A¹ teoria homotopii

W geometrii algebraicznej i topologii algebraicznej , gałęziach matematyki , teoria homotopii A1 ^do lub teoria homotopii motywicznej jest sposobem na zastosowanie technik topologii algebraicznej, w szczególności homotopii , do rozmaitości algebraicznych i bardziej ogólnie schematów . Teorię zawdzięczamy Fabienowi Morelowi i Vladimirowi Voevodsky'emu . Podstawową ideą jest to, że powinno być możliwe rozwinięcie czysto algebraicznego podejścia do teorii homotopii przez zastąpienie przedziału jednostkowego [ 0, 1] , który nie jest rozmaitością algebraiczną, linią afiniczną A ¹ , która jest. Teoria znalazła spektakularne zastosowania, takie jak konstrukcja Voevodsky'ego pochodnej kategorii motywów mieszanych oraz dowód hipotez Milnora i Blocha-Kato .

Budowa

homotopii ¹ jest oparta na kategorii zwanej kategorią homotopii ZA ¹ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (S)}$ . Mówiąc najprościej, A ¹ , a raczej funktor kanoniczny , jest funktorem uniwersalnym z kategorii ${\ Displaystyle Sm_ {S} \ do {\ mathcal {H}} (S)}$${S}}$$gładkich$ schematów w kierunku kategorii nieskończoności , która spełnia pochodzenie Nisnevicha , tak że linia afiniczna A ¹ staje się kurczliwa. Tutaj $)$$wybrany schemat$ podstawowy liczb

Ta definicja w kategoriach własności uniwersalnej nie jest możliwa bez kategorii nieskończoności. Nie były one dostępne w latach 90., a pierwotna definicja opiera się na teorii kategorii modelowych Quillena . Innym sposobem spojrzenia na sytuację jest to $)$ definicja Morela-Voevodsky'ego tworzy konkretny model (kategorii homotopii .

Ta bardziej konkretna konstrukcja jest naszkicowana poniżej.

Krok 0

Wybierz schemat podstawowy . ${\ displaystyle S}$ . Klasycznie proszony jest o bycie noetherowskim, ale wielu współczesnych autorów, takich jak Marc Hoyois, pracuje z quasi-kompaktowymi quasi-oddzielonymi schematami $podstawowymi$ W każdym razie wiele ważnych wyników jest znanych tylko z doskonałego pola podstawowego, takiego jak liczby zespolone, doskonale jest rozważyć tylko ten przypadek.

Krok 1

Krok 1a: Snopy Nisnevicha . Klasycznie konstrukcja $} }$ się od kategorii snopów Nisnevicha na kategorii ${\ Displaystyle Shv (Sm_ {S}) _ {$ płynnych schematów na ${\ displaystyle S}$ . Z heurystycznego punktu widzenia $połączenie wszystkich granic i$ to uznać za (i w ścisłym sensie technicznym jest ) uniwersalne rozszerzenie uzyskane przez spełnienia zejścia Niśnewicza

Krok 1b: proste krążki . $następującą$ celu łatwiejszego wykonywania standardowych teoretycznych procedur homotopii, takich . snopy.

Niech Δ będzie kategorią simpleksową , to znaczy kategorią, której obiektami są zbiory

{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, ...,

i których morfizmy są funkcjami zachowującymi porządek. Niech ${\ Displaystyle \ Delta ^ {op} Shv (Sm_ {S}) _ {Nis}}$ oznacza kategorię funktorów ${\ Displaystyle \ Delta ^ {op} \ do Shv (Sm_ {S}) _ {Nis}}$ . Oznacza to, że jest kategorią obiektów uproszczonych na ${\ Displaystyle Shv (Sm_ {S}) _ {Nis}}$$}$ . Taki obiekt jest również nazywany snopkiem uproszczonym na ${\ displaystyle Sm_ {S}}$ .

Krok 1c: funktory światłowodowe . Dla dowolnego gładkiego $,$ dowolnego punktu i $fa {$ snopka , napiszmy $x^{*}F}$$\ displaystyle$$} -scheme$${\$ X dla łodygi ograniczenia ${\ Displaystyle F | _ {X_ {Nis}}}$ z ${\ displaystyle F}$ do małej witryny Nisnevich w ${\ displaystyle X}$ . Wyraźnie, ${\ Displaystyle x ^ {*} F = colim_ {x \ do V \ do X} F (V)$ } ${\ Displaystyle x \ do V \ do X}$ włączenia kanonicznego ${\ Displaystyle x \ do X}$ poprzez morfizm étale ${\ Displaystyle V \ do X}$ . Kolekcja jest konserwatywną rodziną funktorów światłowodowych dla $) _ { Nis}}$$v$ .

Krok 1d: zamknięta struktura modelu . Zdefiniujemy zamkniętą strukturę modelu na ${\ Displaystyle \ Delta ^ {op} Shv (Sm_ {S}) _ {Nis}}$ w kategoriach funktorów światłowodowych. Niech ${\ Displaystyle f: {\ mathcal {X}} \ to {\ mathcal {Y}}}$ będzie morfizmem uproszczonych snopów. Mówimy, że:

• f jest słabą równoważnością , jeśli dla dowolnego funktora światłowodowego x z T morfizm zbiorów uproszczonych ${\ Displaystyle x ^ {*} f: x ^ {*} {\ mathcal { X}}\to x^{*}{\mathcal {Y}}}$ jest słabym odpowiednikiem.
• f jest kofibracją , jeśli jest monomorfizmem.
• f jest fibracją , jeśli ma odpowiednią właściwość podnoszenia w odniesieniu do dowolnego kofibracji, która jest słabą równoważnością.

Kategoria homotopii tej struktury modelu jest oznaczona ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {s} (T)}$ .

Krok 2

Ta struktura modelu ma pochodzenie Nisnevicha, ale nie zawiera linii afinicznej. Snop uproszczony $jeśli$$.$ -lokalny $,$ dla dowolnego $}$ mapę

${\ Displaystyle {\ tekst {Hom}} _ {{\ mathcal {H}} _ {s} ( T)}({\mathcal {Y}}\times \mathbb {A} ^{1},{\mathcal {X}})\to {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_ {s}(T)}({\mathcal {Y}},{\mathcal {X}})}$

indukowane przez ${\ Displaystyle i_ {0}: \ {0 \} \ do \ mathbb {A} ^ {1}}$ jest bijekcją. Tutaj rozważamy $snop$ poprzez osadzenie Yoneda ${\ Displaystyle Shv (Sm_ {S}) _ {Nis} \ do \ Delta ^ {op} Shv (Sm_ {S}) _ {Nis}}$ stały funktor obiektu uproszczonego .

Morfizm ${\ Displaystyle f: {\ mathcal {X}} \ do {\ mathcal {Y}}}$ jest ${\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {1}}$ równoważnością, jeśli ZA dla dowolnej mapy indukowanej ${\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {1}}$ -local ${\ Displaystyle {\ mathcal {Z}}}$

${\ Displaystyle {\ tekst {Hom}} _ {{\ mathcal {H}} _ {s} (T)} ({\mathcal {Y}},{\mathcal {Z}})\do {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {X} },{\mathcal {Z}})}$

jest bijekcją. -Lokalna $modelu$$jest$ lokalizacją powyższego modelu w do

Definicja formalna

Wreszcie możemy zdefiniować ^{kategorię homotopii} A1 .

Definicja. Niech S S _{/ będzie} skończenie wymiarowym schematem noetherowskim $($ widmo zespolonych kategoria gładkich schematów nad S . Wyposaż Sm _{/ S} w topologię Nisnevicha , aby otrzymać miejsce ( Sm _{/ S} ) _Nis . Kategoria homotopii ( lub kategoria nieskończoności) związana z $lokalną$${\ Displaystyle$ modelu na nazywana jest kategorią A ¹ - homotopii . Jest to oznaczone ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {s}}$ . Podobnie, w przypadku spiczastych prostych krążków ${\ Displaystyle \ Delta ^ {op} Shv_ {*} (Sm_ {S}) _ {Nis}$ } spiczasta kategoria homotopii ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {s, *}}$ .

Zauważ, że z konstrukcji dla dowolnego X w Sm _{/ S} istnieje izomorfizm

X × _S ZA
¹ _S ≅ X ,

w kategorii homotopii.

Właściwości teorii

Klinuj i rozbijaj produkty z prostych (wstępnych) krążków

Ponieważ zaczęliśmy od kategorii modelu uproszczonego, aby skonstruować $-homotopii$ , istnieje wiele struktur odziedziczonych z abstrakcyjnej teorii kategorii modeli uproszczonych W szczególności dla $\ Displaystyle \ Delta ^$ krążków w $)$ możemy utworzyć iloczyn klina jako colimit

${\ Displaystyle {\ mathcal {X}} \ vee {\ mathcal {Y}} = {\ underset {\ do} {\ tekst {colim}}} \ lewo \{{\begin{matrix}*&\to &{\mathcal {X}}\\\strzałka w dół &&\\{\mathcal {Y}}\end{matrix}}\right\}}$

a produkt rozbicia jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle {\ mathcal {X}} \ klin {\ mathcal {Y}} = {\ mathcal {X}} \ razy {\ mathcal {Y}}/{\ mathcal {X}}\vee {\mathcal {Y}}}$

odzyskanie niektórych klasycznych konstrukcji w teorii homotopii. Istnieje dodatkowo stożek snopa uproszczonego (pre) i stożek morfizmu, ale ich zdefiniowanie wymaga zdefiniowania sfer uproszczonych.

Sfery uproszczone

Z faktu, że zaczynamy od kategorii modeli uproszczonych, oznacza to, że istnieje funktor kosimplicjalny

${\ Displaystyle \ Delta ^ {\ punktor}: \ Delta \ do \ Delta ^ {op} {\ tekst {Sh}} _ {*} ({\text{Sm}}/S)_{nis}}$

definiowanie uproszczeń w ${\ Displaystyle \ Delta ^ {op} {\ tekst {Sh}} _ {*} ({\ tekst {Sm}} / S) _ { tak}}$ . Przypomnijmy, że algebraiczny n-simplex jest określony przez -schemat ${\ displaystyle S}$

${\ Displaystyle \ Delta ^ {n} = {\ tekst {Spec}} \ left({\frac {{\mathcal {O}}_{S}[t_{0},t_{1},\ldots,t_{n}]}{(t_{0}+t_{1}+\ cdots +t_{n}-1)}}\right)}$

$_ }}/S) _ {nis}}$ i , które oznaczamy przez ${\ Displaystyle \ Delta ^ {n}}$ . $Delta$ obiekty na obrazie , $Δ$ ∙ . Następnie, używając abstrakcyjnej teorii homotopii uproszczonej, otrzymujemy sfery uproszczone

${\ Displaystyle S ^ {n} = \ Delta ^ {n} / \ częściowa \ Delta ^ {n}}$

Możemy wtedy utworzyć stożek prostego (pre)snopa jako

${\ Displaystyle C ({\ mathcal {X}}) = {\ mathcal {X}} \ klin \ Delta ^ {1}}$

i utwórz stożek morfizmu jako współgranicę diagramu ${\ Displaystyle f: {\ mathcal {X}} \ do {\ mathcal {Y}}}$

${\ Displaystyle C (f) = {\ underset {\ do} {\ tekst {colim}}} \ lewo \ {{\ rozpocząć {$

Ponadto włókno ${\ Displaystyle {\ mathcal {Y}} \ do C (f)}$ jest po prostu zawieszeniem ${\ Displaystyle {\ mathcal {X}} \wedge S^{1}=\Sigma {\mathcal {X}}}$ . W kategorii homotopii ostrej występuje dodatkowo funktor zawieszenia

${\ Displaystyle \ Sigma: {\ mathcal {H}} _ {s, *} (Sm / S) _ {Nis} \ do {\ mathcal {H}} _ {s, *} (Sm / S) _ {Nis}} podane przez$ Σ $\ Displaystyle \ Sigma ({{ \mathcal {X}})={\mathcal {X}}\klin S^{1}}$

i jego prawy przylegający

${\ Displaystyle \ Omega: {\ mathcal {H}} _ {s, *} (Sm /S)_{Nis}\to {\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}}$

nazywany funktorem przestrzeni pętli .

Uwagi

Konfiguracja, zwłaszcza topologia Nisnevicha , jest wybrana tak, aby algebraiczna teoria K była reprezentowana przez widmo, aw niektórych aspektach, aby umożliwić dowód hipotezy Blocha-Kato.

Po konstrukcji Morela-Voevodsky'ego pojawiło się kilka różnych podejść do teorii homotopii A ¹ , wykorzystujących inne modelowe struktury kategorii lub wykorzystujące snopy inne niż snopy Nisnevicha (na przykład snopy Zariskiego lub po prostu wszystkie snopy wstępne). Każda z tych konstrukcji daje tę samą kategorię homotopii.

W teorii rozróżnia się dwa rodzaje sfer: sfery pochodzące z grupy multiplikatywnej, pełniącej w topologii rolę 1 -sfery, oraz pochodzące ze sfery symplicalnej (uważanej za stały snop symplicalny). Prowadzi to do teorii sfer motywicznych S ^{p , q} z dwoma indeksami. Obliczenie grup A1 ^homotopii sfer motywicznych dałoby również klasyczne stabilne grupy homotopii sfer, więc pod tym względem teoria homotopii jest co najmniej tak skomplikowana jak klasyczna teoria homotopii.

Analogie motywacyjne

Przestrzenie Eilenberga-Maclane'a

Dla grupy abelowej $przez$ -motywyczna gładkiego schematu $dana$ snopowe grupy hiperkohomologiczne $}$

${\ Displaystyle H ^ {p, q} (X, A): = \ mathbb {H} ^ {p} (X_{nis},A(q))}$

dla ${\ Displaystyle A (q) = \ mathbb {Z} (q) \ czasami A}$ . Reprezentującym tę kohomologię jest uproszczony snop abelowy oznaczony jako odpowiadający $\ Displaystyle K (p, q, A)}$${\ Displaystyle A (q) [+ p] }$ ZA , który jest uważany za obiekt w kategorii ostro zakończonej homotopii motywicznej ${\ Displaystyle H _ {\ punktor} (k)}$ . Następnie dla płynnego $mamy$ równoważność

${\ Displaystyle {\ tekst {Hom}} _ {H _ {\ punktor} (k)} (X_{+},K(p,q,A))=H^{p,q}(X,A)}$

pokazanie tych snopów reprezentuje motywiczne przestrzenie Eilenberga-Maclane'a ^{pg 3} .

Stabilna kategoria homotopii

Dalszą konstrukcją w teorii homotopii A ¹ jest kategoria SH( S ), _którą uzyskuje się z powyższej kategorii niestabilnej, zmuszając produkt zderzenia z Gm do tego, aby stał się odwracalny. Proces ten można przeprowadzić za pomocą konstrukcji modelowo-kategorycznych z wykorzystaniem tak zwanych widm Gm lub alternatywnie _za pomocą kategorii nieskończoności.

Dla S = Spec ( R ), widma pola liczb rzeczywistych, istnieje funktor

${\ Displaystyle SH (\ mathbf {R}) \ do SH}$

do stabilnej kategorii homotopii z topologii algebraicznej. Funktor charakteryzuje się wysyłaniem gładkiego schematu X / R do rzeczywistej rozmaitości powiązanej z X. Ten funktor ma tę właściwość, że wysyła mapę

${\ Displaystyle \ rho: S ^ {0} \ do \ mathbf {G} _ {m}, tj. \ {- 1, 1\}\do Spec\mathbf {R} [x,x^{-1}]}$

$homotopią$ równoważności, ponieważ jest równoważną zbiorowi dwupunktowemu Bachmann (2018) wykazał, że wynikowy funktor

${\ Displaystyle SH (\ mathbf {R}) [\ rho ^ {- 1}] \ do SH}$

jest równoważnością.

Artykuły ankietowe i wykłady

• Morel (2002) Wprowadzenie do teorii homotopii A ¹
• Antieau, Benjamin; Elmanto, Elden (2016), Elementarz do niestabilnej teorii homotopii motywicznej , arXiv : 1605,00929 , Bibcode : 2016arXiv160500929A

Homotopia motywiczna

Podwaliny

• Stabilne grupy homotopii motywów
•    Morel, Fabien; Voevodsky, Vladimir (1999), „ A ¹ -homotopia teoria schematów” (PDF) , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 90 (90): 45–143, doi : 10.1007 / BF02698831 , MR 1813224 , S2CID 14420180 , pobrane 9 maj 2008
•    Voevodsky, Vladimir (1998), „ Teoria A ^{1 -homotopii”} (PDF) , Documenta Mathematica , Proceedings of the International Congress of Mathematicians, tom. I (Berlin, 1998): 579–604, ISSN 1431-0635 , MR 1648048
• Voevodsky, Vladimir (2008) „ Niestabilne kategorie homotopii motywicznej w topologiach Nisnevicha i cdh ”

Algebra Motivic Steenroda

• Voevodsky, Vladimir (2001) „ Zredukowane operacje mocy w kohomologii motywicznej ”
• Voevodsky, Vladimir (2008) „ Przestrzenie Motivic Eilenberg-Maclane ”

Widmowa sekwencja Motivica Adamsa

• Motywiczny ciąg widmowy Adamsa
• Motywiczna teoria homotopii chromatycznej

Widma

• Jardine. (1999) Widma symetryczne motywów

Bloch-Kato

• Hipoteza Gerstena dla teorii K Milnora
• Skręty Tate i kohomologia P ¹

Aplikacje

• Motywiczna algebra Steenroda w charakterystyce dodatniej
• Stabilne grupy homotopii motywów
• ${\ displaystyle \ pi _ {0}}$ Na motywie Sphere Spectrum (Springer)
• Pierwsze stabilne grupy homotopii sfery motywicznej
• Na zerowym wycinku widma sferycznego
• Znikanie w stabilnych krążkach homotopii motywicznej

Bibliografia

•   Bachmann, Tom (2018), „Motivic and Real Etale Stable Homotopy Theory”, Compositio Mathematica , 154 (5): 883–917, arXiv : 1608,08855 , doi : 10,1112/S0010437X17007710 , S2CID 119305101