Ogólna płaskość
W geometrii algebraicznej i algebrze przemiennej twierdzenia o ogólnej płaskości i ogólnej wolności stwierdzają, że przy pewnych hipotezach snop modułów na schemacie jest płaski lub swobodny . Zawdzięczają je Aleksandrowi Grothendieckowi .
Ogólna płaskość stwierdza, że jeśli Y jest integralnym lokalnie schematem noetherowskim, u : X → Y jest morfizmem schematów typu skończonego, a F jest spójnym modułem O X , to istnieje niepusty otwarty podzbiór U z Y taki, że ograniczenie F do u −1 ( U ) jest płaskie nad U .
Ponieważ Y jest całką, U jest gęstym otwartym podzbiorem Y . Można to zastosować do wydedukowania wariantu ogólnej płaskości, który jest prawdziwy, gdy podstawa nie jest integralna. Załóżmy, że S jest schematem noetherowskim, u : X → S jest morfizmem typu skończonego, a F jest spójnym modułem O X. Wtedy istnieje podział S na lokalnie domknięte podzbiory S 1 , ..., S n o następującej własności: Nadaj każdemu S i jego zredukowaną strukturę schematu, oznacz przez X i produkt włóknisty X × S S i i oznacz przez F i ograniczenie F ⊗ O S O S i ; wtedy każde F i jest płaskie.
Ogólna swoboda
Ogólna płaskość jest konsekwencją lematu o ogólnej wolności. Ogólna swoboda stwierdza, że jeśli A jest dziedziną całkową noetherowską , B jest skończoną algebrą typu A , a M jest skończonym modułem typu B , to istnieje niezerowy element f A taki , że M f jest wolnym A f -moduł. Ogólną swobodę można rozszerzyć na sytuację stopniowaną: jeśli B jest oceniane przez liczby naturalne, A działa w stopniu zero, a M jest stopniowanym modułem B , to f można wybrać tak, że każdy stopniowany składnik M f jest wolny.
dévissage Grothendiecka . Inną wersję ogólnej swobody można udowodnić za pomocą lematu normalizacyjnego Noether .
Bibliografia
- Eisenbud, David (1995), Algebra przemienna z myślą o geometrii algebraicznej , Graduate Texts in Mathematics, tom. 150, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1 , MR 1322960
- Grothendieck, Aleksandr ; Dieudonné, Jean (1965). „Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie” . Publikacje Mathématiques de l'IHÉS . 24 . doi : 10.1007/bf02684322 . MR 0199181 .