Dobre pokrycie (topologia algebraiczna)

Osłona po lewej stronie nie jest dobrą osłoną, ponieważ podczas gdy wszystkie zbiory otwarte w osłonie są rozciągliwe, ich przecięcie jest rozłączne. Osłona po prawej stronie jest dobrą osłoną, ponieważ przecięcie dwóch zestawów jest kurczliwe.

W matematyce otwarte pokrycie przestrzeni topologicznej to rodzina otwartych podzbiorów, taka że $.$$wszystkich$ otwartych zbiorów Dobre pokrycie to pokrycie otwarte, w którym wszystkie zbiory i wszystkie niepuste przecięcia skończenie wielu zbiorów są skurczalne ( Petersen 2006 ).

Koncepcja została wprowadzona przez André Weila w 1952 r. Dla rozmaitości różniczkowalnych , wymagając, aby ${\ Displaystyle U _ {\ alfa _ {1} \ ldots \ alfa _ {n}}}$ była różniczkowalnie kurczliwa. Współczesna wersja tej definicji pojawia się w Bott & Tu (1982) .

Aplikacja

Głównym powodem pojęcia dobrego pokrycia jest to, że sekwencja widmowa Leraya wiązki włókien degeneruje się dla dobrego pokrycia, a więc kohomologia Čecha związana z dobrym pokryciem jest taka sama jak kohomologia Čecha przestrzeni. (Takie pokrycie jest znane jako pokrycie Leraya .) Jednak dla celów obliczenia kohomologii Čecha wystarczy mieć bardziej zrelaksowaną definicję dobrego pokrycia, w którym wszystkie przecięcia skończenie wielu zbiorów otwartych mają kurczliwe połączone elementy. Wynika to z faktu, że funktory wyższych pochodnych mogą być obliczane za pomocą uchwały acykliczne .

Przykład

Dwuwymiarowa powierzchnia kuli $.$ otwartą osłonę przez dwa kurczliwe zbiory, otwarte sąsiedztwa przeciwległych Jednak te dwa zestawy mają przecięcie, które tworzy niekurczliwe pasmo równikowe. Aby stworzyć dobre pokrycie tej powierzchni, potrzebne są co najmniej cztery zestawy otwarte. Dobrą osłonę można utworzyć, rzutując ściany czworościanu na kulę, w którą jest on wpisany, i biorąc otwarte sąsiedztwo każdej ściany. Bardziej zrelaksowana definicja dobrej osłony pozwala nam to zrobić przy użyciu tylko trzech otwartych zestawów. Pokrywę można utworzyć, wybierając dwa diametralnie przeciwległe punkty na kuli, rysując trzy nie przecinające się segmenty leżące na kuli łączące je i biorąc otwarte sąsiedztwa powstałych ścian.

•   Bott, Raoul ; Tu, Loring (1982), Formy różniczkowe w topologii algebraicznej , Nowy Jork: Springer, ISBN 0-387-90613-4 , §5, S. 42.
• Weil, Andre (1952), „Sur les theoremes de de Rham”, Commentarii Math. Helv. , 26 : 119–145
•    Petersen, Peter (2006), Geometria Riemanna , Graduate Texts in Mathematics, tom. 171 (wyd. 2), Nowy Jork: Springer, s. 383, ISBN 978-0387-29246-5 , MR 2243772