Schemat formalny

W matematyce , szczególnie w geometrii algebraicznej , schemat formalny jest rodzajem przestrzeni, która zawiera dane o jej otoczeniu. W przeciwieństwie do zwykłego schematu , schemat formalny zawiera nieskończenie małe dane, które w efekcie wskazują kierunek odbiegający od schematu. Z tego powodu schematy formalne często pojawiają się w tematach takich jak teoria deformacji . Ale pojęcie to jest również używane do udowodnienia twierdzenia, takiego jak twierdzenie o funkcjach formalnych , które jest używane do wyprowadzania interesujących twierdzeń dla zwykłych schematów.

Lokalnie noetherowski schemat jest lokalnie noetherowskim schematem formalnym w sposób kanoniczny: formalne uzupełnienie wzdłuż samego siebie. Innymi słowy, kategoria lokalnie noetherowskich schematów formalnych obejmuje wszystkie lokalnie noetherowskie schematy.

formalnych funkcji holomorficznych Zariskiego .

Geometria algebraiczna oparta na schematach formalnych nazywana jest formalną geometrią algebraiczną .

Definicja

Schematy formalne są zwykle definiowane tylko w przypadku noetherowskim . Chociaż istnieje kilka definicji formalnych schematów nienoetherowskich, napotykają one problemy techniczne. W konsekwencji zdefiniujemy tylko lokalnie noetherowskie schematy formalne.

Zakłada się, że wszystkie pierścienie są przemienne i mają jednostkę . Niech A będzie pierścieniem topologicznym (Noetherowskim) , to znaczy pierścieniem A , który jest przestrzenią topologiczną taką, że operacje dodawania i mnożenia są ciągłe. A jest topologizowane liniowo, jeśli zero ma podstawę składającą się z ideałów . Ideał definicji ${\ displaystyle {\ mathcal {J}}}$ dla liniowo topologizowanego pierścienia jest otwartym ideałem takim, że dla każdego otwartego sąsiedztwa ${\mathcal {J}}^{n}\subseteq V$ równego of 0, there exists a positive integer n such that . A linearly topologized ring is preadmissible if it admits an ideal of definition, and it is admissible if it is also complete. (In the terminology of Bourbaki, this is "complete and separated".)

Załóżmy, że $A$ jest dopuszczalne i niech ideałem definicji. $,$ gdy zawiera . Zbiór otwartych ideałów pierwszych A , lub równoważnie zbiór ideałów pierwszych , $oznaczoną$ przestrzenią topologiczną widma formalnego A jako Spf A . Spf A ma snop struktury, który jest zdefiniowany za pomocą snopka struktury widma pierścienia . Niech $będzie$ bazą sąsiedztwa dla zera składającą się z ideałów $ale$ widma mają tę samą podstawową przestrzeń topologiczną inny snop Snop struktury Spf A jest rzutową granicą ${\ Displaystyle \ varprojlim _ {\ lambda} {\ mathcal {O}} _ {{\ tekst {Spec}} A / {\ mathcal {J}} _ {\ lambda}}}$ .

Można pokazać, że jeśli f ∈ A i D _f jest zbiorem wszystkich otwartych ideałów pierwszych A niezawierających f , to ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ { {\ text {Spf}} A} (D_ {f}) = {\ widehat {A_ {f}}}}$ , gdzie ${\ Displaystyle {\ widehat {A_ {f}}}}$ jest zakończeniem lokalizacja A _f . _

$pierścieniową$ , lokalnie schemat formalny przestrzenią tj , przestrzeń z pierścieniami , której $dopuszcza$ pierścieni jest snopem pierścieni topologicznych) tak, że każdy punkt otwarte sąsiedztwo izomorficzne (jako przestrzenie z pierścieniami topologicznymi) do widma formalnego noetherianu pierścień.

Morfizmy między schematami formalnymi

Morfizm lokalnie noetherowskich schematów $tak$ ich morfizmem jako lokalnie otoczonych pierścieniami przestrzeni, ${\ Displaystyle f ^ {\ #}: \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _ {\ mathfrak {Y}}) \ do \ Gamma (f ^ {-1} (U), {\ mathcal { O}}_{\mathfrak {X}})}$ jest ciągłym homomorfizmem pierścieni topologicznych dla dowolnego otwartego podzbioru afinicznego U .

f mówi się, że jest -adic $adic$ formalnym $,$ lub jest jeśli istnieje ideał definicji. $\ mathcal {I}}}$ takie, że $\ Displaystyle f ^ {*} ({\ mathcal {I}}) {\ mathcal {O}} _ {\ mathfrak {X}}}$ { ideał definicji dla $X}}}$ { jeśli f jest adic, to ta właściwość obowiązuje dla każdego ideału definicji.

Przykłady

Dla dowolnego ideału I i pierścienia A możemy zdefiniować topologię I-adyczną na A , zdefiniowaną przez jej bazę składającą się ze zbiorów postaci a+I ⁿ . Jest to dopuszczalne z góry i dopuszczalne, jeśli A jest I -adtycznie zupełne. W tym przypadku Spf A jest przestrzenią topologiczną Spec A/I ze snopem pierścieni ${\ Displaystyle {\ text {lim}} _ {n} {\ mathcal {O}} _ {{\ text {Spec}} A / I ^ {n}} = \ lim _ {n} {\ widetilde {A / I ^ {n}}}}$ zamiast ${\ Displaystyle {\ widetilde {A/I}}}$ .

1. A=k[[t]] i I=(t) . Wtedy A/I=k więc przestrzeń Spf A jest pojedynczym punktem (t) , w którym jej snop struktury przyjmuje wartość k[[t]] . Porównaj to ze Spec A/I , którego snop struktury przyjmuje w tym momencie wartość k : jest to przykład idei, że Spf A jest „formalnym pogrubieniem” A o I .
2. Formalne zakończenie zamkniętego podprogramu. Rozważmy zamknięty podschemat X płaszczyzny afinicznej nad k , zdefiniowany przez ideał I=(y ² -x ³ ) . Zauważ, że ₀ A =k[x,y] nie jest I -adtycznie zupełne; napisz A dla jego I -adic dopełnienia. W tym przypadku Spf A=X jako spacje i snop struktury to ${\ Displaystyle \ lim _ {n} {\ widetilde {k [x, y] / ja ^ {n}}}$ } Jego globalne sekcje to A , w przeciwieństwie do X , którego globalne sekcje to A/I .

Zobacz też

• formalna funkcja holomorficzna
• Teoria deformacji
• Twierdzenie Schlessingera

•   Grothendieck, Aleksandr ; Dieudonné, Jean (1960). „Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas” . Publikacje Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10.1007/bf02684778 . MR 0217083 .

Linki zewnętrzne

• formalne zakończenie