Kompleks nerwowy

Konstruowanie nerwu otwartej osłony dobrej zawierającej 3 zestawy w płaszczyźnie.

W topologii kompleks nerwowy rodziny zestawów jest abstrakcyjnym kompleksem , który rejestruje wzór przecięć między zestawami w rodzinie. Został wprowadzony przez Pawła Aleksandrowa i obecnie ma wiele wariantów i uogólnień, między innymi Čech nerw okładki, który z kolei jest uogólniony przez hiperpokrycia . Przechwytuje wiele interesujących właściwości topologicznych w sposób algorytmiczny lub kombinatoryczny.

Podstawowa definicja

Niech ${\ displaystyle I}$ będzie zbiorem wskaźników i $będzie$ rodziną zbiorów $_ {i \ w ja}}$ . Nerwem jest zbiór $podzbiorów$$.$ indeksów _ Zawiera wszystkie skończone $przecięcie$ że ${\ displaystyle U_ {i}}$ , którego indeksy częściowe są w ${\ displaystyle J}$ nie jest puste:

${\ Displaystyle N (C): = {\ bigg \ {} J \ subseteq ja: \ bigcap _ {j \ w J} U_ {j} \ neq \ varnothing, J {\ tekst {zbiór skończony}}} {\ bigg \}}.}$

$_$$definicji$ Aleksandrowa otwartymi podzbiorami _ _

Zbiór $są$ zawierać $nie$$,$ takie że pary elementów ${\ Displaystyle i, j \ w ja}$ takie, że ${\ Displaystyle U_ {i} \ czapka U_ {j} \ neq \ pusty zbiór}$ ), trojaczki i Wkrótce. Jeśli $\ w N (C)}$$Displaystyle$ , to każdy podzbiór jest również w ${\ Displaystyle N (C)}$ , dzięki czemu ${\ Displaystyle N(C)}$ abstrakcyjny kompleks uproszczony . Stąd $nazywany$ (C) jest często kompleksem nerwowym .

Przykłady

1. Niech X będzie okręgiem i do ${\ Displaystyle C = \ {U_ {1}, U_ {2}$${$ gdzie ${ \ displaystyle U_ {1}}$ to łuk obejmujący górną połowę $U_ {2}}$$2$ { to łuk obejmujący jego dolną połowę, z pewnym zachodzeniem na siebie w bokach (muszą zachodzić na siebie po obu stronach, aby pokryć całość ${\ displaystyle S ^ {1}}$ ). $\ {\ {1 \}, \ {2 \}, \ {1,2 \} \}}$ do , który jest abstrakcyjnym 1-simplexem.
2. Niech X będzie okręgiem i do $= \ {U_ {1}, U_ {2},$${$$U_ {i} }$ , gdzie każdy $\$ łukiem obejmującym jedną trzecią , z pewnym $displaystyle$ się na sąsiedni . Następnie ${\ Displaystyle N (C) = \ {\ {1 \} \ {2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\}}$ . Zauważ, że {1,2,3} nie jest w ${\ Displaystyle N (C)}$ ponieważ wspólne przecięcie wszystkich trzech zbiorów jest puste; więc ${\ Displaystyle N (C)}$ jest niewypełnionym trójkątem.

Nerw Čecha

Biorąc $_$ osłonę _ $_$ _ witryna $_$ możemy produkty w _ przestrzeni topologicznej są właśnie przecięcia ${\ Displaystyle U_ {i} \ czapka U_ {j}}$ . Zbiór wszystkich takich skrzyżowań można określić jako $C \ razy _ {X} C},$${X} C \times _{X}C}$ a potrójne skrzyżowania jako .

Rozważając mapy naturalne , możemy skonstruować ${\ Displaystyle U_ {ij} \ do U_ {i}}$ i ${\ Displaystyle U_ {i} \ do U_ {ii}}$ prosty obiekt ${\ Displaystyle S (C) _ {\ punktor}}$ zdefiniowany przez ${\ Displaystyle S (C) _ {n} = C \ razy _ {X} \ cdots \ razy _ {X} C}$ n-krotny produkt włóknisty. To jest nerw Čecha.

Biorąc połączone składowe otrzymujemy zbiór uproszczony , który możemy zrealizować topologicznie: ${\ Displaystyle | S (\ pi _ {0} (C)) |}$ .

Twierdzenia nerwowe

Kompleks $prostym$ . Często $)$ to znacznie prostsze niż podstawowa przestrzeń topologiczna (unia zbiorów w . Dlatego naturalnym pytaniem $C}$$,$ czy topologia jest równoważna topologii

Ogólnie rzecz biorąc, nie musi tak być. Na przykład, można pokryć dowolną $,$ 2 { \ displaystyle $}$ które mają niepuste przecięcie, jak w przykładzie 1 powyżej W tym przypadku jest to abstrakcyjny 1-simplex, który jest podobny do linii, $ale$

Jednak w niektórych $_$ topologię Na przykład, jeśli okrąg jest pokryty trzema otwartymi łukami, przecinającymi się parami, jak w przykładzie 2 powyżej, to jest to 2-simplex (bez jego wnętrza) i jest homotopią - $)}$ odpowiednik oryginalnego koła.

Twierdzenie nerwowe (lub lemat nerwowy ) to twierdzenie, które daje wystarczające warunki na $C$ gwarantujące , że odzwierciedla w pewnym sensie topologię $}$ .

Twierdzenie nerwowe Leraya

Podstawowe twierdzenie nerwowe Jeana Leraya mówi $⊂$ że jeśli dowolne przecięcie zbiorów w kurczliwe ( równoważnie: każdego skończonego zbioru $displaystyle J \ podzbiór$ I ${\ Displaystyle \ bigcap _ {i \ w J} U_ {i}}$ jest pusty lub kurczliwy; równoważnie: C jest dobrą otwartą pokrywą ), a następnie ${\ Displaystyle N (C)}$ jest odpowiednikiem homotopii $\ displaystyle \ bigcup C}$ { .

Twierdzenie nerwowe Borsuka

Istnieje dyskretna wersja, którą przypisuje się Borsukowi . Niech K ₁ ,...,K _n będą abstrakcyjnymi uproszczonymi zespołami , i oznaczmy ich sumę przez K . Niech U _i = || K _ja || = realizacja geometryczna K _i , i oznaczmy nerw { U ₁ , ... , U _n } przez N .

Jeśli $dla$$niepustego$ przecięcia puste _ jest homotopii równoważne K .

Silniejsze twierdzenie udowodnił Anders Bjorner . jeśli dla $,$ przecięcie jest $_$ J|+1)-spójny , to dla każdego j ≤ k j - ta grupa homotopii N jest izomorficzna z j -tą grupą homotopii K . W szczególności, N jest k -spójne wtedy i tylko-jeżeli K jest k -spójne.

Twierdzenie nerwowe Čecha

Inne twierdzenie nerwowe odnosi się do powyższego nerwu Čech: jeśli jest $zwarty$ i wszystkie przecięcia zbiorów w C są kurczliwe lub puste, to

${\ Displaystyle | S (\ pi _ {0} (C)} |}$ jest odpowiednikiem homotopii ${\ displaystyle X}$ .

Twierdzenie o nerwie homologicznym

Następujące twierdzenie nerwowe wykorzystuje grupy homologii przecięć zbiorów w okładce. dla każdego skończonego $H jot$$H_ {J, j}: = {\ tylda {$ = } j -ta zredukowana grupa homologii ${\ Displaystyle \ bigcap _ {i \ w J} U_ {i}}$ .

Jeśli H _J,j jest grupą trywialną dla wszystkich J w k -szkielecie N( C ) i dla wszystkich j w {0, ..., k - dim ( J )}, to N ( C ) jest „homologią -równoważny" X w następującym znaczeniu:

• ${\ Displaystyle {\ tylda {H}} _ {j} (N (C)) \ cong {\ tylda {H}} _ {j} ( X)}$ dla wszystkich j w {0, ..., k };
• jeśli ${\ Displaystyle {\ tylda {H}} _ {k + 1} (N (C)} \ nie \ cong 0}$ to ${\ Displaystyle {\ tylda {H}} _ {k + 1} (X) \ nie \ cong 0}$ .

Zobacz też

• Hiperpokrywanie