Nerw (teoria kategorii)

W teorii kategorii , dyscyplinie matematyki, nerw N ( C ) małej kategorii C jest uproszczonym zbiorem zbudowanym z przedmiotów i morfizmów C. Geometryczną realizacją tego zbioru uproszczonego jest przestrzeń topologiczna , zwana przestrzenią klasyfikującą kategorii C. Te blisko spokrewnione obiekty mogą dostarczać informacji o niektórych znanych i użytecznych kategoriach , najczęściej przy użyciu topologii algebraicznej teoria homotopii .

Motywacja

Nerw kategorii jest często używany do konstruowania topologicznych wersji przestrzeni modułowych . Jeśli X jest obiektem C , jego przestrzeń modułów powinna w jakiś sposób kodować wszystkie obiekty izomorficzne z X i śledzić różne izomorfizmy między wszystkimi tymi obiektami w tej kategorii. Może to stać się dość skomplikowane, zwłaszcza jeśli obiekty mają wiele automorfizmów niezwiązanych z tożsamością. Nerw zapewnia kombinatoryczny sposób organizowania tych danych. Ponieważ zbiory uproszczone mają dobrą teorię homotopii, można zadawać pytania o znaczenie różnych grup homotopii π _n ( N ( C )). Można mieć nadzieję, że odpowiedzi na takie pytania dostarczą ciekawych informacji na temat pierwotnej kategorii C lub kategorii pokrewnych.

Pojęcie nerwu jest bezpośrednim uogólnieniem klasycznego pojęcia klasyfikowania przestrzeni grupy dyskretnej; patrz poniżej, aby uzyskać szczegółowe informacje.

Budowa

Niech C będzie małą kategorią. Istnieje 0-simplex N ( C ) dla każdego obiektu C . Istnieje 1-simplex dla każdego morfizmu f : x → y w C . Załóżmy teraz, że f : x → y i g : y → z są morfizmami w C . Wtedy też mamy ich skład gf : x → z .

2-prostorzędny.

Diagram sugeruje nasz sposób działania: dodaj 2-simplex dla tego przemiennego trójkąta. W ten sposób każdy 2-simplex z N ( C ) pochodzi z pary składających się morfizmów. Dodanie tych 2-simplices nie wymazuje ani w żaden inny sposób nie uwzględnia morfizmów uzyskanych przez kompozycję, a jedynie przypomina, że w ten sposób powstają.

Ogólnie rzecz biorąc, N ( C ) _k składa się z k -krotek składających się morfizmów

{\ Displaystyle A_ {0} \ do A_ {1} \ do A_ {2} \ do \ cdots \ do A_ {k-1} \ do A_{k}}

z C. _ Aby uzupełnić definicję N ( C ) jako zbioru uproszczonego, musimy również określić mapy twarzy i degeneracji. Dostarcza nam ich również struktura C jako kategorii. Mapy twarzy

{\ Displaystyle d_ {i} \ dwukropek N (C) _ {k} \ do N (C) _ {k-1}}

są dane przez złożenie morfizmów na i- tym obiekcie (lub usunięcie i- tego obiektu z sekwencji, gdy i wynosi 0 lub k ). Oznacza to, że d _i wysyła k -krotkę

{\ Displaystyle A_ {0} \ do \ cdots \ do A_ {i-1} \ do A_ {i} \ do A_ { i+1}\do \cdots \do A_{k}}

do ( k - 1) -krotki

{\ Displaystyle A_ {0} \ do \ cdots \ do A_ {i-1} \ do A_ {i + 1} \ do \ cdots \ do A_ {k}.}

_{+1 że} mapa d _i_{składa ,} morfizmy A _{i −1} → Ai oraz _Ai → _Ai +1 w morfizm A _{i −1} → Ai otrzymując krotkę ( k − 1 ) dla każdego k -krotka.

Podobnie mapy degeneracji

{\ Displaystyle s_ {i}: N (C) _ {k} \ do N (C) _ {k + 1}}

są podane przez wstawienie morfizmu tożsamościowego w obiekcie A _i .

Zbiory uproszczone można również uważać za funktory Δ ^op → Zbiór , gdzie Δ jest kategorią całkowicie uporządkowanych zbiorów skończonych i morfizmów zachowujących porządek. Każdy częściowo uporządkowany zbiór P daje (małą) kategorię i ( P ) z przedmiotami elementami P iz unikalnym morfizmem od p do q ilekroć p ≤ q w P . Otrzymujemy w ten sposób funktor i z kategorii Δ do kategorii małych kategorii. Nerw kategorii C możemy teraz opisać jako funktor Δ ^op → Set

{\ Displaystyle N (C) (\ _) = \ operatorname {Zabawa} (i (\_), C). \,}

Ten opis nerwu czyni funkcjonalność przejrzystą; na przykład funktor między małymi kategoriami C i D indukuje mapę zbiorów uproszczonych N ( C ) → N ( D ). Co więcej, naturalna transformacja między dwoma takimi funktorami indukuje homotopię między indukowanymi mapami. Obserwację tę można uznać za początek jednej z zasad teorii kategorii wyższych . Wynika z tego, że funktory sprzężone indukują równoważności homotopii . W szczególności, jeśli C ma obiekt początkowy lub końcowy , jego nerw jest kurczliwy.

Przykłady

Pierwotnym przykładem jest przestrzeń klasyfikacyjna dyskretnej grupy G . Traktujemy G jako kategorię z jednym obiektem, którego endomorfizmami są elementy G . Wtedy k -simplice N ( G ) są po prostu k - krotkami elementów G. Mapy twarzy działają przez pomnożenie, a mapy degeneracji działają przez wstawienie elementu tożsamości. Jeśli G jest grupą z dwoma elementami, to dla każdej nieujemnej liczby całkowitej istnieje dokładnie jeden niezdegenerowany k -simplex k , odpowiadające unikalnej k - krotce elementów G bez tożsamości. Po przejściu do realizacji geometrycznej tę k -krotkę można utożsamić z unikalną komórką k w zwykłej strukturze CW na nieskończenie wymiarowej rzeczywistej przestrzeni rzutowej . Ten ostatni jest najpopularniejszym modelem przestrzeni klasyfikacyjnej grupy z dwoma elementami. Zobacz (Segal 1968) w celu uzyskania dalszych szczegółów i związku powyższego z konstrukcją BG Milnora .

Większość przestrzeni klasyfikuje przestrzenie

Każda „rozsądna” przestrzeń topologiczna jest homeomorficzna z przestrzenią klasyfikującą małej kategorii. Tutaj „rozsądny” oznacza, że dana przestrzeń jest geometryczną realizacją zbioru uproszczonego. Jest to oczywiście warunek konieczny; to też wystarczy. Rzeczywiście, niech X będzie geometryczną realizacją zbioru uproszczonego K . Zbiór uproszczeń w K jest częściowo uporządkowany przez relację x ≤ y wtedy i tylko wtedy, gdy x jest ścianą y . Ten częściowo uporządkowany zbiór możemy uznać za kategorię. Nerwem tej kategorii jest podział barycentryczny K , a zatem jego realizacja jest homeomorficzna względem X , ponieważ X jest realizacją K przez hipotezę, a podział barycentryczny nie zmienia homeomorfizmu realizacji.

Nerw otwartej osłony

Jeżeli X jest przestrzenią topologiczną z otwartą pokrywą U _i , nerw pokrywy uzyskuje się z powyższych definicji, zastępując pokrywę kategorią uzyskaną przez traktowanie pokrywy jako zbioru częściowo uporządkowanego względem zbioru inkluzji. Należy zauważyć, że realizacja tego nerwu nie jest generalnie homeomorficzna z X (lub nawet ekwiwalentem homotopii).

Przykład modułów

Można użyć konstrukcji nerwu, aby odzyskać przestrzenie mapowania, a nawet uzyskać informacje o mapach „wyższej homotopii”. Niech D będzie kategorią i niech X i Y będą obiektami D . Często interesuje nas obliczanie zbioru morfizmów X → Y . Możemy użyć konstrukcji nerwu, aby odzyskać ten zestaw. Niech C = C ( X , Y ) będzie kategorią, której obiektami są diagramy

{\ Displaystyle X \ longleftarrow U \ longrightarrow V \ longleftarrow Y}

takie, że morfizmy U → X i Y → V są izomorfizmami w D . Morfizmy w C ( X , Y ) to diagramy o następującym kształcie:

Tutaj wskazane odwzorowania mają być izomorfizmami lub tożsamościami. Nerwem C ( X , Y ) jest przestrzeń modułów map X → Y . W odpowiednim kategorii modelu ta przestrzeń modułów jest słabą homotopią równoważną uproszczonemu zbiorowi morfizmów D od X do Y .

Blanc, D., WG Dwyer i PG Goerss. „Przestrzeń realizacji $.$ : problem modułów w topologii algebraicznej” Topologia 43 (2004), nr. 4, 857–892.
Goerss, PG i MJ Hopkins. „ Przestrzenie modułowe przemiennych widm pierścieniowych ”. Strukturyzowane widma pierścieniowe , 151–200, London Math. soc. Notatka z wykładu Ser., 315, Cambridge Univ. Prasa, Cambridge, 2004.
Segal, Graeme. „Klasyfikowanie przestrzeni i sekwencji widmowych”. Inst. Hautes Études Sci. Publikacja Matematyka nr 34 (1968) 105–112.
Nerw w laboratorium n