Hiperpokrywanie

W matematyce , aw szczególności w teorii homotopii , hiperpokrycie (lub hiperpokrycie) jest uproszczonym obiektem , który uogólnia nerw Čecha pokrycia . Dla nerwu Čech otwartej pokrywy $,$ X że jeśli przestrzeń jest zwarta i jeśli przecięcie zbiorów otwartych w przestrzeni $X}$ pokrycie jest kurczliwe, to można skrócić te zbiory i otrzymać zbiór uproszczony, który jest słabo równoważny ${\ displaystyle X}$ w naturalny sposób. W przypadku topologii étale i innych lokalizacji warunki te nie spełniają warunków. Ideą hiperpokrywy jest zamiast pracować tylko z $składanymi$ przecięciami zestawów danej otwartej okładki , aby umożliwić przecięcia parami zestawów ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ U ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} = {\ mathcal {U}} _ {0}}$ objęte otwartą pokrywą ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} _ {1} }$$i$ okładki zostały zakryte przez kolejną otwartą okładkę tak dalej, iteracyjnie Hiperpokrycia odgrywają kluczową rolę w homotopii etalnej i innych obszarach, w których teoria homotopii jest stosowana do geometrii algebraicznej , takich jak teoria homotopii motywicznej .

Definicja formalna

Oryginalna definicja kohomologii étale podana przez Jean-Louisa Verdiera w SGA4 , Expose V, Sec. 7, Cz. 7.4.1, aby obliczyć kohomologię snopów w dowolnych topologiach Grothendiecka. W przypadku witryny étale definicja jest następująca:

Niech $schematem$ i rozważmy kategorię $.$ étale over _ Hipercover jest półprostym obiektem tej kategorii, takim, że $Displaystyle$$U_ {0} \ do X}$ okładką étale i taką, że ( ${\ Displaystyle U_ {n + 1} \ do \ lewo (\ lewo (\ nazwa operatora {\ mathbf {cosk}} _ {n}: = \ nazwa operatora {cosk} _ {n}\circ \operatorname {tr} _{n}\right)U_{\bullet}\right)_{n+1}} to etalowa$ okładka dla każdego $n\geq 0$ .

Tutaj $prawo) _ {n + 1}}$$\ Displaystyle U_ {n + 1} \ do \ lewo (\ nazwa operatora {\ mathbf {cosk}} _ {n} U_ {\ punktor}$$U_ {i}$ to granica diagramu, który ma jedną kopię dla każdej $ja {\ displaystyle$ powierzchni standardowej ${\ Displaystyle n + 1}$ - simplex (dla ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik i \ równoważnik n}$ ), jeden morfizm dla każdego włączenia twarzy i mapa augmentacji ${\ Displaystyle U_ {0} \ do X}$ na końcu. Morfizmy są podane przez mapy granic półprostego obiektu ${\ Displaystyle U _ {\ punktor}}$ .

Nieruchomości

Twierdzenie Verdiera o hiperpokryciu stwierdza, że ​​kohomologię snopka abelowego snopka étale można obliczyć jako współgranicę kohomologii kołańcuchowych po wszystkich hiperpokryciach.

W przypadku lokalnie schematu noetherowskiego $kategoria$ hypercoverings $homotopii jest współfiltrowana,$ samym daje proobiekt w kategorii homotopii Geometryczną realizacją tego jest typ homotopii Artina-Mazura . Uogólnienie E. Friedlandera wykorzystujące bisimplicialowe hiperpokrycia schematów uproszczonych nazywane jest typem topologicznym étale.

• Artin, Michał; Mazur, Barry (1969). Etale homotopia . Skoczek.
• Friedlander, Eric (1982). Étale homotopia schematów uproszczonych . Roczniki Studiów Matematycznych, PUP.
• Notatki z wykładu G. Quicka „ Étale homotopy wykład 2 ”.
• Hypercover w laboratorium n