Okładka Leraya

W matematyce pokrycie (ing) Leraya to pokrycie przestrzeni topologicznej , które pozwala na łatwe obliczenie jej kohomologii . Takie okładki noszą imię Jeana Leraya .

Kohomologia snopów mierzy stopień, w jakim lokalnie dokładna sekwencja w ustalonej przestrzeni topologicznej, na przykład sekwencja de Rhama , nie jest globalnie dokładna. Jego definicja, przy użyciu funktorów pochodnych , jest dość naturalna, choć techniczna. Co więcej, ważne właściwości, takie jak istnienie długiego dokładnego ciągu w kohomologii, odpowiadającego dowolnemu krótkiemu dokładnemu ciągowi snopów , wynikają bezpośrednio z definicji. Jednak obliczenie z definicji jest praktycznie niemożliwe. Z drugiej strony kohomologia Čecha w odniesieniu do otwartej pokrywy dobrze nadaje się do obliczeń, ale ma ograniczoną użyteczność, ponieważ zależy od wybranej otwartej pokrywy, a nie tylko od krążków i przestrzeni. Przyjmując bezpośrednią granicę kohomologii Čecha na dowolnie drobnych pokryciach, otrzymujemy teorię kohomologii Čecha, która nie zależy od wybranego otwartego pokrycia. W uzasadnionych okolicznościach (na przykład, jeśli przestrzeń topologiczna jest parazwarta ), kohomologia funktora pochodnego zgadza się z tą kohomologią Čecha uzyskaną przez bezpośrednie granice. Jednak, podobnie jak pochodna kohomologia funktora, ta niezależna od pokrycia kohomologia Čecha jest praktycznie niemożliwa do obliczenia na podstawie definicji. Warunek Leraya na otwartej okładce zapewnia, że ​​dana okładka jest już „wystarczająco dobra”. Wyprowadzona kohomologia funktora jest zgodna z kohomologią Čecha w odniesieniu do dowolnego pokrycia Leraya.

Niech ${i} \}}$ U_ będzie otwartą osłoną przestrzeni topologicznej $ja } {\ Displaystyle$${\ mathfrak {U}$ snop na X . Mówimy, że jest to pokrycie Leraya w odniesieniu do jeśli dla każdego niepustego skończonego $}$$}$ zestaw $,$$\ ldots, i_ {n} \}}$ i dla wszystkich to ${\ Displaystyle H ^ {k} (U_ {i_ {1}} \ cap \ cdots \ cap U_ {i_ {n}}, {\ mathcal {F}}) = 0}$ w wyprowadzeniu kohomologia funktorów. Na przykład, jeśli jest oddzielnym schematem i $fa$$}}$ jest quasi-spójny, to każda okładka $otwartego podschematu$ jest okładką Leraya.