devissage

W geometrii algebraicznej dévissage jest techniką wprowadzoną przez Alexandra Grothendiecka w celu udowodnienia twierdzeń o spójnych snopach na schematach noetherowskich . Dévissage jest adaptacją pewnego rodzaju indukcji noetherowskiej . Ma wiele zastosowań, w tym dowód płaskości generycznej i dowód, że wyższe bezpośrednie obrazy spójnych snopów pod odpowiednimi morfizmami są spójne.

Laurent Gruson i Michel Raynaud rozszerzyli tę koncepcję na sytuację względną, to znaczy na sytuację, w której rozważany schemat niekoniecznie jest noetherowski, ale zamiast tego dopuszcza skończenie przedstawiony morfizm do innego schematu. Zrobili to, definiując obiekt zwany względnym dévissage, który dobrze nadaje się do pewnych rodzajów argumentów indukcyjnych. Zastosowali tę technikę, aby nadać nowe kryterium płaskiego modułu . W rezultacie byli w stanie uprościć i uogólnić wyniki EGA IV 11 dotyczące spadku płaskości.

Słowo dévissage po francusku oznacza odkręcanie .

Twierdzenie dévissage Grothendiecka

Niech X będzie schematem noetherowskim. Niech C będzie podzbiorem obiektów kategorii spójnych O X -modułów, który zawiera snop zerowy i który ma tę właściwość, że dla dowolnej krótkiej sekwencji dokładnej spójnych snopów, jeśli dwa z A , A ′ i A ′′ są w C , to trzeci również. Niech X ′ będzie zamkniętą podprzestrzenią podstawowej przestrzeni topologicznej X . Załóżmy, że dla każdego nieredukowalnego podzbioru zamkniętego Y z X ′ istnieje spójny snop G w C , którego włókno w ogólnym punkcie y z Y jest jednowymiarową przestrzenią wektorową nad polem reszt k ( y ). Wtedy każdy spójny O X , którego nośnik jest zawarty w X ′, jest zawarty w C .

W szczególnym przypadku, gdy X ′ = X , twierdzenie mówi, że C jest kategorią spójnych modułów O X. Jest to ustawienie, w którym twierdzenie jest najczęściej stosowane, ale powyższe stwierdzenie umożliwia udowodnienie twierdzenia przez indukcję noetherowską.

Odmianą twierdzenia jest to, że jeśli każdy bezpośredni czynnik obiektu w C jest ponownie w C , to warunek, że włókno G w x jest jednowymiarowe, można zastąpić warunkiem, że włókno jest niezerowe.

Względne dévissages Grusona i Raynauda

Załóżmy, że f : X → S jest skończonym morfizmem schematów afinicznych, s jest punktem S , a M jest skończonym typem O X -modułu. Jeśli n jest liczbą naturalną, to Gruson i Raynaud definiują S -dévissage w wymiarze n , aby składało się z:

  1. Zamknięty skończenie przedstawiony podschemat X ′ z X zawierający zamknięty podschemat zdefiniowany przez anihilator M i taki, że wymiar X ′ ∩ f −1 ( s ) jest mniejszy lub równy n .
  2. Schemat T i faktoryzacja X ′ → T → S ograniczenia f do X ′ takie, że X ′ → T jest skończonym morfizmem, a T → S jest gładkim morfizmem afinicznym z geometrycznie integralnymi włóknami o wymiarze n . Oznacz ogólny punkt T × S k ( s ) przez τ i przesunięcie M do T przez N .
  3. Swobodny skończony typ O T -moduł L i homomorfizm α : L → N taki, że α ⊗ k (τ) jest bijekcją.

Jeśli n 1 , n 2 , ..., n r jest ściśle malejącym ciągiem liczb naturalnych, to S -dévissage w wymiarach n 1 , n 2 , ..., n r jest definiowane rekurencyjnie jako:

  1. S - dévissage w wymiarze n 1 . Oznacz kokernel α przez P 1 .
  2. S - dévissage w wymiarach n 2 , ..., nr r z P 1 .

, że dévissage leży między wymiarami n 1 i nr . r nazywamy długością dévissage. Ostatni krok rekurencji składa się z dévissage w wymiarze nr r , który zawiera morfizm α r : L r → N r . Oznacz kokernel tego morfizmu przez P r . Dévissage nazywamy sumą , jeśli P r wynosi zero.

Gruson i Raynaud dowodzą ogólnie, że lokalnie dévissages zawsze istnieją. W szczególności niech f : ( X , x ) → ( S , s ) będzie skończonym morfizmem schematów punktowych, a M będzie modułem O X typu skończonego, którego włókno w punkcie x jest niezerowe. Ustaw n równe wymiarowi M ⊗ k ( s ) i r współgłębokości M w s , to znaczy n − głębokość ( M ⊗ k ( s )) . Wtedy istnieją sąsiedztwa afiniczne étale X ′ z x i S ′ z s , razem z punktami x ′ i s ′ podnoszącymi x i s , takie że rozszerzenia pola resztowego k ( x ) → k ( x ′) i k ( s ) → k ( s ′) są trywialne, mapa X ′ → S czynniki przez S ′, ta faktoryzacja wysyła x ′ do s ′, a cofnięcie M do X ′ dopuszcza całkowite S ′-dévissage w x ′ w wymiarach między n i n - r .

Bibliografia

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Dévissage&oldid=991386196 ”