmem ${\ Displaystyle M}$ . Aby przezwyciężyć brak symetrii między źródłem a celem, dwusekcję można równoważnie zdefiniować jako podrozmaitość $\ mid B}: B \ do M}$$:$ b i ${\ Displaystyle t _ {\ mid B}: B \ do M}$ są dyfeomorfizmami; związek między tymi dwiema definicjami jest określony wzorem ${\ Displaystyle B = b (M)}$ .

Zbiór dwusekcji tworzy grupę z mnożeniem zdefiniowanym jako ${\ Displaystyle b_ {1} \ cdot b_ {2}}$

$${\ Displaystyle (b_ {1} \ cdot b_ {2}) (x): = b_ {1} (b_ {2} (x)) b_ {2} (x).}$$

i inwersja zdefiniowana jako

$${\ Displaystyle b_ {1} ^ {- 1} (x): = ja \ circ b_ {1} \left((t\circ b_{2})^{-1}(x)\right)}$$

Zauważ, że definicja jest podana w taki sposób, że jeśli ${\ Displaystyle t \ circ b_ {1} = \ phi _ {1}}$ i ${\ Displaystyle t \ circ b_ {2} = \ phi _ {2}}$ , wtedy ${\ Displaystyle t \ circ (b_ {1} \ cdot b_ {2}) = \phi _{1}\circ \phi _{2}}$ i ${\ Displaystyle t \ circ b_ {1} ^ {- 1} = \ phi _ {1} ^ {- 1}}$ .

Grupie bisekcji można nadać topologię zwarto-otwartą , a także (nieskończenie wymiarową) strukturę rozmaitości Frécheta zgodną ze strukturą grupową, tworząc grupę Frécheta-Lie.

Lokalna bisekcja $analogicznie$ , ale mnożenie między lokalnymi bisekcjami jest oczywiście

Przykłady

Przypadki trywialne i ekstremalne

• Grupoidy $obiektem$ to to samo, co grupy
• $pod$ uwagę dowolną rozmaitość $,$ istnieje grupoida Kłamstwa zwana parą grupoidów jednym morfizmem od dowolnego obiektu do dowolnego
• Dwa poprzednie przykłady to szczególne przypadki $(x, g, y) = y}$ g y $rightrightarrows M$$\$ , ${\ Displaystyle t (x, g, y) = x}$ , ${\ Displaystyle m ((x, g, y), (y, h, z)) = (x, gh$ , ${\ Displaystyle u (x) = (x, 1, x)}$ i ${\ Displaystyle i (x, g, y) = (y, g ^ {- 1}, x)}$ .
• Biorąc pod uwagę dowolną rozmaitość $,$ istnieje grupoida kłamstwa $}$ grupoidą jednostkową , dokładnie jednym morfizmem od jednego obiektu do siebie, a mianowicie tożsamością i brak morfizmów między różnymi obiektami.
• $.$ , grupoidy Liego z samym, co wiązka grup Liego (niekoniecznie lokalnie trywialna) Na przykład dowolna wiązka wektorów jest wiązką grup abelowych, więc jest to w szczególności (n abelowa) grupoida Liego.

Konstrukcje z innych grupoidów Lie

• Biorąc pod uwagę jakąkolwiek grupę Kłamstwa $\ Displaystyle$ surjektywne zanurzenie $\ mu: N \ do M}$ , istnieje grupa Kłamstwa $mu ^{*}G\rightrightarrows N}$${\ Displaystyle$ , zwany jej groupoidem pullback lub groupoidem indukowanym , gdzie ${\ Displaystyle \ mu ^ {*} G \ subseteq N \ razy G \ razy N}$ zawiera trójki ${\ Displaystyle (x, g, y)}$ takie, że ${\ Displaystyle s (g) = \ mu (y)}$ i ${\ Displaystyle t (g) = \ mu (x)}$ , a mnożenie jest definiowane za pomocą mnożenia ${\ Displaystyle G}$ . Na przykład wycofanie grupoidy pary jest grupoidem pary $displaystyle N}$$\$ .
• $}$ dowolne dwie grupoidy Kłamstwa ${2}$ \ istnieje grupa Kłamstwa ${\ Displaystyle G_ {1} \ razy G_ {2} \ rightrightarrows M_ {1} \ razy M_ {2}}$ , nazywany ich bezpośrednim produktem , tak że morfizmy groupoidowe ${\ Displaystyle G_ {1} \ razy G_ {2} \ do \ operatorname {pr} _ {M_ {1}} ^ {*} G_ {1}}$ i ${\ Displaystyle G_ {1} \ razy G_ {2} \ do \ operatorname {pr} _ {M_ {2}} ^ {*} G_ {2}}$ są zanurzeniami suriekcyjnymi.
• Biorąc pod uwagę jakąkolwiek grupoidę Liego $rightrightarrows$ istnieje grupoida Liego , $M}$ jej grupoidą styczną , przez rozważenie wiązki stycznej $. displaystyle G}$ i ${\ displaystyle M}$ oraz różniczka map struktury.
• Biorąc pod uwagę jakąkolwiek grupoidę Kłamstwa $sol$ istnieje grupoida Kłamstwa , zwana otrzymaną kostyczną grupoidą $} G \ rightrightarrows A ^ {*}$ biorąc pod uwagę wiązkę kostyczną , liczbę podwójną algebroidu Lie $A}$$displaystyle$ (patrz poniżej) oraz odpowiednie mapy struktur obejmujące różnice lewego i prawego tłumaczenia.
• $odrzutową$ jakąkolwiek grupę Lie $,$ grupoida zwana grupoidą zwana k -dżety lokalnych przekrojów $($ o gładkiej strukturze odziedziczonej z wiązki dżetów s ${\ Displaystyle s: G \ do M}$ ustawienie ${\ Displaystyle s (j_ {x} ^ {k} b) = x}$ , ${\ Displaystyle t (j_ { x}^{k}b)=t(b(x))}$ , ${\ Displaystyle m (j_ {t (b (x))} ^ {k} b_ {1}, j_ {x} ^ {k} b_ {2}) = j_ {x} ^ {k} (b_ {1} \ cdot b_ {2})}$ , ${\ Displaystyle u (x) = j_ {x} ^ {k} u}$ i ${\ Displaystyle i (j_ {x} ^ {k} b) = j_ {t (b (x)}} ^ {k} b ^ {-1}}$ .

Przykłady z geometrii różniczkowej

• Biorąc pod uwagę zanurzenie ${\ Displaystyle \ mu: M \ do N}$ , istnieje grupa Kłamstwa ${\ Displaystyle M \ razy _ {\ mu} M: = \ {(x, y) \ w M \ razy M \ mid \ mu (x) = \ mu (y) \} \ rightrightarrows M}$ , tzw groupoid zanurzeniowy lub $zanurzenie$ pary włókien $mapy struktury$ indukowane z pary groupoidów ( , że zapewnia płynność ${\ Displaystyle M \ razy _ {\ mu} M}$ ). Jeśli $punktem$ , odzyskuje się grupę grupową.
• Biorąc pod uwagę grupę Kłamstwa $}$ na $Displaystyle$ , $istnieje$ grupa Kłamstwa , grupoidą lub grupą translacji sol sol $\ Displaystyle g \ in G, x, y \ in M}$ z ${\ displaystyle gx = y}$ .
• Biorąc $pod$ dowolną wiązkę wektorów grupa $x$ grupoidą ${\ Displaystyle x, y \ w M}$ , są izomorfizmami liniowymi między włóknami ${\ Displaystyle E_ {x}}$ i ${\ Displaystyle E_ {y}$ . ${\ Displaystyle GL (E) \ rightrightarrows M}$ przykład, jeśli ${$ wiązką wektorów rangi $}$ to to grupa akcji.
• Każdy główny pakiet $×$ grupą struktur $rightrightarrows M }$ grupę Lie $( P \ razy P) /$ , gdzie $działa$ na pary $\ Displaystyle (p, q) \ w P \ razy P}$ składowych, zwanych grupoidami skrajni . Mnożenie jest definiowane przez zgodnych przedstawicieli, jak w grupie grupowej.
• Każde foliowanie na rozmaitości $definiuje$$}}) \ rightrightarrows M}$ grupoidy Lie, ${\ Displaystyle \ operatorname {Mon} ({\ mathcal {$$}$ (lub ${\ Displaystyle \ Pi _ {1} ({\ mathcal {F}}) \ rightarrows M}$ ) i ${\ Displaystyle \ operatorname {Hol} ({\ mathcal {F}}} \ rightrightarrows M}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}} morfizmy$ zwane odpowiednio grupoidą monodromiczną / homotopią / fundamentalną i grupoidą holonomiczną z , którego fa $składają$ się z homotopii , odpowiednio holonomii , klas równoważności ścieżek całkowicie leżących w . Na przykład, kiedy ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ jest trywialną foliacją z tylko jednym liściem, odzyskuje się odpowiednio podstawową grupoidę i parę grupoidów ${\ displaystyle M}$ . Z drugiej strony, gdy $to proste foliowanie, tj. foliowanie przez ($ ) włókna zanurzenia ${\ Displaystyle \ mu: M \ do N}$ , jego groupoid holonomiczny jest dokładnie groupoidem zanurzeniowym ${\ Displaystyle M \ razy _ {\ mu} M}$ ale jego grupa monodromiczna może nawet nie być Hausdorffem ze względu na ogólne kryterium dotyczące znikających cykli. Ogólnie rzecz biorąc, wiele elementarnych foliacji prowadzi do grupoidów monodromicznych i holonomicznych, które nie są Hausdorffem.
• $\ Displaystyle \ Gamma \ subseteq \ operatorname {Różnica} _ {loc} (M)}$ re ja do grupa Kłamstwa ${\ Displaystyle G = \ operatorname {zarodek} (\ Gamma) \ rightrightarrows M}$ , zwany jego groupoidem zarodkowym , wyposażony w topologię snopa i mapy struktury analogiczne do tych z grupoidy odrzutowej. To kolejny naturalny przykład groupoidy Liego, której przestrzeń strzałek nie jest Hausdorffem ani drugą przeliczalną.

Ważne klasy grupoidów Liego

Zauważ, że niektóre z poniższych klas mają sens już w kategorii grupoidów teoretycznych lub topologicznych .

Grupoidy przechodnie

Grupoida Liego jest przechodnia (w starszej literaturze nazywana również połączoną), jeśli spełnia jeden z następujących równoważnych warunków:

• jest tylko jedna orbita;
• istnieje co najmniej morfizm między dowolnymi dwoma obiektami;
• mapa ${\ Displaystyle (s, t): G \ do M \ razy M}$ (znana również jako kotwica sol ${\ Displaystyle G \ rightrightarrows M}$ ) suriekcja.

$jest izomorficzna z$ skrajni jakiejś głównej wiązki, a ${\ Displaystyle t: s ^ {- 1} (x) \ do M}$ -wiązki , dla dowolnego punktu ${\ Displaystyle x \ w M}$ . Na przykład:

• trywialna grupoida $\times M\do M}$ przechodnia $i$$trywialnej$ z $Displaystyle$ . szczególnych przypadkach grupy Liego i para grupoidów ${\ Displaystyle G \ rightrightarrows {*}}$$G \ do {*}}$$\ Displaystyle M \ razy M \ rightrightarrows M}$ są trywialnie przechodnie i wynikają odpowiednio z głównego pakietu $Displaystyle$ i od głównego {* ${\ Displaystyle \ {e \}}$ -pakiet ${\ Displaystyle M \ do M}$ ;
• $jest przechodni wtedy i tylko wtedy, gdy$ akcji grupowa jest przechodnia iw wynika z głównego pakietu $\ displaystyle G \ do M}$ z grupą strukturalną grupą izotropową (w dowolnym punkcie);
• ${$ grupoida liniowa jest przechodnia i wynika z wiązki ramek $\ Displaystyle Fr (E) \ do M}$ ;
• $są$ , grupoidy odrzutowe i grupoidy styczne wtedy i tylko wtedy $gdy$ .

$}$ trywialny przykład zgodności między przechodnimi grupoidami Liego a głównymi wiązkami rozważ podstawową grupoidę (połączonej) gładkiej rozmaitości $\ Pi _ {1} (M)}$${\ Displaystyle$ . Jest to oczywiście grupa topologiczna, która ponadto jest przechodnia; widać, że jest izomorficzny z grupoidą skrajni uniwersalnej osłony M $\ Displaystyle \ Pi _ {1} (M)}$${\ displaystyle M}$ . W związku z tym $.$ grupą Kłamstwa

Submersions groupoids są przykładem $są$ dokładnie włóknami $mu}$ .

$pojęcie$ przechodniości wymaga surjektywnym Taki warunek jest również nazywany trywialnością lokalną , ponieważ staje się lokalnie izomorficzny (jak groupoid $)$ z trywialną groupoidą nad dowolnym otwartym (w wyniku lokalnej trywialności ${\ Displaystyle U \ subseteq M}$ pakiety główne).

Kiedy przestrzeń $policzalną$ , przechodniość implikuje lokalną trywialność. W związku z tym te dwa warunki są równoważne dla wielu przykładów, ale nie dla wszystkich: na przykład, jeśli jest pseudogrupą przechodnią, jej grupa zarodkowa $sol$$displaystyle \ operatorname {niem. } (\Gamma )}$ jest przechodnia, ale nie lokalnie trywialna.

Właściwe groupoidy

Grupoida kłamstwa $_$ właściwą jeśli właściwą _ W konsekwencji

• wszystkie grupy $zwarte$ są ;
• $;$ orbity są zamkniętymi podrozmaitościami
• przestrzeń $_$ . _ _

Na przykład:

• grupa Liego jest właściwa wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwarta;
• para groupoidów jest zawsze prawidłowa;
• grupoidy jednostek są zawsze właściwe;
• grupoid akcji jest właściwy wtedy i tylko wtedy, gdy akcja jest właściwa ;
• podstawowa grupoida jest właściwa wtedy i tylko wtedy, gdy podstawowe grupy są skończone .

Jak widać powyżej, poprawność grupoidów Liego jest „właściwą” analogią zwartości dla grup Liego. Można by $rightarrows M$ rozważyć bardziej „naturalne” warunki, np. prosząc, aby mapa źródłowa $była$ poprawna (wtedy nazywa się sol właściwe ) lub że cała przestrzeń jest zwarta (wtedy $nazywa$ się $rightrightarrows M}$ compact ), ale wymagania te okazują się zbyt surowe dla wielu przykładów i aplikacji.

Grupoidy Étale

Groupoid Lie nazywa się étale , jeśli spełnia jeden z następujących równoważnych warunków:

• wymiary i są równe ${$$\ displaystyle M}$
• ${\ displaystyle s}$ jest lokalnym dyfeomorfizmem ;
• wszystkie $_$ są dyskretne

W konsekwencji również $izotropowe$ i orbity stają się dyskretne.

Na przykład:

• grupa Liego jest étale wtedy i tylko wtedy, gdy jest dyskretna;
• para groupoidów nigdy nie jest etale;
• grupoidy jednostek są zawsze etale;
• grupoid akcji jest étale wtedy i tylko wtedy, gdy $jest$ ;
• podstawowe groupoidy są zawsze étale (ale podstawowe groupoidy foliacji nie są);
• grupy zarodkowe pseudogrup są zawsze étale.

Skuteczne groupoidy

$b$ nazywamy efektywnym jeśli dla dowolnych dwóch lokalnych przekrojów , $}$ implikuje ${\ Displaystyle b_ {1} = b_ {2}}$ . Na przykład:

• Grupy kłamstw są skuteczne wtedy i tylko wtedy, gdy są trywialne;
• grupoidy jednostek są zawsze skuteczne;
• grupoid akcji jest skuteczny $dyskretna$$jeśli$ jest swobodna i .

Ogólnie rzecz biorąc, każdy skuteczny grupoid étale powstaje jako grupoid zarodkowy jakiejś pseudogrupy. Można jednak podać (bardziej złożoną) definicję skuteczności, która nie zakłada właściwości etale.

Groupoidy połączone ze źródłem

jeśli $wszystkie$ nazywa się $połączonym,$ jego są połączone . Podobnie, mówi się o $groupoidach$ prostu połączonych (kiedy $-$ są po prostu połączone ) lub groupoidach połączonych ze źródłem k (kiedy -włókna są k ${\ displaystyle s}$ -połączony , czyli pierwszy ${\ displaystyle k}$ grupy homotopii są trywialne).

$,$ że cała przestrzeń strzałek jest proszona o spełnienie żadnej hipotezy powiązania. Jednakże, jeśli jest połączoną grupoidą ze źródłem - k {\ displaystyle k} -połączoną $}$$sama$$automatycznie$$jest$ k \ $}$$k$ -połączony.

Na przykład

• Grupy kłamstw są połączone źródłowo $displaystyle$ i tylko wtedy są połączone; $k}$ -połączone;
• para groupoid jest połączona $displaystyle$ i tylko wtedy, gdy jest połączona k {\ $k}$${\ displaystyle k}$
• grupoidy jednostkowe są zawsze połączone ze źródłem ${\ displaystyle k}$ -połączony;
• groupoidy akcji są $połączone$$gdy$ i tylko wtedy, są $-połączone$ .
• grupoidy monodromiczne (stąd także grupoidy podstawowe) są po prostu połączone źródłowo.

Dalsze powiązane pojęcia

Akcje i pakiety główne

$rightrightarrows M}$ że działanie grupoidy $Displaystyle$ zbiorze wzdłuż funkcji $\$ przez sol zbiór map ${\ Displaystyle \ mu ^ {-1} (x) \ do \ mu ^ {-1} (y), \ quad p \ mapsto g \ cdot p} dla każdego morfizmu sol ∈ sol {\ Displaystyle$ g $}$ między ${\ displaystyle x, y \ w M}$ . W związku z tym działanie grupoidy Lie $μ$ rozmaitości wzdłuż gładkiej mapy $M}$$Displaystyle \ mu: P$$_$ mapy _ Oczywiście dla każdego $^{-1}(x)}$$Displaystyle G_$ grupy izotropii włóknie $.$$}$ .

${$$}$ groupoid Kłamstwo główny ${\ Displaystyle G}$ pakiet - składa się z -space $i$ sol $displaystyle$ niezmienne surjektywne zanurzenie ${\ Displaystyle \ pi: P \ do N}$ takie, że

$${\ Displaystyle P \ razy _ {N} G \ do P \ razy _ {\ pi} P, \ quad (p ,g)\mapsto (p,p\cdot g)}$$

jest dyfeomorfizmem. Równoważne (ale bardziej zaangażowane) definicje można podać za pomocą $wartościowych$ lub lokalnych trywializacji.

Kiedy jest grupoidą $akcje$ nad punktem, odzyskuje się odpowiednio standardowe grupowe Lie i główne wiązki .

Reprezentacje

Reprezentacja grupoidy Kłamstwa $.$$akcji$ grupoidy Kłamstwa na wiązce wektorów akcja liniowy, tj. każda bijekcja ${\ Displaystyle \ pi ^ {- 1} (x) \ do \ pi ^ {- 1} (y)}$ jest izomorfizmem liniowym. Równoważnie reprezentację na $}$$morfizm$ grupowy kłamstwa od grupoidy $G$${$$}$ .

Oczywiście każde włókno $sol$$displaystyle G_ {x}}$ reprezentacją grupy izotropii . Mówiąc bardziej ogólnie, reprezentacje przechodnich grupoid Liego są jednoznacznie określone przez reprezentacje ich grup izotropowych, poprzez konstrukcję powiązanej wiązki wektorów .

Przykłady reprezentacji grupowych Lie obejmują:

• reprezentacje grup Liego ${\ Displaystyle G \ rightrightarrows {*}}$ standardowe reprezentacje grup Liego
• reprezentacje par grupoid są trywialnymi wiązkami wektorowymi ${\ Displaystyle M \ razy M \ rightrightarrows M}$
• reprezentacje grupoidów jednostkowych są wiązkami wektorowymi ${\ Displaystyle M \ rightrightarrows M}$
• reprezentacje grupy akcji są $}$ - równoważne wiązki wektorów ${\ Displaystyle G \ razy M \ rightrightarrows M$
• reprezentacje podstawowych grupoid to wiązki wektorowe wyposażone w płaskie połączenia ${\ Displaystyle \ Pi _ {1} (M)}$

Zbiór klas $sol ) {\ Displaystyle \ operatorname {Rep} (G$ reprezentacji grupy Lie sol $\ Displaystyle G \ rightrightarrows M}$ ma naturalną strukturę z bezpośrednimi sumami i produkty tensorowe wiązek wektorowych.

Różniczkowalna kohomologia

Pojęcie różniczkowalnej kohomologii dla grup Liego uogólnia się naturalnie również na grupoidy Liego: definicja opiera się na symplicalnej strukturze nerwu ${\ Displaystyle N (G) _ {n} = G ^ { (n)}}$ z ${\ displaystyle G \ rightrightarrows M}$ , postrzegane jako kategoria.

Dokładniej, przypomnijmy sobie, że przestrzeń składa się z ciągów $Displaystyle$ się morfizmów, tj. $G ^ {(n)}}$

${\ Displaystyle G ^ {(n)}: = \ {(g_ {1}, \ ldots, g_ {n}) \ w G \ razy \ ldots \ razy G \ mid s (g_ {i}) = t ( g_{i+1})\quad \forall i=1,\ldots ,n-1\},}$

i rozważ mapę ${\ Displaystyle t ^ {(n)} = t \ circ \mathrm {pr} _{1}:G^{(n)}\to M,(g_{1},\ldots,g_{n})\mapsto t(g_{1})}$ .

Różniczkowalny ze $-cochain$ M z $G \ rightrightarrows M}$$\ displaystyle E \ do M}$ współczynnikami w jakiejś reprezentacji jest gładkim odcinkiem wiązki wektorów pullback ${\ Displaystyle (t ^ {(n)}) ^ {*} E \ do G ^ {(n)}$ . Jeden oznaczany ${\ Displaystyle C ^ {n} (G, E)}$ przestrzeń takich $-cochains$ uwzględnia różniczkę ${\ Displaystyle d_ {n}: C ^ {n} (G, E) \ do C ^ {n + 1} (G, E)} ,$ jako

${\ Displaystyle d_ {n} (c) (g_ {1}, \ ldots, g_ {n + 1}): = g_ {1} \ cdot c (g_ {2}, \ ldots, g_ {n + 1} )+\suma _{i=1}^{n}(-1)^{i}c(g_{1},\ldots,g_{i}g_{i+1},\ldots,g_{n+ 1})+(-1)^{n+1}c(g_{1},\ldots ,g_{n}).}$

Wtedy $, E), d ^ {n})}$ staje się kompleksem kołańcuchowym i jego kohomologią, oznaczoną przez ${\ Displaystyle H_ {d} ^ {n} (G, E)}$ nazywa się różniczkowalną kohomologią sol ${\ Displaystyle G \ rightrightarrows M}$ ze współczynnikami w ${\ displaystyle E \ do M}$ . Zauważ, że ponieważ różnica w stopniu zero wynosi ${\ Displaystyle d_ {0} (c) (g) = g \cdot c(s(g))-c(t(g))}$ , zawsze mamy ${\ Displaystyle H_ {d} ^ {0} (G, E) = \ ker (d_ {0}) = \ Gamma (E) ^ {G}}$ .

Oczywiście różniczkowalna kohomologia jako grupy $}$ pokrywa się ze standardową różniczkowalną kohomologią jako grupy Liego (w szczególności dla grup dyskretnych, ${\ Displaystyle G \ rightrightarrows {*}$ odzyskuje się sol zwykła kohomologia grupowa ). drugiej strony, dla każdego $sol$ groupoidu Liego udowodnić, ${\ Displaystyle H_ {d} ^ {n} (G, E) = 0}$ dla każdego ${\ Displaystyle n> 0}$ .

Algebroid Liego grupoidy Liego

Zobacz także: Lie algebroid § Korespondencja Lie groupoid-Lie algebroid

Każda grupoida Liego $, uzyskany$ powiązany algebroid Liego ${\ Displaystyle A \ do M}$ pomocą konstrukcji podobnej do tej, która łączy algebrę Liego z dowolną grupą

• wiązka wektorów $ograniczoną$ do elementów stycznych do tożsamości, tj. $\ Displaystyle A :=\ker(ds)_{\mid M}}$ ;
• $polami$$z$ uzyskuje się przez identyfikację wektorowymi niezmiennymi po lewej stronie na i $;$ Lie do
• mapa kotwicy $\ Displaystyle$ różniczką mapy docelowej ograniczoną do $G \ do$$}$ .

grupa Liego-algebra Liego uogólnia się w pewnym stopniu również na grupoidy Liego: pierwsze dwa twierdzenie Liego (znane również jako twierdzenie o podgrupach - podalgebry i twierdzenie o homomorfizmach) można rzeczywiście łatwo dostosować do tego ustawienia.

W szczególności, podobnie jak w standardowej teorii Liego, dla każdej s-połączonej grupoidy Liego $G$ unikalna (aż do izomorfizmu) s-po prostu połączona grupoida Liego $\ Displaystyle {\ tylda {G}}} z tym$$samym$ algebroidem Lie $jest$ dyfeomorfizmem, morfizmem grupowym Na przykład,

• $pod uwagę$$, jej$ połączoną rozmaitość $Pi _ {1}(M)}$ grupoid s-połączona, ale nie s-po prostu połączona, podczas gdy jej podstawowa grupoida jest. Obaj mają $ten sam algebroid$ wiązkę styczną lokalny dyfeomorfizm ${\ Displaystyle \ Pi _ {1} (M) \ do M \ razy M}$ jest podane przez ${\ Displaystyle [\ gamma] \ mapsto (\ gamma ( 0),\gamma (1))}$ .
• $({\ mathcal {F}})}$ foliację na jej holonomy groupoid $fa$$\ operatorname {Hol$ jest s- $, ale nie$ -po prostu połączony, podczas gdy jego Oba mają ten sam algebroid Liego, a mianowicie algebroid foliowania ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ do M}$ i lokalny dyfeomorfizm ${\ Displaystyle \ operatorname {Mon} ({\ mathcal {F}}) \ do \ operatorname {Hol} ({\ mathcal {F}})}$ jest podane przez ${\ Displaystyle [\ gamma] \ mapsto [\ gamma ]}$ (ponieważ klasy homotopii są mniejsze niż holonomia jedynki).

Jednak nie ma odpowiednika trzeciego twierdzenia Liego ː podczas gdy kilka klas algebroidów Liego jest całkowalnych, istnieją przykłady algebroidów Liego, na przykład związane z teorią foliacji , które nie dopuszczają integrującej grupoidy Liego. Ogólne $przeszkody$ w istnieniu takiej integracji zależą od .

Równoważność Mority

Jak omówiono powyżej, standardowe pojęcie (izo)morfizmu grupoidów (postrzeganych jako funktory między kategoriami ) ogranicza się naturalnie do grupoidów Liego. Istnieje jednak bardziej zgrubna notacja równoważności, zwana równoważnością Mority, która jest bardziej elastyczna i użyteczna w zastosowaniach.

Po pierwsze, mapa Mority (znana również jako słaba równoważność lub istotna równoważność) między dwoma grupoidami Kłamstwa i $\rightrightarrows H_{0}}$${1} \ rightrightarrows$ G_ ${0}$ składa się z morfizmu groupoidalnego Liego od G do H, który jest ponadto w pełni wierny i zasadniczo suriekcyjny (dostosowując te kategoryczne pojęcia do gładkiego kontekstu). Mówimy, że dwie grupoidy Liego ${\ Displaystyle G_ {1} \ rightrightarrows G_ {0}}$ i ${\ Displaystyle H_ {1} \ rightrightarrows H_ {0}}$ są odpowiednikami Mority wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje trzecia grupa Kłamstwa ${\ Displaystyle K_ {1} \ rightrightarrows K_ {0}}$ wraz z dwiema mapami Mority od G do K i od H do K.

Bardziej wyraźny opis równoważności Mority (np. przydatny do sprawdzenia, czy jest to relacja równoważności ) wymaga istnienia dwóch surjektywnych zanurzeń i ${\ Displaystyle P \ do G_ {0}}$ i ${\ displaystyle P \ do H_ {0}}$$z$ lewą $pracy$ i prawą $-akcją , dojeżdżając do$ ze sobą i tworząc główny podwójny pakiet

Niezmienność Mority

Wiele właściwości grupoid Liego, np. bycie właściwym, bycie Hausdorffem lub bycie przechodnim, jest niezmiennikiem Mority. Z drugiej strony bycie etale nie jest niezmienne w Moricie.

Ponadto $_$$zachowuje$ i geometrię _ _ wywołuje:

• $H_ {0} / H_$ przestrzeniami orbity i $1 {$ \
• izomorfizm między grupami izotropii w odpowiednich punktach $\w H_{0}}$$\ Displaystyle x \ w G_$${$ ∈ $Displaystyle$ ;
• N ${\ mathcal {N}} _ {x} \ cong {\ mathcal {N}} _ {y}}$${ \ Displaystyle x \ w G_ {0}}$ między normalnymi reprezentacjami grup izotropii w odpowiednich punktach i ${\ Displaystyle y \ w H_ {0}}$ .

Wreszcie, różniczkowalne kohomologie dwóch grupoid Liego równoważnych Moricie są izomorficzne.

Przykłady

• Izomorficzne grupoidy Lie są trywialnie odpowiednikami Mority.
• Dwie grupy Liego są równoważne Moricie wtedy i tylko wtedy, gdy są izomorficzne jako grupy Liego.
• Dwie grupoidy jednostkowe są równoważne Moricie wtedy i tylko wtedy, gdy podstawowe rozmaitości są dyfeomorficzne.
• Każda przechodnia grupoida Liego jest równoważna Moricie z jej grupami izotropowymi.
• Biorąc pod uwagę groupoid Lie ${\ Displaystyle$ surjektywne zanurzenie $\ mu: N \ do M}$ , grupoid wycofania ${*} G \ rightrightarrows N}$$Displaystyle \ mu$ jest odpowiednikiem Mority ${\ Displaystyle G \ rightrightarrows M}$ .
• Biorąc pod uwagę swobodne i właściwe działanie grupy Liego $} \ Displaystyle G \ razy M \ rightrightarrows M}$$\$ dlatego jest rozmaitością $)$ , grupa działania ${\ displaystyle M/G}$ to Morita odpowiednik groupoidy jednostki ${\ Displaystyle u (M/G) \ rightrightarrows M/G}$ .
• Grupoida kłamstwa $są$$Morita$ odpowiednikiem grupoidy etale wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie grupy izotropii .

Konkretny przykład ostatniego przykładu wygląda następująco. Niech M będzie gładką rozmaitością i $.$ M. displaystyle $M$ Jego groupoid Čech $Displaystyle G_ {1} \$ przez rozłączne związki $G_ {0}$ i ${\ Displaystyle G_ {1}: = \ bigsqcup _ {\ alfa, \ beta} U _ {\ alfa \ beta}}$ , gdzie ${\ Displaystyle U_{\alpha \beta}=U_{\alpha}\cap U_{\beta}\podzbiór M}$ . Mapa źródłowa i docelowa są definiowane jako osadzenie ${\ Displaystyle s: U _ {\ alfa \ beta} \ do U_ {\ alfa}}$ i ${\ Displaystyle t: U _ {\ alfa \ beta} \ do U _ {\ beta}}$ , a mnożenie jest oczywiste, jeśli przeczytamy $}$${\ Displaystyle U _ {\ alfa \ beta$$} w rzeczywistości$ jako podzbiory M (kompatybilne punkty w i $}$ takie same w ${\ displaystyle M}$ a także leżeć w ${\ Displaystyle U _ {\ alfa \ gamma}})$ . Grupoida Čech $jest w rzeczywistości$$rightrightarrows M$ , pod oczywistym zanurzeniem jednostkowej . W związku z tym grupoidy Čech powiązane z różnymi otwartymi okładkami $są$ Mority.

Gładkie stosy

Zobacz też: stos różniczkowalny

Badanie struktury przestrzeni orbity grupoidy Liego prowadzi do pojęcia gładkiego stosu. Na przykład przestrzeń orbity jest gładką rozmaitością, jeśli grupy izotropii są trywialne (jak w przykładzie grupoidy Čecha), ale ogólnie nie jest gładka. Rozwiązaniem jest odwrócenie problemu i zdefiniowanie gładkiego stosu jako klasy równoważności Mority grupoidów Liego. Naturalne obiekty geometryczne żyjące na stosie to obiekty geometryczne na niezmiennikach grup Liego w ramach równoważności Mority: przykładem jest kohomologia grupoidów Liego.

Ponieważ pojęcie gładkiego stosu jest dość ogólne, oczywiście wszystkie gładkie rozmaitości są gładkimi stosami. Inne klasy przykładów obejmują orbifolds , które są (klasami równoważności) właściwych grupoidów etale Lie i przestrzenie orbit foliacji.

Książki

• Weinstein, A. (1996). „Grupoidy: ujednolicenie symetrii wewnętrznej i zewnętrznej” (PDF) . Zawiadomienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 43 : 744–752. arXiv : matematyka/9602220 .
•   MacKenzie, K. (1987). Lie Groupoids i Lie Algebroids w geometrii różniczkowej . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. doi : 10.1017/CBO9780511661839 . ISBN 9780521348829 .
•   MacKenzie, KCH (2005). Ogólna teoria grupoidów kłamstwa i algebroidów kłamstwa . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. doi : 10.1017/CBO9781107325883 . ISBN 9781107325883 .
• Crainic, M.; Fernandes, RL (2011). „Wykłady na temat całkowalności nawiasów klamrowych” (PDF) . Monografie geometrii i topologii . 17 : 1–107. arXiv : matematyka/0611259 .
•   Moerdijk, I.; Mrcun, J. (2003). Wprowadzenie do foliacji i grupoidów kłamstwa . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. doi : 10.1017/CBO9780511615450 . ISBN 9780521831970 .