Schemat noetherowski

W geometrii algebraicznej schemat noetherowski to schemat , który dopuszcza skończone pokrycie przez otwarte podzbiory afiniczne Pierścienie noetherowskie Spec $}$ $} A_ {i$ Spec } Mówiąc bardziej ogólnie, schemat jest lokalnie noetherowski , jeśli jest pokryty widmami pierścieni noetherowskich. Zatem schemat jest noetherowski wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie noetherowski i quasi-zwarty. Podobnie jak w przypadku pierścieni noetherowskich, koncepcja nosi nazwę Emmy Noether .

Można pokazać, że w lokalnie schemacie noetherowskim, jeśli ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} A}$ jest otwartym podzbiorem afinicznym, to A jest pierścieniem noetherowskim. W szczególności ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} A}$ jest schematem noetherowskim wtedy i tylko wtedy, gdy A jest pierścieniem noetherowskim. Niech X będzie lokalnie schematem noetherowskim. $pierścienie$ lokalne pierścieniami

Schemat noetherowski to noetherowska przestrzeń topologiczna . Ale odwrotność jest ogólnie fałszywa; rozważmy na przykład widmo nieetherowskiego pierścienia wartościowania.

Definicje obejmują schematy formalne .

Właściwości i hipotezy noetherowskie

Posiadanie (lokalnie) hipotezy noetherowskiej dla stwierdzenia o schematach generalnie czyni wiele problemów bardziej przystępnymi, ponieważ wystarczająco usztywniają one wiele jej właściwości.

devissage

Jednym z najważniejszych twierdzeń strukturalnych dotyczących pierścieni noetherowskich i schematów noetherowskich jest twierdzenie Dévissage'a . Twierdzenie to umożliwia rozłożenie argumentów o spójnych snopach na argumenty indukcyjne. Dzieje się tak, ponieważ dana jest krótka, dokładna sekwencja spójnych snopów

${\ Displaystyle 0 \ do {\ mathcal {E}} '\ do {\ mathcal {E}} \ do {\ mathcal {E}} ''\ do 0}$

udowodnienie, że jeden z krążków ma jakąś właściwość, jest równoznaczne z udowodnieniem, że pozostałe dwa mają tę właściwość. W szczególności, biorąc pod uwagę stały spójny snop i sub-spójny snop , pokazując $mathcal { } F}}}$ ${\ mathcal {}$ $} fa {$ ma pewną właściwość, którą można zredukować do patrzenia na i fa ${\ mathcal {F}} /$ $} '}$ . Ponieważ ten proces można zastosować tylko skończoną liczbę razy w nietrywialny sposób, umożliwia to wiele argumentów indukcyjnych.

Liczba składników nieredukowalnych

Każdy schemat noetherowski może mieć tylko skończenie wiele elementów.

Morfizmy ze schematów noetherowskich są quasi-zwarte

$Każdy morfizm$ schematu noetherowskiego - zwarty .

Właściwości homologiczne

Istnieje wiele ładnych właściwości homologicznych schematów noetherowskich.

Kohomologia Cecha i snopka

Kohomologia czeska i kohomologia snopów zgadzają się co do otwartej pokrywy afinicznej. Umożliwia to obliczenie kohomologii snopów $.$ dla standardowej otwartej okładki

Zgodność kolimitów z kohomologią

Biorąc pod uwagę system bezpośredni ${\ Displaystyle \ {{\ mathcal {F}} _ {\ alfa}, \ phi _ {\ alfa \ beta} \} _ {\ alfa \ w \Lambda }}$ snopów grup abelowych na schemacie noetherowskim, istnieje izomorfizm kanoniczny

${\ Displaystyle \ varinjlim H ^ {i} (X, {\ mathcal {F}} _ {\ alfa}) \ do H ^ {i} (X, \ varinjlim {\ mathcal {F}} _ {\ alfa})}$

czyli funktory

${\ Displaystyle H ^ {i} (X, -): {\ tekst {Ab}} (X) \ do {\ tekst {Ab}}}$

zachować bezpośrednie granice i produkty uboczne.

Pochodny obraz bezpośredni

${\ mathcal {E}} ^ {\ punktor} \ w D_ {Coh} ^ {b} (X)}$ uwagę morfizm typu lokalnie skończonego $noetherowskiego$ kompleksu $}$ mi $\ displaystyle$ z ograniczoną spójną kohomologią taką, że snopy ${\ Displaystyle H ^ {i} ({ \mathcal {E}}^{\bullet})}$ mieć odpowiednie wsparcie nad $mi$ to pochodny pushforward ma ${\ Displaystyle \ mathbf {R} f_ {*} ({\ mathcal {E}} ^ {\ punktor})$ ograniczona spójna kohomologia nad $,$ że jest to obiekt w $\ Displaystyle D_ {Coh} ^ {b} (S)}$ .

Przykłady

Wiele schematów znalezionych na wolności to schematy noetherowskie.

Lokalnie typu skończonego na podstawie noetherowskiej

$są$ rodziny schematów $, w$ $których$ podstawa jest noetherowska i $}$ typu skończonego nad $S$ . Obejmuje to wiele przykładów, takich jak połączone składowe schematu Hilberta , tj. ze stałym wielomianem Hilberta. Jest to ważne, ponieważ implikuje, że wiele przestrzeni modułów spotykanych w naturze jest noetherowskich, takich jak Moduły krzywych algebraicznych i moduły stabilnych wiązek wektorowych. Ta właściwość może być również wykorzystana do pokazania, że wiele schematów rozważanych w geometrii algebraicznej jest w rzeczywistości noetherowskich.

Odmiany quasi-rzutowe

W szczególności odmiany quasi-rzutowe są schematami noetherowskimi. Ta klasa obejmuje krzywe algebraiczne , krzywe eliptyczne , rozmaitości abelowe , schematy calabi-yau , rozmaitości shimura , powierzchnie K3 i powierzchnie sześcienne . Zasadniczo wszystkie obiekty z klasycznej geometrii algebraicznej pasują do tej klasy przykładów.

Nieskończenie małe deformacje schematów noetherowskich

W szczególności nieskończenie małe deformacje schematów noetherowskich są ponownie noetherowskie. Na przykład, biorąc pod uwagę krzywą, dowolne odkształcenie $Displaystyle C / {\ tekst {Spec}} (\ mathbb {F} _ {q})}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} / {\ tekst {Spec}} (\ mathbb {F} _ {q} [\ varepsilon ] / (\ varepsilon ^ {n})}}$ jest również schematem noetherowskim. Wieża takich deformacji może służyć do konstruowania formalnych schematów noetherowskich.

Nie-przykłady

Schematy nad bazami Adelic

Jednym z naturalnych pierścieni, które nie są noetherowskie, jest Pierścień $displaystyle$ dla algebraicznego pola liczbowego $\ mathbb {A} _ {K}$ } Aby poradzić sobie z takimi pierścieniami, rozważa się topologię, dając pierścienie topologiczne . Istnieje pojęcie geometrii algebraicznej nad takimi pierścieniami, opracowane przez Weila i Alexandra Grothendiecka .

Pierścienie liczb całkowitych w nieskończonych rozszerzeniach

Biorąc pod uwagę nieskończone rozszerzenie pola Galois , takie jak $_ {\ infty}) / \ mathbb {Q}}$ $Displaystyle$ (przez dołączenie wszystkich pierwiastków jedności), pierścień liczb całkowitych jest pierścieniem nieetherowskim, który jest wymiarem $}$ $\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}$ . To łamie intuicję, że skończone schematy wymiarowe są koniecznie Noetherowskie. Ten przykład dostarcza również motywacji, dlaczego warto studiować schematy na bazie innej niż noetherowska; czyli schematy ${\ Displaystyle {\ tekst {Sch}} / {\ tekst {Spec}} ({\ mathcal {O}} _ {E})} mogą być ciekawym i$ owocnym temat.

Jednym szczególnym przypadkiem ^{na stronie 93} $/ K} }_{K^{ur}}}$ rozszerzenia jest przyjęcie maksymalnego nierozgałęzionego rozszerzenia i rozważenie pierścienia liczb całkowitych ${ur}$ . Morfizm indukowany

${\ Displaystyle {\ tekst {Spec}} ({\ mathcal {O}} _ {K ^ {ur}}) \ do {\ tekst {Spec}} ( {\mathcal {O}}_ {K})}$

tworzy uniwersalne pokrycie Spec $\ Displaystyle {\ text {Spec}} ({\ mathcal {O}} _ {K})}$ .

Pierścień wielomianowy z nieskończenie wieloma generatorami

Innym przykładem nienoetherowskiego schematu skończonych wymiarów (w rzeczywistości zerowymiarowego) jest podany następujący iloraz pierścienia wielomianowego z nieskończenie wieloma generatorami.

${\ Displaystyle {\ Frac {\ mathbb {Q} [x_ {1}, x_ {2}, x_{3},\ldokropki ]}{(x_{1},x_{2}^{2},x_{3}^{3},\ldokropki)}}}$

Zobacz też

Znakomity pierścień - nieco sztywniejszy niż pierścienie noetherowskie, ale ma lepsze właściwości
Twierdzenie Chevalleya o zbiorach konstruowalnych
Twierdzenie główne Zańskiego
Kompleks dualizujący
Twierdzenie Nagaty o zwartości

^ „Lemat 28.5.7 (0BA8) — Projekt Stacks” . stacks.math.columbia.edu . Źródło 2020-07-24 .
^ „Lemat 28.5.8 (01P0) — Projekt Stacks” . stacks.math.columbia.edu . Źródło 2020-07-24 .
^ „Kohomologia snopów” (PDF) .
^ „Lemat 36.10.3 (08E2) — Projekt Stacks” . stacks.math.columbia.edu . Źródło 2020-07-24 .
^ „Lemat 29.15.6 (01T6) — Projekt Stacks” . stacks.math.columbia.edu . Źródło 2020-07-24 .
Bibliografia _ „Weil i Grothendieck zbliżają się do punktów Adeli” (PDF) . Zarchiwizowane (PDF) od oryginału w dniu 21 lipca 2018 r.
^ Neukirch Jürgen (1999). „1,13”. Algebraiczna teoria liczb . Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-03983-0 . OCLC 851391469 .

Hartshorne, Robin (1977). Geometria algebraiczna . Absolwent Teksty z matematyki. Tom. 52. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90244-9 . MR 0463157 . Zbl 0367.14001 .
Mocniej, Günterze. „Kohomologia grup arytmetycznych” (PDF) . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 2020-07-24.
Daniłow, VI (2001) [1994], „Schemat noetherowski” , Encyklopedia matematyki , EMS Press

[1] „Lemat 28.5.7 (0BA8) — Projekt Stacks” . stacks.math.columbia.edu . Źródło 2020-07-24 .

[2] „Lemat 28.5.8 (01P0) — Projekt Stacks” . stacks.math.columbia.edu . Źródło 2020-07-24 .

[3] „Kohomologia snopów” (PDF) .

[4] „Lemat 36.10.3 (08E2) — Projekt Stacks” . stacks.math.columbia.edu . Źródło 2020-07-24 .

[5] „Lemat 29.15.6 (01T6) — Projekt Stacks” . stacks.math.columbia.edu . Źródło 2020-07-24 .

[6] Bibliografia _ „Weil i Grothendieck zbliżają się do punktów Adeli” (PDF) . Zarchiwizowane (PDF) od oryginału w dniu 21 lipca 2018 r.

[7] Neukirch Jürgen (1999). „1,13”. Algebraiczna teoria liczb . Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-03983-0 . OCLC 851391469 .